第11章 整式的乘除压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

第11章 整式的乘除压轴训练 一、选择压轴 1．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 2．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 3．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 4．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 5．有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： ①第二次操作后整式串为：a，，a，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为非正数； ③第三次操作后整式串中共有8个整式； ④第2023次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10．对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论： ①若为正整数，则多项式的值一定是正数； ②存在有理数，，使得的值为； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空压轴 11．计算： ． 12．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 13．已知，则的值为 ． 14．如果整数x，y，z满足，则代数式的值为 ． 15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 16．实数x，y满足方程，则 ． 17．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是 ． 18．对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值： 三、解答压轴 19．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 20．阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 21．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 22．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 23．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 24．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 26．（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除压轴训练 一、选择压轴 1．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【详解】设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 2．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵ 即 ∴ ∵， ∴ 要使，则必须 解得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式，平方的非负性，负整数指数幂，熟练运用完全平方公式进行配方，和平方的非负性是解题的关键． 3．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 【答案】A 【详解】，即 时，的最大值为 故选：A 【点睛】此题考查整体代入求值，以及利用公式变形求最值，解题关键是找到a的取值范围． 4．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 5．有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第6项与第5项之差可表示为：， ∴， 解得．故②正确． 当时， ．故③正确． 故选：D． 6．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： ①第二次操作后整式串为：a，，a，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为非正数； ③第三次操作后整式串中共有8个整式； ④第2023次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：a，2，， ∴第二次操作后的整式串：，故①的结论错误； 第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，即第二次操作后整式的积为非正数，故②的结论正确； 第三次操作后整式串为：共9个式子，故③结论错误； ∵第一次操作后的整式的和为：， 第二次操作后的整式的和为：， 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第2023次操作后，所有的整式的和为：．故④结论正确； ∴正确的有：2个． 故选：B． 7．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 8．已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； ∵， 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵A能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 令得：，即 ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，A值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 正确的有：③④⑤，共3个． 故选：B． 9．如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 10．对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论： ①若为正整数，则多项式的值一定是正数； ②存在有理数，，使得的值为； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①， 当时，．故①是错误的； ②当， 即， ∴， 当时，或者．所以②是正确的． ③∵ ， ∵不含x的一次项， ∴， ∴， ∴，∴③是错误的； 综上，只有②是正确的． 故选：B． 【点睛】本题考查整式的乘法运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握整数的乘法运算法则是解题的关键． 二、填空压轴 11．计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键. 12．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如果整数x，y，z满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 则， ， 故， 解得：， 因此， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、解三元一次方程组等知识点，解题的关键是通过对原式变形得到关于x，y，z的方程组． 15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 【答案】 12 22 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，， ∴三个大圆圈上的数字之和为， ∵各小圆圈上的数字之和为 ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 故答案为∶12，22． 16．实数x，y满足方程，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方的非负性，根据完全平方公式计算，代数式求值．巧妙运用完全平方公式和非负数的性质是解题关键． 17．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是 ． 【答案】179 【详解】∵， ， ， ， 设有个1，个0，个， ∴， ， ，，，中为0的个数是179， 故答案为：179． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给是数，利用完全平方公式找到数的规律是解题的关键． 18．对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值： 【答案】12（答案不唯一） 【详解】解：， ， ， ， ， ， 都为完全平方数， 为完全平方数， 的值可以是， 故答案为：12（答案不唯一）． 三、解答压轴 19．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）化简： ． 化简： ． 故化简可得， ． （2）由（1），可化为， 化简可得， 又∵， 故， 即的值为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 21．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 22．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；② 【详解】（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ②， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 23．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 24．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 26．（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 【答案】（1）72，详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2） ∵关于x的代数式的化简结果中不含的项和的项， ∴， ∴， （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$