第五章 三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】，而其它项对应角都不满足. 故选：B. 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 4．（23-24高一·上海·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定等式，结合对数运算及对数函数单调性求出，再利用同角公式计算即得. 【详解】由，得， 依题意，，则， 又， 因此，即，而， 所以. 故选：C 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可. 【详解】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 6．（2025·广东·一模）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案. 【详解】由题干得 所以 ， 故选：B. 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对，有，可得，，结合在区间上单调递减，可得，又，可得是其唯一解，则有，再结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】由对，有， 即可得，即， 则， 可得， 即，即， 则， 由在区间上单调递减， 故，即， 由存在唯一的值，使其成立，故，即有， 则，，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的值的理解，结合，，且，可得，则需. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东湛江·期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 【答案】ABD 【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解. 【详解】对于A，由已知得最小正周期，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确； 对于C，由选项A和B得，令得，， 所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以当时，单调递减，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式计算求解即可判断A；应用两角差的正弦公式计算即可判断B；由二倍角的正弦公式计算即可判断C；应用辅助角公式化简计算即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·山东威海·期末）若，则 . 【答案】/-0.6 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 13．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】观察到，再由诱导公式化简后求出最后结果即可. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：观察到，再由诱导公式化简所求更为简便. 14．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得出函数的表达式，根据以及的递减区间和及的递减区间，取相应共同部分，即函数的部分递减区间，根据在上单调递减，即可得出相应不等式组求得结果. 【详解】由题知，， 由，可得， 解得， 即， 又的递减区间为， 取，则，可得， 又，解得， 即， 且的递减区间为， 取，则，此时无解， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 16．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，即可求解； （2）利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以，得. 即，且由三角函数定义知，，， 故. （2）由题意：， ， 故. 17．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值； （2）由可求出函数减区间； （3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由图象可知，则， 所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 得， 因为，所以， 所以； （2）由，得 ， 所以， 所以的递减区间为； （3）由，得， 所以， 所以，即， 所以， 所以的值域为. 18．（22-23高一下·福建泉州·期中）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值. (3)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式； （2）首先求函数，利用函数单调性求参数的取值范围. （3）先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数求参. 【详解】（1）由条件可知，周期，所以，又，得， ，因为，所以， 即函数； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，， 若对于任意的， 当时，恒成立， 所以，单调递减， 单调递减， 所以， 所以,m的最大值为. （3）因为， 可得或， 当，设， 由条件转化为与的交点， 在上的图象恰有2个不同的交点， 方程存在4个不相等的实数根， 则与必有2个交点， 即在上的值域为时，函数与有2个交点， 则或，即或 【点睛】方法点睛：先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数结合给定范围值域求参. 19．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【详解】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 6．（2025·广东·一模）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东湛江·期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 10．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·山东威海·期末）若，则 . 13．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知，则的值是 ． 14．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 16．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求P的坐标. 17．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 18．（22-23高一下·福建泉州·期中）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值. (3)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$