第二章 圆与方程 知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章 圆与方程 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径． (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 要点诠释： 平面内确定圆的要素是：圆心坐标和半径． 二、点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 三、圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝． 2.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 四、圆与圆位置关系的判定 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 03 题型归纳 题型一　求圆的标准方程 例题：求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 解析　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a). 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴＝，解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1，1)，圆的半径为r＝＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 巩固训练 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________． 答案：(x－2)2＋y2＝10　 解析：由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y＝2x－4，令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2，0)，所以圆的半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.] 1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　 ) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 解析：选C　根据倾斜角的定义，并结合图形(图略)知，所求直线的倾斜角为180°－α. 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：135° 题型二　圆的标准方程的实际应用 例题：一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) 解析 (1)在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴， 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为(－16，0)，(16，0)，(0，8). 又圆心C在y轴上，故可设C(0，b). 因为|CD|＝|CB|，所以8－b＝，解得b＝－12， 所以|CD|＝20. 所以圆拱所在圆的方程为：x2＋(y＋12)2＝400. (2)当x＝4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8 m的地方距正常水位时的水面约7.60 m， 距涨水后的水面约5.6 m，因为船高6.5 m，顶宽8 m， 所以船身至少降低6.5－5.6＝0.9(m)以上，船才能顺利通过桥洞． 【点睛】解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算． 巩固训练 1．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ 解析　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).将x＝2.7代入圆的方程，得y＝＝＜3，即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道． 题型三　与圆有关的最值问题 例题：已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 解析　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 【点睛】与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． 巩固训练 1．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的取值范围． 解析：设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率， 由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r， 即≤， 解得－≤k≤. 即的取值范围是. 题型四　圆的一般方程的认识 例题：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解析：　(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 【点睛】解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 巩固训练 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0). 解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0). (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型五　求圆的一般方程 例题：已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解析：　法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴ ∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 【点睛】利用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组； (3)解方程组，求出D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程． 巩固训练 1.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 解析：圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0. 则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型六　与圆有关的轨迹问题 例题：点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解析：(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式得点P坐标为(2x－2，2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 【点睛】1．直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 2．代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)； (2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程； (3)用x，y表示x0，y0； (4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (5)化简方程为最简形式． 巩固训练 1.点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． 求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解析：设T(x，y). 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时有kOT·kBT＝－1. 即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0． 题型七　圆与圆的位置关系的判断 例题：当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 解析：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当＋1＜5， 即34＜k＜50时，两圆外离． 【点睛】判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 巩固训练 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解析：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 题型八　两圆相切问题 例题：　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 解析　(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.] (2)解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16， 由圆与直线y＝0相切、半径为4， 则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4). 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3. 由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1. ①当圆心为C1(a，4)时， (a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)， 故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16. ②当圆心为C2(a，－4)时， (a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2. 故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 【点睛】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 巩固训练 1．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解析：已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0). 由题意，可得 解得或 即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 题型九　两圆相交问题 例题：已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解析　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． (2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为＋＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 【点睛】1．求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 2．过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 巩固训练 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 解析：C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.故选C.] 2．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________． 解析：x2＋y2－x－2y＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1， 即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆与方程 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径． (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 要点诠释： 平面内确定圆的要素是：圆心坐标和半径． 二、点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 三、圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝． 2.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 四、圆与圆位置关系的判定 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 03 题型归纳 题型一　求圆的标准方程 例题：求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 巩固训练 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________． 1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　 ) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 题型二　圆的标准方程的实际应用 例题：一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) 【点睛】解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算． 巩固训练 1．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ 题型三　与圆有关的最值问题 例题：已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 【点睛】与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． 巩固训练 1．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的取值范围． 题型四　圆的一般方程的认识 例题：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【点睛】解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 巩固训练 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0). 题型五　求圆的一般方程 例题：已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 【点睛】利用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组； (3)解方程组，求出D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程． 巩固训练 1.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 题型六　与圆有关的轨迹问题 例题：点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【点睛】1．直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 2．代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)； (2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程； (3)用x，y表示x0，y0； (4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (5)化简方程为最简形式． 巩固训练 1.点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． 求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 题型七　圆与圆的位置关系的判断 例题：当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 【点睛】判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 巩固训练 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 题型八　两圆相切问题 例题：　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 【点睛】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 巩固训练 1．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 题型九　两圆相交问题 例题：已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【点睛】1．求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 2．过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 巩固训练 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 2．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$