第五章 三角函数（单元复习 14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 3、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 4、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 5、任意角的三角函数定义 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 6、同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 7、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 8、正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 9、正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 10、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） 11、两角和与差的正弦公式 （1） （2） 12、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） 13、二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 03 题型归纳 题型一　倍（分）角所在象限 例题1．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 【答案】A 【分析】根据角所在的象限，表示所在的象限. 【详解】由题意可知是第二象限角，， 则,则是第一或第三象限角． 故选：A 例题2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解. 【详解】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角. 故选：B. 巩固训练 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断； 【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限； 故选：ABC 2．（23-24高一·全国·课后作业）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 【答案】角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴；角的终边落在第一象限、第三象限 【分析】根据象限角的知识确定正确答案. 【详解】由于角是第二象限角， 所以， 所以，， 所以角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴， 角的终边落在第一象限、第三象限. 题型二　扇形弧长和面积 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 【答案】弧长：；面积： 【分析】先将角度转化成弧度，然后根据弧长公式面积公式求解. 【详解】,根据弧长公式，弧长为：，面积为 例题2．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 巩固训练 1．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是 . 【答案】4 【分析】根据已知条件结合扇形的面积公式直接求解即可. 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角所对的长为4， 所以该扇形的面积是. 故答案为：4 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 题型三　三角函数的定义 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数定义，求出，即可求出的值． 【详解】解：角的终边上有一点， ， 故选：B． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 【答案】答案见解析 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】设为坐标原点，则， 根据任意角三角函数的定义， ，，， 巩固训练 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 / 【分析】利用三角函数的定义易得正切值和余弦值. 【详解】依题意，，， 则 故答案为：；. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 题型四　已知求其他分式或多项式 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得. 【详解】，所以. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【答案】 【分析】分子分母同时除以即可. 【详解】由于有意义，则， 对表达式分子分母同时除以， 则 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据将所求式子分子化为齐次式，再利用同角三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果. 【详解】. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将式子齐次化即可求解； （2）将1看做，再进行齐次化即可求解. 【详解】（1）因为，所以，将式子的分子分母同时除以得： 所以． （2）． 题型五 与的关系　 例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得，再逐项分析判断得解. 【详解】由，得，解得， 对于A，，则，，A正确； 对于D，，D正确； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，，C正确. 故选：B 例题2．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D. 【详解】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 故选：BD 巩固训练 1．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值． 【详解】 ，， 则， 故答案为：． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用商数关系，得到，再由条件，即可求出结果；（2）根据条件及平方关系，得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，又，所以. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 题型六　利用诱导公式化简 例题1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值； （2）利用诱导公式求解. 【详解】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 例题2．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由诱导公式进行求解即可； （2）由诱导公式进行求解即可． 【详解】（1）， ， 则原式； （2）原式． 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先根据条件求出,然后把转换成的形式代入即可. （2）把转化成的形式代入即可. 【详解】（1）因为， 所以, 所以. （2）. 2．（23-24高一下·北京·期中）已知角为第二象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系计算可得； （2）法1，利用诱导公式化简，直接代入计算可得；法2，由（1）的结论求出，利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】（1）， ∵角为第二象限角，∴． （2）法1： 法2：易得，则 题型七 求三角函数的单调区间　 例题1．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 例题2．（23-24高二上·云南文山·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期； （2）根据三角函数单调性即可求函数的单调增区间； 【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为；； （2）令，， 求得，，即，． 所以，函数的单调递增区间是． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的最小正周期及单调区间． 【答案】答案见详解 【分析】根据周期公式求最小正周期，以为整体，结合余弦函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：的最小正周期； 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 巩固训练 1．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简函数，再应用整体代换计算余弦函数的单调减区间即可. 【详解】， 令，则， 所以函数的单调递减区间为． 故选：A． 3．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)单调递减区间为，，无单调递增区间 【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得； （2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； （2）， 由题意得，， 解得， 所以函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. 题型八　三角函数奇偶性，对称性有关的问题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 例题2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知函数，的图象的对称中心是 ． 【答案】 【分析】将看成整体角，利用正切函数的对称中心即可求得. 【详解】由函数可得，，解得：， 即的图象的对称中心是. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象的对称轴为 ，对称中心为 ． 【答案】 ， ， 【分析】根据正弦函数的对称性直接求解可得． 【详解】由，，得，． 由，，得，． 故函数的图象的对称轴为，，对称中心为，． 故答案为：；. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 题型九 与三角函数周期有关的问题　 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 例题2．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由正弦函数与正切的函数的周期即可直接判断. 【详解】因为函数与的最小正周期分别为，， 所以的最小正周期为. 故选：A. 例题3．（多选）（22-23高一上·重庆合川·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期. 【详解】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误； 故选：AB. 巩固训练 1．