串讲 01 第一章 预备知识之集合与常用逻辑用语（考点串讲）高一数学上学期北师大版必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 01 第一章 预备知识 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.集合与元素、　元素与集合的关系 知识点 一般地，我们把指定的某些对象的 称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 知识点 一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了． (1)“属于”：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作_____． (2)“不属于”：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作_____． 全体 a∈A a∉A 考点2.几个常用数集及其记法 名称 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 符号 ____ ____或____ ___ 名称 有理数集 实数集 正实数集 符号 ____ ____ ____ N N＋ N* Z Q R R+ 考点3.空集、集合的分类 知识点 　 我们把 的集合叫作空集，记作___． 知识点 　 (1)有限集： 的集合叫作有限集，如集合{－2，3}、空集． (2)无限集： 的集合叫作无限集，如整数集Z. 不含任何元素 含有有限个元素 ∅ 含有无限个元素 考点4.区间 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} ________ {x|a<x<b} ________ {x|a≤x<b} ________ {x|a<x≤b} ________ {x|x≥a} ________ {x|x>a} ________ {x|x≤b} ________ {x|x<b} ________ [a，b] (a，b) [a，b) 设a，b是两个实数，且a<b.不同集合用符号表示如下表： (a，b] [a，＋∞) [a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b] 考点4.区间 [a，b]称为_______，(a，b)，(a，＋∞)，(－∞，b)称为_______，[a，b)，(a，b]，[a，＋∞)，(－∞，b]称为______________．通常，闭区间、开区间、半开半闭区间统称为______．这里的实数a，b称为区间的______．在数轴上表示区间时，用_______表示属于区间的端点，用________表示不属于区间的端点． 符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．实数集R可以表示为__________ ，可以看作开区间． 闭区间 开区间 半开半闭区间 区间 端点 实心点 空心点 （-∞，+∞） 考点5.子集 知识点　 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都_____集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的_____，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 显然任何一个集合都是它本身的子集． 规定： _____是任何集合的子集． 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．因此，A⊆B可用Venn图表示为 或 属于 子集 空集 考点6.集合相等、真子集 知识点 　 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B ，记作A＝B，即若A⊆B，且B⊆A，则 ． 知识点 　 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的 ，记作 (或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．可用Venn图表示为 相等 A＝B 真子集 AB 考点7.交集 交集的运算性质：A∩B＝__∩ __ ，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝ __ ，A∩∅＝ __． 自然语言 符号语言 Venn图表示 由既 又 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 属于集合A B 知识点 　 属于集合B A A ∅ 考点8.并集 并集的运算性质：A∪B＝__∪ __ ，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝ __ ，A∪∅＝ __. 自然语言 符号语言 Venn图表示 由所有 或 的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 属于集合A B 知识点 　 属于集合B A A A 考点9.全集 知识点 　 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作 ，常用符号 表示. 包含所要研究的这些集合． [注意]　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 全集 U 全集 考点10.补集 补集的运算性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A. 自然语言 设U为全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作 ，记作_______ 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U中子集A的补集 ∁UA 知识点 　 考点11.命题的结构、必要条件 知识点 当命题表示为“若p，则q”时，___是命题的条件，____是命题的结论． 知识点 　 1．当命题“若p，则q”是真命题时，就说由___推出____，记作_______． 2．一般地，当命题“若p，则q”是_______时，称q是p的_________． p q p q p⇒q 真命题 必要条件 考点12.充分条件 知识点　 1．一般地，当命题“若p，则q”是_______时，称p是q的__________． 2．对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的_______条件，也称p是q的______条件． 真命题 充分条件 必要 充分 考点13. 充要条件 知识点　 1．一般地，如果______，且______，那么称p是q的_________________，简称p是q的充要条件，记作_____． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立_________q成立”，或“p与q_____”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的______条件． p⇒q q⇒p 充分且必要条件 p⇔q 当且仅当 等价 充要 考点14.全称量词命题和全称量词 知识点　 1．在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作____________命题． 2．