第五章 三角函数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数（压轴题专练） 题型一：三角函数中与有关的问题 1．（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则 . 5．（2024·江苏南京·二模）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 题型二：三角函数性质综合问题 1．（多选）（2024·山东淄博·二模）已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．函数的一个对称中心为 D．函数是奇函数 2．（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增 3．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为，则（    ）    A．的最小正周期为 B．， C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增 4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小正周期为2 C．函数的图象关于点（）中心对称 D．函数在（）上单调递减 5．（多选）（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．图像对称中心为 B．的最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 题型三：五点法作一个周期图象 1．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知.某同学用“五点法”画在一个周期上的简图时，列表如下： 0 0 1 0 0 （1）因不慎将墨汁泼在表格阴影部分，请你将缺失数据补在答题卡上表格的相应位置，并在坐标系中画出在上的简图； （2）求函数的单调增区间. 2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表： （1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据； （2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； （3）写出函数的单调减区间. 题型四：五点法作指定周期图象 1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）用五点法在图中作出在闭区间上的简图； （3）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到？ 2．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数，． (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图象； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数的单调递增区间． 题型五：三角函数中零点个数问题 1．（24-25高一·上海·随堂练习）试对实数a的不同取值，讨论方程在上的解的个数． 2．（23-24高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 题型六：三角函数中零点代数和问题 1．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)当时，求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 3．（2022高三·全国·专题练习）已知函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2． (1)求函数的解析式； (2)当时，若方程恰有三个根，分别记为，求的取值范围． 题型七：三角函数中恒成立问题 1．（23-24高一下·山东日照·期中）将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若对，当时，都有成立，求实数的取值范围． 2．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求的对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象. （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 题型八：三角函数中问题 1．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.且当时，的最大值为. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得.求实数的取值范围. 题型九：三角函数中新定义题 1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 三角函数（压轴题专练） 题型一：三角函数中与有关的问题 1．（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据对称性可得，即可分别取和，代入求解，进而整体法验证是否符合一个零点求解. 【详解】 为的零点,为图象的对称轴 ，      又 当时， , ， 当时，，故有2个零点，不符合，舍去. 当时， , 当时，，此时有且仅有1个零点，符合 故选：B. 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案. 【详解】当时，不具备单调性， 当时，， 若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减， 可得，因为在上是单调递增的， 所以在上不可能单调递减，所以不成立， 于是. 若函数在区间上单调递增，则 ，， 若函数在区间上单调递增，则 ，， 因为，所以时，， 综上所述，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定区间，求出相位所在区间，再借助单调性列出不等式组求解即得. 【详解】函数（）在区间上单调递增， 当时，，而当时，， 因此，而，解得， 所以的取值范围是． 故答案为： 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则 . 【答案】3 【分析】根据正弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意知的图象关于轴对称， 因此，解出， 因为在上单调递减，， 所以，解得. 又，所以， 即. 故答案为：3 5．（2024·江苏南京·二模）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围. 【详解】不妨设函数的周期为， 因为在区间上单调，可得，解得； 又，可得且，解得； 又在区间上恰有5个零点，所以，解得 综上可得，所以， 解得，即的取值范围为. 故答案为： 6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合函数的对称性的单调性的性质求出的取值范围，进行求解即可. 【详解】 因为函数关于对称，所以，解得：， 又因为在区间上单调，所以，解得：， 综上，当时，， 故答案为： 题型二：三角函数性质综合问题 1．（多选）（2024·山东淄博·二模）已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．函数的一个对称中心为 D．函数是奇函数 【答案】BCD 【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即， 当时，，又， 因为在上有且仅有个零点，所以， 所以，即，得， 所以， 因为，所以， 所以； 对于A：函数的最小正周期，故A错误； 对于B：当时，，又在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C：因为， 所以函数的一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为，为奇函数，故D正确. 故选：BCD 2．（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增 【答案】AC 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD. 【详解】， 对于A：，即是奇函数，故A正确； 对于B：的最小正周期是，故B错误； 对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确； 对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误； 故选：AC 3．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为，则（    ）    A．的最小正周期为 B．， C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由函数图像可确定函数最小正周期和值，判断AB；代入验证即可判断选项C；利用余弦函数的单调性可判断D. 【详解】对AB，由图，知，∴，∴， 因为，，则，∴， ∵，∴，故AB正确； 对C，因为，故的图象不关于点中心对称，故C错误， 对D，当时，， 结合余弦函数的单调性知在上单调递增，D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小正周期为2 C．