专题03 对称图形-圆（考题猜想，易错必刷65题16种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 对称图形—圆（易错必刷65题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本概念 题型二 点与圆的位置关系 题型三 垂径定理 题型四 垂径定理的应用 题型五 确定圆的条件 题型六 圆周角 题型七 90度的圆周角所对的弦是直径 题型八 圆内接四边形 题型九 切线的性质定理 题型十 正多边形与圆 题型十一 弧长 题型十二 扇形面积 题型十三 圆锥的侧面积 题型十四 圆中求角度问题 题型十五 圆中求长度问题 题型十六 圆中动点问题 一． 圆的基本概念 1．以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 3．给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 4．下列命题中，正确的个数是（　 ） （1）直径是弦，但弦不一定是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆； （4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 2．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .    4．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 三．垂径定理 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为，若的半径为，则弦的长等于（    ）    A． B． C． D． 3．在中，弦的长为4，，交于点D，交于点C， ，则半径长 ． 4．如图，在中，直径，弦，弦，垂足分别为．    (1)求弦的长； (2)如果，求的度数． 四．垂径定理的应用 1．如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 2．如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为40米，拱高为8米，则桥拱所在圆的半径长为 米． 3．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 五．确定圆的条件 1．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 3．如图，已知．     (1)请利用直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)仅用无刻度的直尺，在上找两点D、E，使它们与点A、点B构成矩形． 六．圆周角 1．如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，是的弦，的半径为3．为上一点，连接、，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．6 3．如图，点A、B、C在上，与交于点D，，则的度数为 ． 4．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C． (1)若，求的长度； (2)若，则______°． 5．如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 七．90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．    5．如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ． 八．圆内接四边形 1．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，则的度数为 ．    4．如图，中，，，与边，的另一个交点分别为，．则的大小为 ． 5．如图，在中，，过点A，C的与，分别交于点D，E，连接． (1)求证； (2)延长，相交于点P，若，则的度数为 °． 九．切线的性质定理 1．如图，正方形边长为，以正方形一边为直径在正方形内作半圆O，过点A作半圆切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（    ）    A． B．7 C． D． 3．如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 ．    4．如图，、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ．    5．如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、．若，，则 ．    6．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 7．如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 一十．正多边形与圆 1．如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，连接、，则的大小是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在正六边形中，点P是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为 ．    3．如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．    一十一．弧长 1．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为2，是弦，点在优弧上．将沿折叠后，连接，交于点．若，则的长是 （结果保留）． 3．如图，是外接圆，．设的直径为，求的长． 一十二．扇形面积 1．如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 2．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 3．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 一十三．圆锥的侧面积 1．如图，圆锥的底面半径cm，高cm．则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 3．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 一十四．圆中求角度问题 1．如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是弦，若，则的度数等于 ． 4．如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接AC、DC、若，则的大小为 °．    5．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 6．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 一十五．圆中求长度问题 1．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，切于点A，交于点B，若，，则的半径为 ． 3．如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 一十六．圆中动点问题 1．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 2．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点，，点C是第一象限内的一个动点，且．当最长时，点C的坐标为 ． 3．在中，，，，点M是边上的一个动点，以为直径作．连接交于点N，连接，则线段的最小值为 ． 4．如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点． (1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹） (2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 5．如图，已知．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）中所作的上有一动点，请求出线段的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 对称图形—圆（易错必刷65题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本概念 题型二 点与圆的位置关系 题型三 垂径定理 题型四 垂径定理的应用 题型五 确定圆的条件 题型六 圆周角 题型七 90度的圆周角所对的弦是直径 题型八 圆内接四边形 题型九 切线的性质定理 题型十 正多边形与圆 题型十一 弧长 题型十二 扇形面积 题型十三 圆锥的侧面积 题型十四 圆中求角度问题 题型十五 圆中求长度问题 题型十六 圆中动点问题 一． 圆的基本概念 1．以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 3．给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意； ②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意， ∴其中正确的是②． 