专题03 中心对称与旋转（5大经典基础题+4大优先提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题03 中心对称与旋转 中心对称 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B．   C． D． 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，点为 ． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的中线．    (1)尺规作图：作，使其与关于点D中心对称； (2)证明：四边形为平行四边形． 求旋转角度 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，五角星围绕中心O旋转，旋转角至少为多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图是在2022年北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片．我们可以旋转图片上方的“雪花图案”，这个“雪花图案”至少旋转 能与原“雪花图案”重合． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度    4.（2023·吉林白城·三模）如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 根据旋转的性质求解 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，正方形的边长为3cm，线段绕点A逆时针旋转150°，点B与点E重合，则的长度为（    ） A．3cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，，则旋转角的度数是 ．    3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．    4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在的延长线上，连接，求证：四边形是平行四边形． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到， (1)求证：平分； (2)若，求旋转角的度数． 坐标的旋转 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点坐标，将绕点顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为（      ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，﹣4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ． 画旋转图形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，的个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到．，    (1)请在图中画出； (2)若点B坐标为，点A坐标为，直接写出点坐标 ． 2．（23-24九年级上·福建厦三明·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A，B，C都在格点上．    (1)将向左平移7个单位长度得到，请画出； (2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D．    (1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，． (1)尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的长． 旋转中的规律性问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即依次类推，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 手拉手模型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．    (1)如图1，可得___________；若，则___________． (2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示） (3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 对角模型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    2．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中心对称与旋转 中心对称 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B．   C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换．先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕原点旋转180°后，开口大小没有变化，开口方向与原来的相反，顶点坐标的横纵坐标与原顶点坐标的横纵坐标互为相反数，可据此得出所求的结论． 【详解】解：∵， ∴将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为； 故选C． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标关于原点对称规律，由规律得，即可求解；掌握坐标变化规律“关于原点的对称点坐标为”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 点与点关于原点对称， ， 解得：， ， 故答案：． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数，即可得到答案，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的中线．    (1)尺规作图：作，使其与关于点D中心对称； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质作出平行四边形即可； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可得出结论． 本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键． 【详解】（1）（1）解：如图，延长，以点D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，，则即为所求；    （2）证明：由作图可知，， 又是的中线， ， 四边形为平行四边形． 求旋转角度 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，五角星围绕中心O旋转，旋转角至少为多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要掌握旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的概念是解题的关键．五角星能从中心发出的射线平分成相等的五部分，再由一个周角是即可求出最小的旋转角． 【详解】解：五角星能从中心发出的射线平分成相等的五部分， 最小的旋转角为． 故选B． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图是在2022年北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片．我们可以旋转图片上方的“雪花图案”，这个“雪花图案”至少旋转 能与原“雪花图案”重合． 【答案】或60度 【分析】本题考查旋转对称图形，“雪花图案”可以看成正六边形，图形可以平均分成6份，即可解决问题． 【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形， ∴图形可以平均分成份， ∵， ∴这个图案至少旋转能与原雪花图案重合． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度    【答案】60 【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4.（2023·吉林白城·三模）如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】 【分析】根据旋转的性质判断即可． 【详解】解：由题意得：， 该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，理解题意求出旋转角度是解答本题的关键． 根据旋转的性质求解 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，正方形的边长为3cm，线段绕点A逆时针旋转150°，点B与点E重合，则的长度为（    ） A．3cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据正方形和旋转的性质，得到为等边三角形，即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3cm， ∴， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴； 故选A． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，，则旋转角的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，根据图形旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角即为旋转角确定把绕点A顺时针旋转得到后旋转角即为，然后根据正方形的性质求解． 【详解】∵把绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角为， 又∵四边形是正方形， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．    【答案】 【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 连接,则为等边三角形，    ∴° ∵， ∴， ∴过作交的延长线点， ∴          ∴在中， ， ∴，     ∴, ∴在中， ， 故答案为:． 【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在的延长线上，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形性质、平行四边形的判定；由旋转得，结合等腰三角形性质，可证，，从而得证平行四边形． 【详解】证明：由旋转性质，得． ， ． ， ， ， ． 由旋转的性质，得． 又， ， 四边形是平行四边形． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到， (1)求证：平分； (2)若，求旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），根据旋转的性质可得，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； 对于（2），设与交于点O，根据旋转的性质可得，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图： 由旋转得，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，设与交于点O， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴ . ∵， ∴. ∵是的一个外角， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 坐标的旋转 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的变化，旋转，把点的旋转转化成直角三角形的旋转是解答本题的关键． 