串讲 03 第二章 函数（考点串讲）高一数学上学期北师大版必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 03 第二章 函数 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.依赖关系、函数关系 知识点 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 知识点 　 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有________________的值和它对应，那么_____就是______的函数，其中_____是自变量，______是因变量． 唯一确定 y x x y 考点2.分段函数 分段 考点3.幂函数的概念、一些常用幂函数的图象 y＝xα(α为常数) 底数 指数 考点3.一些常用幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 _________ __________ _______ _________ ___________ 值域 ________ ___________ ________ __________ ___________ 奇偶性 _________ ___________ __________ ____________ _________ R 知识点 　 函数 特征 性质 R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 考点3.一些常用幂函数的性质 单调性 ____________________________________ _________________________________ _____________________ _____________________ _______________________ _________________________________ _______________________ 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 考点4.函数的概念、同一个函数 知识点 　 给定实数集R中的两个_____数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有___________的数y和它对应，那么就把_________称为定义在集合A上的一个函数，记作_______________． 其中集合A称为函数的_________，x称为_________，与x值对应的y值称为__________，集合{f(x)|x∈A}称为函数的________． 知识点 　 对于一个函数，当定义域和对应关系确定之后，值域也随之确定．因此我们把________________、_________________的两个函数称为同一个函数． 非空 唯一确定 对应关系f y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量 函数值 值域 定义域相同 对应关系相同 考点5.函数的表示法 知识点　 函数的表示方法通常有_________、_________、___________．如果一个函数能用解析法表示出来，也就能较便利地利用代数工具研究其性质．在实际中，一些非常明确的函数关系很难找到它的解析式． 列表法直接通过表格读数，不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值，非常直观．但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系．若自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系． 图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律，但很难由图象得到每个自变量取值对应的精确函数值． 解析法 列表法 图象法 考点6.单调性、单调区间的概念 知识点 　 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间： 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有_______________，那么就称函数y＝f(x)在区间I上_____________．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的_______________． 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)在区间I上_________________．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的______________． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有_____________，单调递增区间和单调递减区间统称为_____________． f(x1)<f(x2) 单调递增 单调递增区间 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减区间 单调性 单调区间 考点7.增函数、减函数的概念 知识点二　 设函数y＝f(x)的定义域是D： 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)是增函数． 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数y＝f(x)是减函数． f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 考点8.函数的最大值和最小值 知识点 　 设函数y＝f(x)的定义域是D. 若存在实数M，对所有的x∈D，都有__________，且存在x0∈D，使得_______，则称M为函数y＝f(x)的最大值． 若存在实数M，对所有的x∈D，都有__________，且存在x0∈D，使得___________，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 考点9.用定义证明函数单调性的方法 知识点　在判断函数的单调性时，常常借助其图象，得到猜测．证明函数f(x)在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取x1，x2，且x1<x2，然后计算f(x1)与f(x2)的差，由其值大于0或小于0来判断f(x)在该区间上的增减性． 考点10.奇函数、偶函数的定义 知识点一　 (1)一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且____________，那么称函数f(x)为奇函数． (2)设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且____________，那么称函数f(x)为偶函数． (3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有________性． f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 奇偶 考点11.　奇偶函数的图象特征、奇偶函数的定义域 知识点二 (1)奇函数的图象关于________对称，反之亦然． (2)偶函数的图象关于________对称，反之亦然． 知识点三　 奇函数和偶函数的定义域均关于________对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a>0)等． 原点 y轴 原点 02 典例透析 考点1.依赖关系与函数关系的辨析 【例题1】下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ ①圆的面积和它的半径； ②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； ③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； ④正三角形的面积和它的边长． 考点1.依赖关系与函数关系的辨析 解 考点2.变量关系的表示 　 【例题2】 (1)声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： ①根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化． ②用x表示y的关系式为_____________． ③气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米． 答案 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y(米/秒) 331 334 337 340 343 音速 气温 1721 考点2.变量关系的表示 解析 考点3.幂函数的定义 解　 ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 【例题3】已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． 解 考点4.幂函数的图象及应用 答案 解析 考点5.幂函数的性质及应用 解 考点6.函数的概念 【例题6】判断下列对应关系是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应． 考点6.函数的概念 解析　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 解 考点7.求函数的定义域 解 考点7.求函数的定义域 解 考点8.