（23-24高三上·河南·开学考试）函数的的一个周期为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数两部分的周期，即可求得函数的周期. 【详解】易知，的最小正周期分别为，，则，的公倍数是的一个周期. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案. 【详解】A选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递减，故A正确； B选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故B错误； C选项，的最小正周期为，不合要求，C错误； D选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故D错误； 故选：A 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A；根据 是奇函数， 的周期为 ，分别判断 BD；化简 , 再判断 C. 【详解】对于A,因为 , 所以 的周期为 , 因为 , 所以 是偶函数,A 符合题意； 对于B, 是奇函数，B 不合题意； 对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意； 对于C, 因为 是偶函数， 因为 的周期是 符合题意. 故选: AC. 题型十 三角函数的值域问题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 例题2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】(1)， (2)的最小值为，此时；的最大值为，此时 【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论； （2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值. 【详解】（1） 故； 由令 则 故函数的单调递增区间为； （2）当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： (1)； (2)，； (3)； (4)，. 【答案】(1)时有最小值；时有最大值 (2)时有最小值；时有最大值 (3)时有最大值；时有最小值 (4)时有最大值；时有最小值 【分析】（1）利用配方法和三角函数的性质可得答案； （2）利用正弦的性质可得答案； （3）利用配方法和三角函数的性质可得答案； （4）利用余弦的性质可得答案；. 【详解】（1）， 因为， 所以当，即，或时， 有最小值； 所以当，即时，有最大值； （2）因为，所以， 所以， 当即时，有最小值，为； 当即时，有最大值，为； （3）， 因为， 所以当，即时，有最大值； 所以当，即时，有最小值； （4），. 因为，所以， 可得， 当即时，有最大值，为； 当即时，有最小值，为. 巩固训练 1．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为直线是函数的图象的一条对称轴， 所以，解得，又， 所以，所以，所以函数的最小正周期， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以， 所以，即在上的值域为. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 题型十一 图象平移与伸缩变换 例题1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解. 【详解】由于函数， 故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象. 故选：D． 例题2．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 巩固训练 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 2．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 题型十二 求三角函数解析式 例题1．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ACD 【分析】由图象求出得解析式，然后利用正弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，，所以， 所以，所以， 又，因为，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 令，解得， 所以在单调递减，而，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确. 故选：ACD 例题2．（多选）（23-24高二下·广东湛江·期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 【答案】ABD 【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解. 【详解】对于A，由已知得最小正周期，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确； 对于C，由选项A和B得，令得，， 所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以当时，单调递减，故D正确. 故选：ABD. 例题3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）函数的部分图像如图所示，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据图象求出，由周期公式可得，代点的坐标可求得. 【详解】由题意可知，，函数的周期为： 所以，由五点法作图可知： ， 即，又因为，所以， 所以函数的表达式为. 故答案为： 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】由题意可得，结合图象过点，，可求函数解析式，进而逐项计算可得结论. 【详解】由题意可得，又因为函数过点， 所以，所以，又因为，所以， 又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故A正确； 所以，由， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 若，则可得，所以， ，故C正确； 函数的最小正周期为， ， 所以，函数是奇函数，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（2024·湖南·三模）已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ）    A． B．这个简谐运动的初相为或 C．在上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 【答案】AD 【分析】由题意得，或，对分类讨论求的符合题意的、，可判断AB，由复合函数单调性可判断C，由函数平移变换法则、偶函数定义判断D. 【详解】对于AB，由题意，，因为，所以或， 当时，由，解得 ，此时只能是 当时，由，解得 ，此时无解， 综上所述，，这个简谐运动的初相为，故A正确，B错误； 对于C，由题意，当时，， 而在上不单调， 由复合函数单调性可知，在上不单调，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数 ， 显然，且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是偶函数，故D正确. 故选：AD. 3．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 【答案】/ 【分析】由图象求得参数，根据余弦函数的对称性，结合即可求值. 【详解】由图知，，， 点位于减区间内，点位于增区间内，且这两个区间相邻， 则，而，解得，， 函数的最小正周期，而，即，解得， 于是，，， 直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为， 观察图得，， 所以. 故答案为： 题型十三 五点法作图 例题1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到. (1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出结论； （2）由可计算出的取值范围，列表、描点、连线可作出函数在上的图象. 【详解】（1）解：因为 ， 所以，要得到函数的图象，可先将函数的图象向右平移个单位长度， 将所得函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的， 再将所得函数图象上每点的纵坐标缩短为原来的，可得到函数的图象. （2）解：当时，，列表如下： 作出函数在上的图象如下图所示： 例题2．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴. (1)求的值； (2)用“五点法”列表，并在图中画出函数在区间上的图象； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过对称轴之间的距离求出周期进而求得，再通过直线是其图象的一条对称轴，代入整体的思想求出； （2）利用五点作图法，列表、描点、连线可作函数在区间上的图象. 【详解】（1）相邻两条对称轴之间的距离为的最小正周期. 直线是函数的图象的一条对称轴， . （2）由知 0 -1 0 1 0 故函数在区间上的图象如图. 巩固训练 1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)图表见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； （2）根据正弦函数的单调区间计算即可； （3）根据x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的单调性求出函数的值域. 【详解】（1） 0 0 2 0 -2 0 函数图象如图所示， （2）令， 得， 所以函数的单调递增区间为 （3）因为，所以， 所以. 当，即时，； 当，即时，. 所以函数在区间上的值域为. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. （2）利用“五点法”画出图象. 【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （2）列表： 题型十四 三角函数综合大题 例题1．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数. (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； (2)将的图象向上平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求的解析式. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法作图的步骤，列表，描点，连线即可完成. （2）将进行平移和伸缩变换得最后解析式. 【详解】（1）由题意可得表格如下： 可得图象如下图所示： （2）将的图象向上平移个单位得到的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到的图象，再向右平移个单位可得的图象， 即. 例题2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由整体代入法即可求解单调区间； （2）依次得的表达式，由换元法、参变分离即可求解. 【详解】（1）由题意， 由解得， 故函数的单调增区间； （2）由题意得，故， 令， 因为，所以，故. 