第四章 指数与对数 压轴题专练（8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第四章 指数与对数 压轴题专练（题型清单） 题型一　根式的化简或求值 例题：求值:. 解　要使原式有意义,须使成立, 所以a=-1,原式==-. 【点睛】根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. 巩固训练 1.若6<a<7,+=　　　　;  答案　1　 解析　因为6<a<7,所以+=(a-6)+(7-a)=1. 2.计算:+-=　　　　.  答案　 解析　原式=+-=+-=. 题型二 指数幂的运算 例题：计算:(1)·(-3)÷(a>0,b>0); (2)(0.064-++|-0.01. 解　(1)原式= =-9=-9. (2)原式=(0.43-1++(0.12 =0.4-1-1++0.1=3.1. 【点睛】利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的. (2)无括号先做指数运算. (3)负指数幂化为正指数幂的倒数. (4)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数的运算性质. 巩固训练 (1)计算:; (2)化简:·z-1·(x-1··z3. 解　(1)原式=[(53+(2-4+(73=(52+22+7=3=6. (2)原式==x1·y0·z-2=xz-2. 题型三 对数恒等式的应用 例题：log5(log3(log2a))=0,计算3的值. 解　因为log5(log3(log2a))=0, 所以log3(log2a)=1,即log2a=3. 所以a=23=8. 所以原式=(62==a2=64. 【点睛】性质=N与logaab=b的作用 (1)=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式. (2)性质logaab=b的作用在于把任意一个实数转化为以a为底的对数形式. 巩固训练 已知3a=4b=5,求的值. 解　∵3a=4b=5,∴a=log35,b=log45, ∴=log35·log54=log34, ∴====16. 题型四 对数运算 例题：计算:log2+log212-log2. 解　方法一　原式= =(log27-log248)+log23+2log22-(log22+log23+log27)=log27-log23-log216+log23+2--log27=-. 方法二　原式=log2=-. 【点睛】对数的运算性质在解题中的两种应用 巩固训练 计算:lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06. 解　原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2 =3×lg 5×lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3(lg 5+lg 2)-2 =3-2 =1. 题型五　对数换底公式的应用 例题：已知x＞0,y＞0,z＞0,求证:≥8. 证明　∵x＞0,y＞0,z＞0, ∴＋≥＞0,＋≥＞0,＋≥＞0, 当且仅当x＝y＝z时,以上三个不等式等号同时成立. ∴ ≥＝8. 当且仅当x＝y＝z时等号成立. 【点睛】1.利用不等式的性质解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 题型六　利用换底公式求值 例题：计算:(1)log29·log34; (2). 解　(1)由换底公式可得, log29·log34＝·＝·＝4. (2)原式＝×＝lo×lo9 ＝×＝×＝-. 【点睛】利用换底公式求值的思想与注意点 巩固训练 1.若log5·log36·log6x＝2,则x＝(　　) A.9　　B. C.25　　D. 解析:D　log5·log36·log6x＝-log53·log36·log6x＝-log5x,则log5x＝-2,则x＝5-2＝.故选D. 2.log23×log34×log45×log52＝　　　　.  解析:log23×log34×log45×log52 ＝×××＝1. 答案:1 题型七　对数的综合应用 例题：已知log189＝a,18b＝5,求log3645.(用a,b表示) 解　因为18b＝5,所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝＝. 【点睛】求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式; (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法; (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用,能够将不同底的问题转化为同底问题,从而使我们能够利用对数的运算性质解题. 巩固训练 已知x,y,z都是大于1的正数,m＞0,且logxm＝24,logym＝40,logxyzm＝12,求logzm的值. 解:由logxm＝24得logmx＝, 由logym＝40得logmy＝, 由logxyzm＝12得logm(xyz)＝, 则logmx＋logmy＋logmz＝. 所以logmz＝--＝,所以logzm＝60. 题型八　利用对数运算解决实际问题 例题：在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1＝lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A.1010.1　　B.10.1 C.lg 10.1　　D.10-10.1 解析　由题意知,m1＝-26.7,m2＝-1.45, 代入所给公式得-1.45-(-26.7)＝lg , 所以lg ＝10.1,所以＝1010.1.故选A. 答案　A 【点睛】　　对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛,其应用问题大致可以分为两类: (1)建立对数式,在此基础上进行一些实际求值,计算时要注意指数式与对数式的互化; (2)建立指数幂型应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 巩固训练 有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨,2020年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从　　　　年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)  解析:设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2019年开始增加的年份的数量(n∈N*), 由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×,由400×＝4 000,两边取以10为底的对数并化简可得n(lg 3-lg 2)＝1, ∴n(0.477 1-0.301 0)＝1,即0.176 1n＝1,又n∈N*, ∴n＝6,∴2 019＋6＝2 025.故从2025年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨. 答案:2025 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数与对数 压轴题专练（题型清单） 题型一　根式的化简或求值 例题：求值:. 【点睛】根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. 巩固训练 1.若6<a<7,+=　　　　;  2.计算:+-=　　　　.  题型二 指数幂的运算 例题：计算:(1)·(-3)÷(a>0,b>0); (2)(0.064-++|-0.01. 【点睛】利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的. (2)无括号先做指数运算. (3)负指数幂化为正指数幂的倒数. (4)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数的运算性质. 巩固训练 (1)计算:; (2)化简:·z-1·(x-1··z3. 题型三 对数恒等式的应用 例题：log5(log3(log2a))=0,计算3的值. 【点睛】性质=N与logaab=b的作用 (1)=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式. (2)性质logaab=b的作用在于把任意一个实数转化为以a为底的对数形式. 巩固训练 已知3a=4b=5,求的值. 题型四 对数运算 例题：计算:log2+log212-log2. 【点睛】对数的运算性质在解题中的两种应用 巩固训练 计算:lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06. 题型五　对数换底公式的应用 例题：已知x＞0,y＞0,z＞0,求证:≥8. 【点睛】1.利用不等式的性质解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 题型六　利用换底公式求值 例题：计算:(1)log29·log34; (2). 【点睛】利用换底公式求值的思想与注意点 巩固训练 1.若log5·log36·log6x＝2,则x＝(　　) A.9　　B. C.25　　D. 2.log23×log34×log45×log52＝　　　　.  题型七　对数的综合应用 例题：已知log189＝a,18b＝5,求log3645.(用a,b表示) 【点睛】求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式; (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法; (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用,能够将不同底的问题转化为同底问题,从而使我们能够利用对数的运算性质解题. 巩固训练 已知x,y,z都是大于1的正数,m＞0,且logxm＝24,logym＝40,logxyzm＝12,求logzm的值. 题型八　利用对数运算解决实际问题 例题：在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1＝lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A.1010.1　　B.10.1 C.lg 10.1　　D.10-10.1 【点睛】　　对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛,其应用问题大致可以分为两类: (1)建立对数式,在此基础上进行一些实际求值,计算时要注意指数式与对数式的互化; (2)建立指数幂型应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 巩固训练 有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨,2020年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从　　　　年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$