故选：B． 4．下列命题中，正确的个数是（　 ） （1）直径是弦，但弦不一定是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆； （4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据弦和直径的定义可得判断（1）；根据弧的定义可以判断（2）；根据等圆的定义可以判断（3）；根据优弧、劣弧的定义可以判断（4）；从而得到答案． 【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦， 直径是弦，但弦不一定是直径，故（1）说法正确，符合题意； 圆上任意两点间的部分叫做弧， 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意； 半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆， 半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意； 弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧， 直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不符合题意； 综上所述，正确的个数3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，判断命题的真假，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 二．点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 2．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 3．如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .    【答案】 【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于． 【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内， 只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． 因为点B在圆内，所以cm． 当点A在圆上时，cm． 当点A在圆外时，cm． 因此：． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径． 4．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 三．垂径定理 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为，先根据垂径定理得到，，再在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，连接，设的半径为，则， ∵C是中弦的中点，经过圆心O交于点D， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 解得， 即的半径为， 故选：A． 2．如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为，若的半径为，则弦的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．连接，由垂直平分，求出的长，再利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用垂径定理求出的长，即可确定出的长． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， ， 为的中点， 则． 故选：C． 3．在中，弦的长为4，，交于点D，交于点C， ，则半径长 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．连接，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴设， ∴， ∵弦的长为4，， ∴， ∴，即，解得：（负值舍去）， ∴， ∴半径长为， 故答案为：． 4．如图，在中，直径，弦，弦，垂足分别为．    (1)求弦的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）垂径定理，得到，勾股定理求出的长即可； （2）垂径定理得到，，证明，得到，进而得到，再根据平角即可得出结果． 本题主要考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直径，弦， ∴， ∴， ∴； （2）∵直径，弦，弦， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 四．垂径定理的应用 1．如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】D 【分析】 设圆心为O点，连接，交于C，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 2．如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为40米，拱高为8米，则桥拱所在圆的半径长为 米． 【答案】29 【分析】设半径为r，则，跨度是米，根据垂径定理可得米，在中，根据勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：如图， 设半径为r， ∵拱高为米， ∴， ∵跨度是米，根据垂径定理可得米， 在中，根据勾股定理可得， ， 解得， ∴桥拱所在圆的半径长为29米． 故答案为：29． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键 3．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 五．确定圆的条件 1．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键． 【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 2．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 3．如图，已知．     (1)请利用直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)仅用无刻度的直尺，在上找两点D、E，使它们与点A、点B构成矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交点即为点P，以点P为圆心，为半径作圆即可； （2）根据矩形的对角线相等且互相平分的性质，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则四边形即为矩形． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）矩形即为所求；    【点睛】此题考查了作线段的垂直平分线，矩形的性质，三角形外接圆的性质，熟练掌握各图形的性质并应用是解题的关键． 六．圆周角 1．如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，，   ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，是的弦，的半径为3．为上一点，连接、，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，圆周角圆心角关系．根据题意连接，可知，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵的半径为3， ∴在中应用勾股定理得：， 故选：C． 3．如图，点A、B、C在上，与交于点D，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质得，再利用三角形内角和为180度求解即可． 【详解】解：连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C． (1)若，求的长度； (2)若，则______°． 【答案】(1) (2)54 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理． （1）根据垂径定理和勾股定理可以得到和的长，然后再根据勾股定理即可求得的长度； （2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长度为； （2）连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：54． 5．如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，   ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 七．90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案． 【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上， 连接交圆O与点N， ∵点B为圆O外一点， ∴当直线过圆心O时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 2．