专题10 椭圆中弦长与切线五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题10 椭圆中弦长与切线五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆中弦长…………………………………………………………………1 类型二、椭圆中点弦…………………………………………………………………3 类型三、椭圆相交弦 4 类型四、椭圆切点弦 8 类型五、椭圆的切线 13 压轴能力测评（10题） 18 1.椭圆中弦长： 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2.椭圆切线： （1）直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）椭圆在(x0，y0)处的切线方程为； 类型一、椭圆中弦长 例．（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（     ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【变式训练1】斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 类型二、椭圆中点弦 例．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 类型三、椭圆相交弦 例．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【变式训练1】已知，是椭圆上的两点． （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，. (1)求的值； (2)若，求和的值. 类型四、椭圆中切点弦 例．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【变式训练1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时，试问直线是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由. 【变式训练2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 类型五、椭圆的切线 例．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， (1)求C的方程； (2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q， ⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【变式训练1】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【变式训练2】已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，从原点O向圆R：作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点且有OP⊥OQ，则椭圆的方程为（     ） A． B． C． D． 2．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（     ） A． B． C． D． 3．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（     ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（     ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 6．（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的圆心为H，内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（     ） A．存在，使得成立 B．的最小值为 C．过点I的直线l斜率为，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为，则 D．椭圆C的离心率 7.在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 . 8.已知椭圆E：过点，且焦距为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 9．已知椭圆的右顶点为，下顶点为，椭圆的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上（异于椭圆的顶点），点满足（为坐标原点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为中点，求直线斜率． 10．动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 椭圆中弦长与切线五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆中弦长…………………………………………………………………1 类型二、椭圆中点弦…………………………………………………………………3 类型三、椭圆相交弦 4 类型四、椭圆切点弦 8 类型五、椭圆的切线 13 压轴能力测评（10题） 18 1.椭圆中弦长： 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2.椭圆切线： （1）直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）椭圆在(x0，y0)处的切线方程为； 类型一、椭圆中弦长 例．（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（     ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A正确； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D正确. 故选：ABD 【变式训练1】斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 类型二、椭圆中点弦 例．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】法一：令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： 法二：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 类型三、椭圆相交弦 例．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 【变式训练1】已知，是椭圆上的两点． （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）由题意可得 ,解得 ， 故椭圆E的方程为． （2）证明：由（1）可知，，则直线的方程为 联立方程组,整理得，解得或，则， 设，直线的方程为，直线的方程为， 设， 联立方程组 ，整理得， 可得， 联立方程组 ， 整理得， 则，从而． 因为，，即, 所以直线经过点F． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，. (1)求的值； (2)若，求和的值. 【答案】(1)2； (2)， 【分析】（1）联立直线直线和椭圆的方程，求出M点坐标，根据列出关于a的方程，即可求得答案. （2）联立直线和椭圆方程，求出点的坐标的表达式，即可求得，的表达式，结合，可推出，即三点共线，结合，可得，由此即可取得答案. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为， 联立，解得或， 代入，得， 由得，， 解得， ； （2）由（1）知椭圆方程为，联立， 得，解得或， 即，则，即， 同理可得， 则，， 由于，故，故，即三点共线，    又，故， 又，， 故，解得，由于， 故. 类型四、椭圆中切点弦 例．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证； 充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以， 又，所以椭圆方程为； （2）由（1）得，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立可得，所以， 所以, 所以必要性成立； 充分性：设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立可得， 所以， 所以 ， 化简得，所以， 所以或，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是． 【变式训练1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时，试问直线是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 过定点 【详解】（1） 椭圆的上顶点为，离心率为 可得 解得 椭圆的方程为. （2）设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 消掉得: 设 同理可得 直线BD方程为 令，得， 故直线过定点. 【变式训练2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值. 【详解】（1）因为的周长为8， 所以，解得， 焦距为，，所以， 所以椭圆E的方程为． （2）由（1）可知圆， 当直线斜率不存在时，为或， 当时，，则， 当时，同理， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，则， 设， 联立椭圆于直线方程，消元得， 所以， 由，得, , 令， 则， 由，所以当时，， 而时，单调递减，所以，所以. 