第二章 圆与方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章 圆与方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．过点与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 6．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 11．下列对动直线的四种表述正确的是（    ） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 14．直线被圆截得最大弦长为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知圆，直线. (1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； (2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 16．(本小题满分15分)已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17．(本小题满分15分)已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 18．(本小题满分17分)已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 19．(本小题满分17分)已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆与方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．过点与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定点在圆上结合直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】因为，所以P在圆O上，则P为切点， 所以切线的斜率满足， 设切线的倾斜角，则，即. 故选：B 2．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两条直线的交点坐标，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 3．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 4．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 5．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 6．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 8．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】AC 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆即为：， 故圆心，半径为， 因为直线与圆有两个不同的交点，故， 故，结合选项可知AC符合题意. 故选：AC. 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 11．下列对动直线的四种表述正确的是（    ） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是 【答案】BCD 【分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断C、D. 【详解】直线可化为， 令，，解得，，所以直线恒过定点，故B正确； 而该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交，故A错误； 当时，直线方程为，斜率为0，故C正确； 当时，直线方程为，斜率为，倾斜角为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 14．直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案. 【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知圆，直线. (1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； (2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （2）设动点，由几何关系得动点M满足的向量关系，可求得轨迹方程. 【详解】（1）圆化为标准方程为， 圆心，半径， 设圆心到直线l的距离为d，因为弦长为，则，解得， 所以，解得，故直线方程为或. （2）直线，直线过定点，且斜率存在， 设弦AB的中点， 则，所以，即， 点也满足方程，此时点与点重合，直线l的斜率不存在，不合题意， 所以弦的中点M的轨迹方程为. 16．(本小题满分15分)已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的圆心为，半径为，根据条件得到，即可求解； （2），先求出圆心到直线的距离，再根据条件得到，即可求解. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为， 又圆的圆心在直线上，与x轴相切于点，所以， 故圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在，设， 则圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为， 所以，化简得到，解得或， 所以直线的方程为或. 17．(本小题满分15分)已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． （2）解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 18．(本小题满分17分)已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 19．(本小题满分17分)已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$