故函数转化为，令得， 又因为在都为增函数，故在为增函数， 所以与最多只有一个交点. 因为函数有两个不同的零点， 故与有两个不同的交点. 所以. 故， 所以实数的取值范围. 例题3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式； （2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值. 【详解】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值. 因为在是单调函数，且的图象关于点对称， 所以得，所以 又因为函数在时取得最大值，所以，， 即，.因为，所以， 所以：. （2）因为，令，则 在内的图象如图所示，    由题函数在有两个零点，， 即与在内有两个交点，， 数形结合可得：，，即， 所以. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用三角恒等变换化成正弦型函数，再整体代换即可求出单调递增区间； （2）运用图象变换得到解析式，再根据得到值域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以增区间，由不等式，即， 所以的单调递增区间为：. （2）将函数的图象向右平移个单位，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， .当， 因为的值域为  所以， 所以 ， 即   故. 2．（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数（）的最小正周期为， (1)求和的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再由给定周期求出及函数值. （2）利用正弦函数的性质求出函数的最值，再利用恒成立的不等式求解即得. 【详解】（1）依题意， ， 由函数的最小正周期为，得，因此，， 所以. （2）由，得，则，， 不等式， 由对任意，都有，得， 而，则， 所以实数的取值范围为. 3．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，求实数a取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期求解， （2）利用换元法，将问题转化为的根的分布，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1） 因为的最小正周期为， 所以，即， 所以； （2）①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在，令 所以,即,解得： 当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是即，解得， 此时可求得另一根，所以符合题意， 当一个根是1，另一个实根在，由得， 此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上a的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 3、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 4、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 5、任意角的三角函数定义 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 6、同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 7、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 8、正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 9、正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 10、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） 11、两角和与差的正弦公式 （1） （2） 12、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） 13、二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 03 题型归纳 题型一　倍（分）角所在象限 例题1．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 例题2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 巩固训练 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一·全国·课后作业）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 题型二　扇形弧长和面积 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 例题2．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 巩固训练 1．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是 . 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 题型三　三角函数的定义 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 巩固训练 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 . 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 题型四　已知求其他分式或多项式 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型五 与的关系　 例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 题型六　利用诱导公式化简 例题1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 例题2．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简： (1)； (2)； 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 2．（23-24高一下·北京·期中）已知角为第二象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 题型七 求三角函数的单调区间　 例题1．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 例题2．（23-24高二上·云南文山·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的最小正周期及单调区间． 巩固训练 1．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 题型八　三角函数奇偶性，对称性有关的问题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知函数，的图象的对称中心是 ． 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象的对称轴为 ，对称中心为 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 题型九 与三角函数周期有关的问题　 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．1 例题3．（多选）（22-23高一上·重庆合川·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高三上·河南·开学考试）函数的的一个周期为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型十 三角函数的值域问题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 例题2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： (1)； (2)，； (3)； (4)，. 巩固训练 1．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 题型十一 图象平移与伸缩变换 例题1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例题2．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 巩固训练 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型十二 求三角函数解析式 例题1．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 例题2．（多选）（23-24高二下·广东湛江·期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 例题3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）函数的部分图像如图所示，则函数的表达式为 ． 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 2．（多选）（2024·湖南·三模）已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ）    A． B．这个简谐运动的初相为或 C．在上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 3．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 题型十三 五点法作图 例题1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到. (1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 例题2．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴. (1)求的值； (2)用“五点法”列表，并在图中画出函数在区间上的图象； 巩固训练 1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 题型十四 三角函数综合大题 例题1．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数. (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； (2)将的图象向上平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求的解析式. 例题2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 2．（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数（）的最小正周期为， (1)求和的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，求实数a取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$