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 3．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB=90°，再取AB中点H，HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，依据HP与CH的长，即可得出CP的最小值． 【详解】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CBF， ∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动， ∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值， Rt△BCH中，HC==2， ∴CP的最小值=HC-HP=2-2， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值． 4．如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质，确定点的运动轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解答本题的关键． 连接，根据圆周角定理，由为直径，得到，由得到点在以为直径的⊙上，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出，进而求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，连接，   为直径， ， ， 点在以为直径的⊙上， ⊙的半径为， 当点、、共线时，最小， 在中，，， ， ， 即线段长度的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据矩形的性质得到，求得，得到点N在以为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值，过O作于H，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N在以为直径的半圆上运动， 设半圆的圆心为O， 作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值， 过O作于H， 则，， ∴， ∴的最小值， 故答案为：9．    【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 八．圆内接四边形 1．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵弧对的圆周角是，圆心角是， ∴， 故选：B 2．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，由求得，再根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到答案． 【详解】解：如图，连接、，    ∵点A、B、C、D在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确连接辅助线是解题的关键． 3．如图，是的外接圆，，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，则的度数为 ．    【答案】/59度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理； 连接，根据圆内接四边形的性质得到，然后根据垂径定理的推论可求出的度数． 【详解】解：连接，    四边形是圆内接四边形，， ， 是的中点， ， ， 故答案为：． 4．如图，中，，，与边，的另一个交点分别为，．则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆内接四边形对角互补、三角形外角的性质，解题关键是利用圆内接四边形对角互补得到的度数． 先根据圆内接四边形对角互补得到，再根据是的外角得到，则有． 【详解】解：依图得：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 是的外角， ， 又， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，过点A，C的与，分别交于点D，E，连接． (1)求证； (2)延长，相交于点P，若，则的度数为 °． 【答案】(1)见解析 (2)38 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，求出即可； （2）根据对顶角相等及三角形内角和定理得出，结合等腰三角形性质及邻补角定义得出，则，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）， ， 又四边形为的内接四边形， ， ， , , ． （2）如图， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：38． 九．切线的性质定理 1．如图，正方形边长为，以正方形一边为直径在正方形内作半圆O，过点A作半圆切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线长定理可得，设，则，然后在中，由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：∵与圆O切于点F， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（    ）    A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 3．如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 ．    【答案】24 【分析】本题考查了切线长定理，关键是由切线长定理推出AB+CD=AD+BC．由切线长定理推出，，，，然后根据周长公式即可求解． 【详解】如图，，，，是切点    四边形各边与相切 ，，， 四边形的周长为 故答案为：24． 4．如图，、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理；根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长＋＋＋． 故答案为：． 5．如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了内切圆的性质，勾股定理；根据切线长定理可得，在中，，，列出方程求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为、、．，， ∴， 在中，， 解得：（负值舍去） ∴, ∴ 故答案为：． 6．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】此题考查切线的判定定理，三角形全等的判定及性质，勾股定理． （1）连接、，证明，证得，即可得到结论； （2）利用推出，由推出，得到，求出，再利用勾股定理求出半径． 【详解】（1）如图，连接、， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即：的半径为． 7．如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE= 【分析】（1）连接，根据，平分，可得，再由，可得，即可； （2）过点O作于F，可得四边形为矩形，从而得到， 由勾股定理求出的长，可得到的长，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且四边形ABED是圆内接四边形， ∴AE是圆的直径， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 一十．正多边形与圆 1．如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，连接、，则的大小是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】首先根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理和P点的位置确定的度数． 【详解】解：如图，连接、，则， 根据圆周角定理，得：． ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，以及圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理和分类讨论的思想是解答本题的关键． 2．如图，在正六边形中，点P是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 设正多边形的中心为O，如图，连接，，，根据，得到，根据得到，而，求出比值即可． 【详解】解：设正多边形的中心为O，如图，连接，，，    ， ， ， ， ， 与正六边形的面积之比为． 故答案为：． 3．如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值. 【详解】解：过点作，令    ∵⊙O的周长为， ∴⊙O的半径为 ∴ ∵且 ∴四边形为平行四边形 ∴ 由正方形的对称性可得： ∴ ∴ 故：当时，周长有最小值 此时： ∴周长的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键． 一十一．弧长 1．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，的半径为2，是弦，点在优弧上．将沿折叠后，连接，交于点．