函数求值及求函数的值域 解 考点9.两个函数为同一个函数的判断 答案 解析 考点10.作函数的图象 解 考点10.作函数的图象 解 考点10.作函数的图象 (2)列表： 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1，8]． 解 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 考点11.判断图形是否为函数图象 解析　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数． 【例题11】设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 答案 解析 考点12.求函数的解析式 【例题12】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式． 解 考点12.求函数的解析式 解 (2)已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)的解析式． 考点13.求单调区间并判断单调性 解　令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及x轴上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1，1]． 【例题13】 (1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间． 解 考点14.利用图象求函数的最值 解 考点15.与二次函数有关的最值问题 解　∵函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4. 【例题15】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值． 解 考点16.应用题中的最值问题 解 考点16.应用题中的最值问题 解 考点17.判断函数的单调性 解 考点18.复合函数的单调性 答案 解析 (0，2] 考点19.函数单调性的应用 考点20.　函数奇偶性的判断 解 考点20.　函数奇偶性的判断 解 考点20.　函数奇偶性的判断 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由函数f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． 【例题21】已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间 [0，5]上的图象如图所示，则使函数f(x)<0的x的取值集合为 _________________． 答案 解析 (－2，0)∪(2，5) 考点21.奇偶函数的图象及应用 【例题22】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 解 考点22.利用函数的奇偶性求解析式 答案 解析 －1 考点23.利用函数的奇偶性求参数 解　因为f(x)是偶函数， 所以f(－5)＝f(5)， 因为f(x)在[2，6]上单调递减， 所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)． 【例题24】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，试比较f(－5)与f(3)的大小． 解 考点24.函数的奇偶性与单调性的综合应用 解 考点24.函数的奇偶性与单调性的综合应用 03 考场练兵 一、选择题 1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递增区间的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由图象可知，函数y＝f(x)的单调递增区间有2个．故选B. 答案 解析 2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析：由于在y＝|x|中，任意一个x值都有唯一确定的y值与其对应，所以y是x的函数，故A，B，C正确；因为当y取一个正值时，有两个x值与它对应，所以x不是y的函数，D错误．故选D. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，排除D；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，排除C；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，排除B.故选A. 答案 解析 答案 解析 7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1，即f(0)<f(x)<f(3)，∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3，∴－1<f(x)<1的解集为(0，3)． 答案 解析 解析：设x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x1)<f(x2)．所以 －f(x1)>－f(x2)，A项一定成立．其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a<0时，D不成立． 答案 解析 解析：画出f(x)的图象可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析：A中两函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数都是y＝(x－1)2(x∈R)；D中两函数都是y＝1(x>0)．故选CD. 答案 解析 14．(多选)一个水池有2个进水口，1个出水口，进水量、出水量与时间的关系分别如图1，2所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图3所示(至少打开一个水口)．则(　　) A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．4点到6点不进水不出水 D．3点时，水池内水量最高 解析：由题意可知在0点到3点这段时间内，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；从题图3可知3点到4点蓄水量减少了1，所以有1个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误；由至少打开一个水口，可得当2个进水口同时进水，出水口也同时出水时，蓄水量保持不变，故C错误；易知D正确． 答案 解析 答案 解析 1 答案 解析 0≤k<1 二、填空题 17．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是_______________． 解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． 答案 解析 f(－3)>f(－π) 答案 解析 [－1，3) 解 解 解 20．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2024)的值． 解：∵f(2－x)＋f(x－2)＝0， 令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0， ∴f(x)为奇函数， 则有f(0)＝0. 又f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， ∴f(2024)＝f(2016＋8)＝f(2016)＝f(2008＋8)＝f(2008)＝…＝f(0)＝0. 解 形如y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.4883x，0≤x≤240，,0.5383x－12，240<x≤400，,0.7883x－112，x>400，))这样的函数叫作______函数． 知识点 　 一般地，形如___________________的函数，即______是自变量、_______是常数的函数称为幂函数． 知识点 同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象(如图)． 解　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系； ②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； ③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； ④中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝eq \f(\r(3),4)a2的关系． 综上，①②③④中两个变量之间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系． y＝x＋331 解析　①此图反映的是变量音速随气温的变化． ②由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0，331)， 故所求函数关系式为y＝eq \f(3,5)x＋331. ③由②可知，气温为22 ℃时，音速y＝eq \f(3,5)×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×22＋331))＝66＋1655＝1721(米)． 【例题4】幂函数y＝x2，y＝x－2，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 解析　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－2在第一象限内的图象为C4，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在第一象限内的图象为C2，y＝x－1在第一象限内的图象为C3. 