类型五、椭圆的切线 例．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， (1)求C的方程； (2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q， ⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在， 【分析】（1）先求出右顶点D和M的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案. 【详解】（1）由右焦点为，得， 因为，所以， 若，则，得，无解， 若，则，得，所以，因此C的方程. （2）设，易知过B且与C相切的直线斜率存在， 设为， 联立，消去y得， 由，得， 设两条切线BP，BQ的斜率分别为，，则，. 在中，令，得，所以， 同理，得，所以PQ的中垂线为， 易得BP中点为，所以BP的中垂线为， 联立，解得， 所以，， 要使，即，整理得， 而， 所以，解得，，因此， 故存在符合题意的点B，使得，此时.    【变式训练1】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数. 【详解】（1） 如图1，由已知可得，， 所以. 又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. （2）设，，. 则由已知可得，方程为：，方程为：. 将代入、方程整理可得， ，. 显然、点坐标都满足方程. 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为. 所以，为定点. 【变式训练2】已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 【答案】（1） ；（2）2 【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值. 【详解】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为； （2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：， 由，得． ，，. 不妨设在x轴上方，则在x轴下方． 椭圆在x轴上方对应方程为，， 则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得. 同理可得B处的切线方程为． 由得， 代入①得，所以． 因为，所以 设，则，则， 当且仅当，即时，的最大值是2． 另解：当直线l的斜率存在时，设l：， 由得， 所以，，， 椭圆在x轴上方的部分方程为，， 则过的切线方程为， 即， 同理可得过的切线方程为. 由得 设，则， 所以直线l的方程为，所以. ， 令，则，所以， 当时，即时，取得最大值，为2． 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，从原点O向圆R：作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点且有OP⊥OQ，则椭圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得：，又，故， 又点在椭圆上，则，解得，故椭圆方程为：. 故选：A 2．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，， 则有，两式相减得：， 而，且，即有， 又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意， 所以椭圆的方程为. 故选：A 3．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（     ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，利用点差法可得，判断①错误；利用点差法的结论可以求出直线方程，进而判断②正确；利用点差法的结论可以求出，判断③错误；结合弦长的求解方法求出，判断④正确； 【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得： ，设，则. 对①：，故直线不垂直，则①错误； 对②：：若点M坐标为,则，则， 又过点，则直线的方程为，即，故②正确. 对③：若直线方程为，故可得，即，又， 解得，即，故③错误； 对④：若直线方程为，联立椭圆方程， 可得：，解得，故， 则，故④正确； 故选：C. 4．已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由的方程为，得的斜率为． 又因为直线的斜率为，所以，即， 所以椭圆的离心率为． 故选：B 5．（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（     ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C; 根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D. 【详解】因为，，所以，所以，故A正确; 因为，所以，故B错误; 设 因为与椭圆交于，两点， 所以， 两式相减得， 即，即， 因为，所以，故C正确; 设直线, 由得, 因为直线与圆相交,所以,解得, 根据韦达定理得 , 点到直线的距离, 所以, 因为， 当且仅当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD 6．（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的圆心为H，内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（     ） A．存在，使得成立 B．的最小值为 C．过点I的直线l斜率为，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为，则 D．椭圆C的离心率 【答案】ABD 【分析】对A，根据表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，进而判断出与共线，最后判断答案； 对B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式求得答案； 对C，利用“点差法”即可求得答案； 对D，运用角平分线定理即可求得答案. 【详解】对A，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以与共线，而.A正确； 对B，，取线段的中点G，则HG⊥，由平面向量数量积的定义可知，，同理，所以. 由基本不等式易得：，当且仅当时取“=”.B正确； 对C，设，则，所以， 有因为，即.C错误； 对D，易知，分别是的角平分线，由角平分线定理可知：.D正确. 故选：ABD. 7.在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 . 【答案】 【详解】设，由可知，，又，， 则， 因为点为的垂心，所以， 即，即()， 联立，得，得， 则直线与椭圆相离，如图， 设直线与椭圆相切， 联立，得， 令，得， 由图可知，与椭圆相切的切点到直线的距离最近， 此时最近距离为平行线和间的距离，即. 8.已知椭圆E：过点，且焦距为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意有，，即可求解； （2）①设直线：的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点的坐标，继而可得点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；②根据，表示出的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值. 【详解】（1）依题意有，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①设：，，，则：， 联立，故，，， 故，由代替m，得， 当，即时，：，过点. 当，即时，，：， 令，，直线MN恒过点. 当，经验证直线MN过点. 综上，直线MN恒过点. ②， 令，， ∵在上单调递减， ∴，当且仅当，时取等号. 故面积的最大值为.    9．已知椭圆的右顶点为，下顶点为，椭圆的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上（异于椭圆的顶点），点满足（为坐标原点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为中点，求直线斜率． 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出椭圆的方程； （2）根据题意设直线为，代入椭圆方程化简求出点的横坐标，再由为中点，可表示出点的坐标，由求出点的坐标，再由直线与以为圆心的圆相切于点，可得可求出的值. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）因为椭圆的右顶点为，下顶点为，所以， 因为点在椭圆上（异于椭圆的顶点），所以直线的斜率存在且不为零， 所以设直线为， 由，得， 因为，所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 因为，，所以， 因为直线与以为圆心的圆相切于点， 所以，即， 整理得，解得或， 所以直线斜率为或. 10．动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果. 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，故， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，所以， 故的方程为：. （2）设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为：，显然当时，， 故直线经过定点. 设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$