若，则的长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，圆的折叠的性质，圆内接四边形的性质，补全圆，取与关于对称，连接，，，先求出，再求出，根据求弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，补全圆，取与关于对称，连接，，， ， ， 由内接四边形定理可得：， ， 的长， 故答案为：． 3．如图，是外接圆，．设的直径为，求的长． 【答案】 【分析】如图所示，连接，可求出半径的长，根据弧长计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的直径为， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，弧长的计算方法是解题的关键． 一十二．扇形面积 1．如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 2．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可； 【详解】∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长； 故答案是：． 3．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 一十三．圆锥的侧面积 1．如图，圆锥的底面半径cm，高cm．则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据底面半径cm，高cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵它的底面半径cm，高cm． ∴（cm）， ∴这个圆锥的侧面积是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． 2．用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， ∴这个圆锥的高为 故答案为： 3．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 一十四．圆中求角度问题 1．如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质得，再利用圆周角定理即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图： ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键，根据圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选C． 3．如图，是的直径，是弦，若，则的度数等于 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等． 根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接AC、DC、若，则的大小为 °．    【答案】/54度 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明，进而可得结论． 【详解】解：，， ， ， ， 是直径， ， ， 故答案为：． 5．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理；根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 一十五．圆中求长度问题 1．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，由题意得出，，求出的长即可得出答案，熟练掌握切线长定理是解此题的关键． 【详解】解：是的切线，切点分别是， ，， ， ， 故选：B． 2．如图，切于点A，交于点B，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理等知识，切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 连接，设圆的半径为r，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为r， ∵切于点A， ∴， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 3．如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定及性质、勾股定理、垂径定理： （1）结合角平分线和切线的性质，连接计算即可得解； （2）连接，作于F，利用垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，然后证明四边形为矩形，从而可求解． 熟练掌握切线的性质及垂径定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：连，如图，   是的切线， ， ，的平分线交于点D， ∴， ， ， ． （2）连接，作于F，如图2，    则， 在中，， ， ∴四边形为矩形， ． 一十六．圆中动点问题 1．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质．根据题意与相切分：在直线左侧时，在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间． 【详解】解：①由题意可知与相切于点E， ∴， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒． ②当圆心P在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点，，点C是第一象限内的一个动点，且．当最长时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及圆上定角问题，根据得到点C在弦所在圆上，结合当为直径时最长，此时结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴点C在弦所在圆上， ∴当为直径时最长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，即， 设，则有： ，， 解得，， ∵点C是第一象限内的一个动点， ∴， 故答案为：． 3．在中，，，，点M是边上的一个动点，以为直径作．连接交于点N，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查动点问题和圆周角定理，连接，取中点G，作以为直径的，连接，利用勾股定理得到，根据圆周角得到点N的运动轨迹，得到点N在上时，的最小值并求解． 【详解】解：连接，取中点G，作以为直径的，连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点N在上， ∴，即点N的轨迹在以为直径的上， 当点N在上时，的最小值，为， 故答案为：． 4．如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点． (1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹） (2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，菱形的个数为0；当或时，菱形的个数为1；当时，菱形的个数为2 【分析】本题考查了作图，菱形的判断，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）以A为圆心，为半径画弧与相交于G，以G为圆心，为半径画弧与（在G的右侧）相交于F，连接即可； （2）过A作于H，利用勾股定理求出，然后分别求出以A为圆心，为半径的圆经过B；菱形的顶点F和C重合时，对应的值，最后观察图形即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （答案不唯一）， 由作图知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，当时，以A为圆心，为半径的圆与有唯一的交点， 如图，当时，以A为圆心，为半径的圆经过点B时，与有两个点， 过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，故符合题意； 如图，当F与C重合时，过A作于H， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴当或时，菱形的个数为0； 当或时，菱形的个数为1； 当时，菱形的个数为2． 5．如图，已知．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）中所作的上有一动点，请求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查作角的平分线，作圆，切线的判定定理，勾股定理，角平分线的性质定理： （1）作的平分线，与边交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，此时与所在直线相切； （2）利用勾股定理求出 的长度，减去的半径即可得到线段的最小值． 【详解】（1）解：就是所求作的圆．    过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴是的切线， ∴与所在直线相切； （2）如图，设与相切于点，连接，， 由作图可知，， 在Rt中，， ， 设的半径为， 在Rt中， 即，解得，， 在Rt中， ， 线段的最小值为． $$