根据已知条件，作轴，得到，，问题转化成为将绕点顺时针旋转后得到，由此得到点的坐标． 【详解】如图，作轴，连接，得到，，    将绕点顺时针旋转后得到， 根据旋转的性质得到，，， 点绕点顺时针旋转后得到点，则点的坐标为 故选：． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点坐标，将绕点顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作BH⊥OA于H．证明BB′∥OA，求出BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥OA于H． ∵A（1，0），△AOB，△ABB′都是等边三角形， ∴OA=OB=AB=BB′=1，∠OAB=∠ABB′=60°， ∴BB′∥OA， ∵BH⊥OA， ∴OH=AH=，BH=OH=， ∴B′（，）， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查全等三角形与一次函数，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，即可得到，可求出点坐标和直线解析式，最后根据求出点坐标即可． 【详解】如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，    由题意可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴直线直线解析式为， ∴设， ∵在第一象限， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，﹣4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ． 【答案】（4，﹣3）． 【分析】先构建Rt△OAB，再把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，根据旋转的性质得到A′B′=AB=3，OB′=OB=4，∠OB′A′=∠OBA=90°，然后写出A′点的坐标． 【详解】如图， 把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，则A′B′＝AB＝3，OB′＝OB＝4，∠OB′A′＝∠OBA＝90°， 所以点A′的坐标为（4，﹣3）． 故答案为（4，﹣3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，通过把线段旋转的问题转化为直角三角形的性质解决问题． 画旋转图形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，的个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到．，    (1)请在图中画出； (2)若点B坐标为，点A坐标为，直接写出点坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形、图形旋转等知识； （1）根据旋转的性质，在网格中找到的对应位置，然后顺次连接即可； （2）根据坐标轴的特点确定点坐标即可． 【详解】（1）解：画出如下图，    （2）解：如图所示，    若点坐标为，点坐标为，则点坐标为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建厦三明·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A，B，C都在格点上．    (1)将向左平移7个单位长度得到，请画出； (2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案． （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）如图所示，，即为所求      （2）如图所示，，即为所求    【点睛】本题考查了平移，旋转的性质，解题的关键是根据已知得出对应点的位置． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D．    (1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)直线经过点E，理由见解析 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，为半径画弧交于点D，分别以A、C为圆心，为半径画弧交于点E，再连接A、D、E即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，从而求得，再由，可得，再由，可证点E、C、B在一条直线上，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即所求；    （2）解：由旋转的性质可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E、C、B在一条直线上， ∴直线经过点E．    【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，． (1)尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是利用勾股定理即可解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）利用勾股定理先求得，再求得的长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：∵中，， ∴， 绕点A顺时针旋转得到， ， ∴，， ， ∴， 中，． 旋转中的规律性问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键． 作出旋转后的图象，找出图形变换规律，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标． 【详解】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转4次则回到原位置， ， 第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ，， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标是， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标. 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，    ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键. 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即依次类推，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识．由题意得的坐标为，同理的坐标为，即，的坐标为，即， 的坐标为，即， ，再由，即可得出结论． 【详解】解：点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即， 的坐标为， 同理：的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴由旋转得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ∴），，，，，，，…， 发现是次一循环，所以， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法． 手拉手模型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．    (1)如图1，可得___________；若，则___________． (2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示） (3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （3）当交点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴；    当交点F在线段上时，如图4， 同理可得：；    当交点F在线段上时，如图5， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 综上，或．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析 (2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析 (3)DE＝BD 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解； （3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝， ∴DE＝BD． 【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①固定不变；②或8 【分析】（1）先判断出，进而得出，，即可得出结论； （2）①先判断出，得出，进而得出答案； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．过点作于，求出，，进而求出，即可得出答案； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案． 【详解】（1）是等边三角形， ， ∵， ，． 是等边三角形； （2）①的度数是定值，理由如下：如图2， 在和中， ， ， ， 又， ； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．如图3， 过点作于， 在中，，． ∴ ∴，； 在中，， ； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，如图4， 过点作于， ． 同理可得， 综上所述，或8． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键． 对角模型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 2．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图所示，将绕着点A逆时针旋转90°得到，先证明三点共线，然后推出，即可利用证明，得到，由此即可证明； （2）当，结论成立，如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到，则，，先证明三点共线，再证明，即可利用证明得到，由此即可证明； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到，则，，证明，即可利用证明，得到，在中，由勾股定理得，则． 【详解】（1）解：如图所示，将绕着点A逆时针旋转90°得到， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即三点共线， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当时，仍有，理由如下： 如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴， ∵， ∴，即三点共线， ∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$