函数的图象关于点（）中心对称 D．函数在（）上单调递减 【答案】AB 【分析】由赋值运算求出的周期为4，可得出，再结合图象求解． 【详解】因为函数对任意都有，所以， 即，所以， 所以，即恒成立，所以的周期为4. 函数是奇函数，当时，. 故时，. 任取，则， 因为函数对任意都有， 即， 所以. 所以， 作出的图象如图所示：    对于A.由前面的推导可得：当时，.故A正确； 对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留， 把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方， 所以函数的最小正周期为2，故B正确；    对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C错误； 对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.    故选：AB. 5．（多选）（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．图像对称中心为 B．的最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】BD 【分析】由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，的最小正周期为，B正确； 对于C，根据正切函数性质可知，只有递增区间，则只有递减区间，C错误； 对于D，由题意可知， 所以解得， 所以，D正确. 故选：BD. 题型三：五点法作一个周期图象 1．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知.某同学用“五点法”画在一个周期上的简图时，列表如下： 0 0 1 0 0 （1）因不慎将墨汁泼在表格阴影部分，请你将缺失数据补在答题卡上表格的相应位置，并在坐标系中画出在上的简图； （2）求函数的单调增区间. 【答案】（1）答案见解析；（2），. 【解析】（1）由表格数据得到周期，根据周期公式可得答案； （2）利用正弦函数的单调性可得单调递增区间. 【详解】（1）因为为一个周期的区间，所以， 所以，解得， 所以，简图如下 0 0 1 0 -1 0 （2）因为， 所以，，解得，， 所以函数的单调增区间为，. 【点睛】本题考查了正弦函数的周期、单调性，属于基础题. 2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表： （1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据； （2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； （3）写出函数的单调减区间. 【答案】(1)见解析；(2)图象见解析；（3）单调减区间，. 【分析】（1）根据最大值求得，利用已知条件列方程组，求得的值.由此求得的表达式，并将表格补全.（2）根据表格的数据画出函数的图像.（3）根据图像可知，函数的一个减区间是，加上函数的周期即得到函数的减区间. 【详解】（1）因为当时，，所以. 由表中数据有：解得 所以. 表中数据补全得表: （2）函数图象见图： （3）因为函数在一个周期内的减区间为， 所以函数的单调减区间，. 【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像，求三角函数解析式，考查三角函数图像的五点作图法，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 题型四：五点法作指定周期图象 1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）用五点法在图中作出在闭区间上的简图； （3）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到？ 【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析. 【详解】分析: (1)先利用三角恒等变换的知识化简,再利用三角函数的图像性质求当时求的值域.(2)利用五点法作出在闭区间上的简图.(3)利用图像变换的知识写出的图象可由的图象经过怎样的变化得到. 详解：（1）∵ ∴ ∴ （2）列表： 作图： （3）把的图象向左平移个单位，可得函数的图象； 再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数的图象； 再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的倍，可得函图象． 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查五点法作三角函数的图像，考查三角函数图像变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值. 2．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数，． (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图象； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)图象详见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用五点作图法画出图象. （2）由求得的最小正周期. （3）利用整体代入法求得的单调递增区间. 【详解】（1）， 列表如下： 描点画图如下： （2）函数的最小正周期. （3）由， 解得， 所以的单调递增区间为. 题型五：三角函数中零点个数问题 1．（24-25高一·上海·随堂练习）试对实数a的不同取值，讨论方程在上的解的个数． 【答案】当或时，原方程无解； 当或时，原方程有两个解； 当或时，原方程有唯一解． 【分析】利用辅助角公式化简方程，做函数的图象，结合图象求. 【详解】化简得，，  ， 方程在的解的个数与函数， 的图像和函数的图像的交点的个数相同， 作函数，的图象， 结合图像可得， 或，原方程无解； 或时，原方程有两个解； 或，原方程有唯一解． 故：当或时，原方程无解； 当或时，原方程有两个解； 当或时，原方程有唯一解． 2．（23-24高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)，；； (2) (3)或. 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 题型六：三角函数中零点代数和问题 1．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为， (3)， 【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令， ，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又， 则，所以， 又函数过点，所以，则， 则，解得， 因为，所以， 所以． （2）令，，解得，， 令，，解得，． 因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （3）方程，即，即， 因为，所以， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即， 又的对称轴为， 不妨设个解从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称， 所以，，， 即，，， 解得，，． 所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解. 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)当时，求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，分别求出和，然后利用正弦函数的单调性，得解； （2）先求出函数的解析式，再根据根据正弦函数的图象与性质，可得解； （3）由（2）得的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象求解根的对称关系，可求解. 【详解】（1）由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得， 所以，因为，所以， 所以函数， 令，解得， 可得函数的递减区间为， 再结合，可得函数的减区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域； （3）由（2）得函数的图象， 由方程，即，即， 因为，可得， 设，其中，即， 而， 结合正弦函数的图象，    可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即 ， 解得， 所以. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 3．（2022高三·全国·专题练习）已知函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2． (1)求函数的解析式； (2)当时，若方程恰有三个根，分别记为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件分别求出，即得的解析式； （2）通过换元，将问题转化成方程在恰有三个根，结合函数的图象，利用其对称特征可得的范围，再转化成的范围即得. 