第二章 圆的方程 压轴题专练（7类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章 圆与方程 压轴题专练（题型清单） 题型一　圆的标准方程的实际应用 例题：一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) 解析　(1)在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴， 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为(－16，0)，(16，0)，(0，8). 又圆心C在y轴上，故可设C(0，b). 因为|CD|＝|CB|，所以8－b＝，解得b＝－12， 所以|CD|＝20. 所以圆拱所在圆的方程为：x2＋(y＋12)2＝400. (2)当x＝4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8 m的地方距正常水位时的水面约7.60 m， 距涨水后的水面约5.6 m，因为船高6.5 m，顶宽8 m， 所以船身至少降低6.5－5.6＝0.9(m)以上，船才能顺利通过桥洞． 【点睛】解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算． 巩固训练 1.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ 解析　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).将x＝2.7代入圆的方程，得y＝＝＜3，即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道． 题型二　与圆有关的最值问题 例题：已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 解析　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 【点睛】与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． 巩固训练 1.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的的最值． 解析　设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率， 由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r， 即≤， 解得－≤k≤. 即的取值范围是 题型三　直线与圆相切问题 例题：(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________． (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解析(1)x＋2y－3＝0　[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0， 即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)， 则P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a， 又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2， 则直线l的方程为x＋2y－3＝0.] (2)解析　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C， 因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在， 圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 【点睛】圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 巩固训练 1.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________． 解析4　[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为， 当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝≥3，所以切线长的最小值为＝4.] 题型四　直线与圆相交问题 例题：(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. (2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 解析　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1，3)，B(2，0).故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝. (2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. 【点睛】求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2求解． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝·． 巩固训练 1．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　　　 B．2 C．　　　　 D． 解析B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.故选B.] 题型五　直线与圆位置关系的实际应用 例题：一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解析　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响． 【点睛】直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和待求的数据； (2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程； (3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释． 巩固训练 1．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　) A．14米 B．15米 C．米 D．2米 解析D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)， 设圆的半径长为r，则C(0，－r)， 则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2. 将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100， 当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′， 可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝， ∴水面宽度|A′B′|＝2米．] 题型六　两圆相切问题 例题：(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 解析　(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.] (2)　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16， 由圆与直线y＝0相切、半径为4， 则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4). 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3. 由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1. ①当圆心为C1(a，4)时， (a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)， 故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16. ②当圆心为C2(a，－4)时， (a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2. 故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 【点睛】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 巩固训练 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解析　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0). 由题意，可得 解得或 即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 题型七　两圆相交问题 例题：已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解析　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． (2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为＋＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 【点睛】1．求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 2．过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 巩固训练 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程． 解析　由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程． 因圆C1的圆心(－3，0)，r＝. C1到直线AB的距离d＝＝. ∴|AB|＝2＝2＝5. 即两圆的公共弦长为5. 弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线． ∵C1(－3，0)，C2(0，－3). ∴AB的中垂线方程为＋＝1， 即x＋y＋3＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆与方程 压轴题专练（题型清单） 题型一　圆的标准方程的实际应用 例题：一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) 巩固训练 1.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ 题型二　与圆有关的最值问题 例题：已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 巩固训练 1.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的的最值． 题型三　直线与圆相切问题 例题：(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________． (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 巩固训练 1.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________． 题型四　直线与圆相交问题 例题：(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. (2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 巩固训练 1．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　　　 B．2 C．　　　　 D． 题型五　直线与圆位置关系的实际应用 例题：一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 巩固训练 1．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　) A．14米 B．15米 C．米 D．2米 题型六　两圆相切问题 例题：(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 巩固训练 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 题型七　两圆相交问题 例题：已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 巩固训练 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$