【例题5】比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3eq \s\up6(\f(1,2))，2.4eq \s\up6(\f(1,2))； (2)(eq \r(2))－2，(eq \r(3))－2； (3)(－0.31)2，0.352. 解　(1)∵y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4，∴2.3eq \s\up6(\f(1,2))<2.4eq \s\up6(\f(1,2)). (2)∵y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且eq \r(2)<eq \r(3)， ∴(eq \r(2))－2>(eq \r(3))－2. 【例题7】(1)求下列函数的定义域： ①y＝2x＋3；②f(x)＝eq \f(1,x＋1)；③y＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)；④y＝eq \f(x＋1,x2－1)；⑤y＝(1－2x)0. 解　①函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}． ②要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}． ③要使函数式有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，)) ∴x＝1，∴函数的定义域为{x|x＝1}． ④要使eq \f(x＋1,x2－1)有意义， 则x2－1≠0，即x≠±1， ∴函数的定义域是{x|x≠±1}． ⑤要使函数式有意义， 则1－2x≠0，即x≠eq \f(1,2)， ∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2))))). (1,1＋x)【例题8】(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． ①求f(2)，g(2)的值； ②求f(g(3))的值． 解　①∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3). 又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②g(3)＝32＋2＝11， ∴f(g(3))＝f(11)＝eq \f(1,1＋11)＝eq \f(1,12). 【例题9】下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝eq \f(x,x) D．f(x)＝x，g(x)＝|x| 解析　A项中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；B项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；C项中，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝eq \f(x,x)的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；D项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 【例题10】作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． 解　(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 eq \f(2,3) eq \f(1,2) eq \f(2,5) … 画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0，1]． 解　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝－2.)) ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5. 比较系数，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＝9，,6a＋3b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4，,c＝8，)) ∴f(x)＝x2－4x＋8. \lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))【例题14】(1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 解　作出函数f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 【例题16】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解　(1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，从而 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400.)) (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25000， 当x＝300时，f(x)max＝25000； 当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25000. 即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元． (x＋2,x＋1)【例题17】利用单调性的定义判断函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上的单调性． 解　设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1＋2,x1＋1)－eq \f(x2＋2,x2＋1)＝eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）). ∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）)>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)＝eq \f(x＋2,x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减．　 (1,8－2x－x2)【例题18】求函数f(x)＝的单调区间． 解　易知函数f(x)的定义域为{x|x<－4或－4<x<2或x>2}．令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9， 易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． ∴函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－4)和(－4，－1]． \lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3）x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))【例题19】已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． 解析　依题意得实数a满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)； (3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1，x>0，,－\f(1,2)x2－1，x<0.)) 解　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)， f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数． (2)使函数f(x)有意义需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，)) 所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝－eq \f(1,2)(－x)2－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1))＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝eq \f(1,2)(－x)2＋1＝eq \f(1,2)x2＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2－1))＝－f(x)． 综上可知，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1，x>0，,－\f(1,2)x2－1，x<0))是奇函数． 解　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)． 故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x＋2），x>0，,0，x＝0，,x（2－x），x<0.)) 【例题23】已知函数f(x)＝eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)为奇函数，则实数a＝________． 