精品解析：天津市燕京高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题B卷

燕京中学2024一2025学年上学期高三第一次月考 数学试题B卷 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在处有极大值，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 0 8. 等差数列中，，则（ ） A 26 B. 22 C. 18 D. 14 9. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式可以为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数的图像关于点对称 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 设i是虚数单位，则复数______. 11. 已知函数，则的最小正周期为________． 12. 在中，点满足，若，，用表示向量，=_______． 13. 数列的前项和为，则=________． 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 15. 若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，，求； （3）若，求的值． 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求值． 19. 已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （2）若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 燕京中学2024一2025学年上学期高三第一次月考 数学试题B卷 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由于，，故， 故选：B 2. 设，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再根据充要条件的定义判断即可． 【详解】若是奇函数，则故，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件 故选：C． 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性从而排除选项A、D；再判断当时函数值的符号即可排除C. 【详解】因为为奇函数，所以排除；当时，，所以排除C. 故选：B. 4. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当且，即时取等号． 故选：D． 6. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的充要条件建立方程，然后求出的值． 【详解】， ， ，，三点共线， ，， 故选：A． 7. 若函数在处有极大值，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据，可得，即可利用导数求解单调性验证极大值的定义，即可求解． 【详解】， ， 函数在处有极大值， ，即，解得， 当时，， 当和时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 是函数的极大值点，符合题意； 故选：C 8. 等差数列中，，则（ ） A. 26 B. 22 C. 18 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的解析式可以为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数的图像关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合最值求A，结合周期求出，由特殊点求，进而可求，然后结合正弦函数的对称性及单调性即可判断． 【详解】由题意得，，，所以，故， 因为，， 因为，所以，，A正确； 因为，此时取得最小值，B正确； 当时，，此时不单调，C错误； 因为，D正确． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 设i是虚数单位，则复数______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数的除法对复数化简即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查复数的除法运算，属于基础题 11. 已知函数，则的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 12. 在中，点满足，若，，用表示向量，=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算即可求解. 【详解】，， 故答案为： 13. 数列的前项和为，则=________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】由，得， 故答案为：8 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】由题意可知，再结合可得，进而求出，的值，得到的值；,即可根据数量积的运算律求出. 【详解】由题意可知， ， ，，； 则， 故 故答案为：；． 15. 若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】在上没有零点，故将问题转化为有两个零点，即可求出的范围． 【详解】时，，故在上没有零点， 故 在上有两个不同零点， 而函数的零点为或， 所以，且， 且 所以，或 综上所述的取值范围是或. 故答案为：或 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合条件求出，，从而得到其通项公式； （2）根据等差数列前和公式，即可求解； 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意知，，， 即，化简得． 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以； 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理计算即可得； （3）借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，故， 故，则，即，则； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 即，故（负值舍去）； 【小问3详解】 由，，故， 故. 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得边的值； （2）由正弦定理可得值，再由及正弦定理可得的值； （3）根据，，可得,即可求解． 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理可得，解得； 【小问2详解】 ，， 所以， 由正弦定理可得，即， 可得， 由，可得， 所以； 【小问3详解】 因为，，且为三角形的内角，故, 所以． 19. 已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. 【小问1详解】 因为是公差为2的等差数列，， 所以 【小问2详解】 因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （2）若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 【答案】（1） （2）①的单调递减区间为，单调递增区间为 ，②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可； （2）通过导数求出函数的单调性，由函数及，，从而可证明函数存在两个零点，再根据零点存在性定理即可证明． 【小问1详解】 函数求导得， 因为函数在处的切线为轴， 所以，即． 【小问2详解】 当时，导函数， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 又因为， 当，当时，， 所以函数存在两个零点，．且， ， 又因为 ， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$