【详解】（1）由题意得，，则，由， 函数在处取最大值，，又， ． （2）令，由可得：， 依题可知方程在恰有三个根，记为， 则，画出与在上的图象.    由图象易知关于直线对称，则 又由图知，则. 又则得：， 解得.故的取值范围是． 【点睛】思路点睛：本题解题的思路即是先将三角函数中的看成整体，将问题转化成函数与直线在上的交点问题，利用图象对称性先求出的范围，再转化成求的范围. 题型七：三角函数中恒成立问题 1．（23-24高一下·山东日照·期中）将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若对，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为 (2) 【分析】（1）借助函数平移与偶函数的性质计算即可得，即可得的解析式，结合余弦型函数的对称性即可得解； （2）由题意可得在上单调递增，结合三角恒等变换与正弦型函数的单调性计算即可得解. 【详解】（1）将向左平移后得， 由为偶函数，故，又，故， 即，， 令，解得， 即的对称中心为； （2）由，故， 即， 即， 令， 由题意可知在上为增函数， 当时，， 则有，解得. 2．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求的对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象. （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i） ；（ii）. 【分析】（1）将化为，则由余弦函数的对称中心，可得的对称中心； （2）（i）由（1）和已知得，则，利用换元法，由二次函数的性质即可求得函数的值域； （ii）原不等式等价于，可化为恒成立，利用正、余弦函数的性质，分时，时，时，三种情况讨论不等式恒成立的条件，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1） ，             令，得， 所以的对称中心为. （2）由， 将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度， 然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得，             （i） ， 令，， 则，其对称轴为， 故当时，；当时，， 所以函数的值域为.             （ii）原不等式等价于， 也即， 即恒成立， ①当时，恒成立，显然成立，故符合题意，         ②当时，令，由可得， 此时， 所以， 当且仅当且即时等号成立，          所以的最小值为， 若要满足不等式恒成立则，得， 则，                                            ③当时，同理可得， 当且仅当且即时等号成立， 所以的最小值为， 若要满足不等式恒成立则，得， 则，                               综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：当时，恒成立，即恒成立，令，，利用正、余弦函数的性质，讨论时，时，时，三种情况不等式恒成立的条件. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为； (2)； (3)． 【分析】（1）先倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解； （2）先求得、，再将所求转化为，再结合正弦两角差公式即可求解； （3）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解. 【详解】（1） ． ， 令． 对称中心为； （2）由（1）知，， ，又， ， ． （3）由（1）知，， 由题意，， 当时，， 恒成立恒成立． ． 题型八：三角函数中问题 1．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，递减区间为和；值域是 (2) 【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域； （2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解. 【详解】（1）当时，, 易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数； 结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和． 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立． 所以的值域是； （2）， 因为，所以，所以，， 所以，那么的值域为． 当时，总有，使得， 转化为函数的值域是的值域的子集， 即当时，恒成立． 当时，在上单调递增，可得，，所以； 当时，，满足题意； 当时，对任意的，，显然， 所以，对任意的恒成立，可得． 当时，，，此时． 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 2．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可； （2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可； （3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以， 即，所以，所以，解得. （2）由（1）知，则，所以， 故在上恒成立， 令，则，且，所以， 令，则函数在上为减函数， 所以，所以. （3）若，使得成立， 则函数的值域为函数值域的子集， ，则函数在上为减函数，所以. 因为，所以，所以， 当时，，则， 所以，所以； 当时，，则， 所以，所以； 当时，，显然成立. 综上可知. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.且当时，的最大值为. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得.求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）整理可得，利用换元法结合二次函数的性质运算求解； （2）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解. 【详解】（1）因为 因为，令，所以， 当时，此时当时，与题意不符； 当时，若时，即，此时当时， ，解得或（舍去） 若时，即，此时当时，， 解得，不合题意； 当时，此时当时，， 解得，不合题意； 综上，实数的值为2. （2）由（1）可知，因为， 令，所以，对称轴， 当时， 当或时，所以在上的值域为， 当时，，所以， 设在上的值域为B， 若对任意的，总存在，使得，则, 当时,显然不合题意； 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上：实数b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：三角函数值域(最值)的三种求法： （1）直接法：利用的有界性直接求． （2）单调性法：化为的形式，采用整体思想，求出的范围，根据的单调性求出函数的值域(最值)． （3）换元法：对于和型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题． 题型九：三角函数中新定义题 1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用给定定义判断即可. （2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可. 【详解】（1）， ， ，， 故的值域为，当时，， 此时，不是的“4重覆盖函数”， （2），， 的图像如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， ， （3）， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个零点， 即有9个零点， 因为与的图像如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)具有性质P，不具有性质，理由见解析 (2)存在，， 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）假设存在，结合定义可得，计算可得，即可得. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故不具有性质. （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以；         若，不妨设，由， 得（*），         只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，    即，因为，所以， 所以，则，此时， 则，而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于根据定义计算得到后，假设，证明其与已知矛盾，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$