解析　解法一：因为f(x)是奇函数，f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＝0，即eq \f(（1＋1）（1＋a）,1)＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意． 解法二：f(x)＝eq \f(x2＋（a＋1）x＋a,x)＝x＋eq \f(a,x)＋a＋1，因为f(x)为奇函数，所以a＋1＝0，即a＝－1. 解法三：注意到解析式中分母为奇函数，因此要使整个函数为奇函数，只需分子为偶函数即可，令g(x)＝(x＋1)(x＋a)＝x2＋(a＋1)x＋a，则g(x)为偶函数，所以a＝－1. (2)设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解　因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)． 又当x∈[0，2]时，f(x)单调递减， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|1－m|>|m|，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))解得－1≤m<eq \f(1,2). 故实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 3．若集合A＝{x|y＝eq \r(x－1)}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：集合A表示函数y＝eq \r(x－1)的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．　 4．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<x<5)))) 解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>eq \f(5,2)，∴此函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<x<5)))).　 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈[－1，0]，,x2＋1，x∈（0，1]，))则函数f(x)的图象是(　　) 6．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B．[－1，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) D．(－∞，＋∞) 解析：y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)，其图象的对称轴为x＝－eq \f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－eq \f(1,2)时单调递减．　 8．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝eq \f(1,f（x）)在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 10．若函数f(x)＝eq \f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D．1 解析：函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)且x≠a)))).又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq \f(1,2)，代入原函数，符合题意．　 11．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq \s\up12(－2)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up12(－2)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a 解析：∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6))) eq \s\up12(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6))) eq \s\up12(－2)，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且eq \f(1,6)<eq \f(2,5)<eq \f(3,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6))) eq \s\up12(－2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(－2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(－2)，即a>b>c.故选A.　 12．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．　 13．(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1) B．y＝x0和y＝1 C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝eq \f(（\r(x)）2,x)和g(x)＝eq \f(x,（\r(x)）2) 15．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少eq \f(x,2)时，面积S最大，此时x的值为________． 解析：S＝(4＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)x2＋x＋12＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋eq \f(25,2).∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,3－\f(x,2)>0，))∴0<x<6，∴当x＝1时，S取最大值eq \f(25,2).　 16．已知函数f(x)＝eq \f(2,\r(kx2－4kx＋k＋3))的定义域为R，则k的取值范围是________． 解析：由题意可得kx2－4kx＋k＋3>0恒成立．①当k＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；②当k≠0时，须使eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝（－4k）2－4k（k＋3）<0，)) 解得0<k<1.综上所得，k的取值范围为0≤k<1.　 18．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x)(x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,10－2a≥0，,a＋1<10－2a，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a≤5，,a<3.))∴－1≤a<3.　 19．已知函数f(x)＝mx＋eq \f(1,nx)＋eq \f(1,2)(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝eq \f(11,4). (1)求m，n的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)若不等式f(1＋2x2)>f(x2－2x＋4)成立，求实数x的取值范围． 解：(1)由题意知f(1)＝m＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,2)＝2， f(2)＝2m＋eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2)＝eq \f(11,4). 联立上述两式，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝2.))　 (2)f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． 证明如下：设x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(1,2x1)＋eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2x2)＋\f(1,2)))＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x1x2)))＝(x1－x2)·eq \f(2x1x2－1,2x1x2). ∵1≤x2<x1， ∴x1－x2>0，x1x2>1， ∴2x1x2>2>1， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． (3)∵1＋2x2≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由(2)知f(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴1＋2x2>x2－2x＋4， ∴x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. 故实数x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． $$