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作________，用符号“___”表示，读作“__________”． 3．全称量词命题“对M中任意的x，有p(x)成立”可用符号简记为“_______________”．其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 全称量词 全称量词 ∀ 对任意的 ∀x∈M，p(x) 考点15.存在量词命题和存在量词 知识点 　 1．在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作___________命题． 2．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作__________，用符号“___”表示，读作“______”． 3．存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“______________”．其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句. 存在量词 存在量词 ∃ 存在 ∃x∈M，p(x) 考点16.命题的否定、全称量词命题的否定 知识点 　 1．当命题是真命题时，命题的否定是____命题；当命题是假命题时，命题的否定是___命题． 2．通常，对命题p进行否定，就得到一个新的命题，用符号“非p”表示，读作 “____”或“_________”． 知识点 　 1．一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到______元素，使命题的______不正确，即全称量词命题_________． 2．全称量词命题的否定是__________命题． 假 真 非p p的否定 一个 结论 不成立 存在量词 考点17.　存在量词命题的否定 3．对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定，通常表示为_______________． 知识点 1．一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中_______________不能使存在量词命题的结论成立． 2．存在量词命题的否定是_________命题． 3．对于存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定，通常表示为_______________． ∃x∈M，非p(x) 每一个元素均 全称量词 ∀x∈M，非p(x) 02 典例透析 考点1.集合的概念 　 解析　 ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． ③能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”． ④不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． 【例题1】下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③平面直角坐标系内到坐标原点的距离等于1的点；④参加某运动会的年轻运动员． 答案 解析 ①③ 考点2. 　元素与集合的关系 答案 解析 考点3.用列举法表示集合 考点3.用列举法表示集合 解 考点4.用描述法表示集合 考点4.用描述法表示集合 解 考点5.集合的分类 考点5.集合的分类 解 考点6.　区间及其表示 解 考点7.　判断集合之间的关系 解　(1)集合A中的元素1，2，4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB. (2)等边三角形都是等腰三角形且等边三角形的内角都为60°，即A⊆B；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B. (3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA. 解法二：由列举法知A＝{1，3，5，7，…}，B＝{3，5，7，9，…}，所以BA. 【例题7】判断下列各组集合的关系： (1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的正约数}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}； (3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解 考点8.写出集合的子集 解　因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是0，1，2，3. 有0个元素的子集：∅；有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}； 有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 有3个元素的子集：{a，b，c}． 因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 【例题8】 写出集合{a，b，c}的所有子集． 解 考点9.含参问题的探究 【例题9】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． 若B包含于A，求实数m的取值范围． 解 考点10.求集合的交集与并集 解析　∵A＝{2，6}，B＝{－5，2}，C＝{－3，2}，∴(A∪B)∩C＝{－5，2，6}∩{－3，2}＝{2}． 【例题10】已知集合A＝{2，6}，B＝{－5，2}，C＝{－3，2}，则(A∪B)∩C＝ _____． 答案 解析 {2} 考点11.简单的含参问题 解　集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能只有一个元素1(a＝1)，也可能有两个元素1，a(a≠1)． ①当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0，1}； ②当a＝0时，A∩B＝{0，1}，A∪B＝{0，1}； ③当a≠0且a≠1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0，1，a}． 【例题11 已知集合A＝{0，1}，B＝{x|(x－1)·(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B. 解 考点12.类似于“交”“并”运算的一些新定义问题 解析　当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选D. 【例题12】 设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M－(M－P)＝(　　) A．M B．P C．M∪P D．M∩P 答案 解析 考点13.求给定集合的补集及集合的混合运算 解析　∵∁UB＝{2，5，8}，∴A∩(∁UB)＝{2，5}，故选A. 【例题13】已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，B＝{1，3，4，6，7}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 答案 解析 考点14.探究补集的一些运算律 【例题14】试探究∁U (A∩B)与(∁UA)∪(∁UB)之间的关系． 解 考点14.探究补集的一些运算律 解 考点15.利用集合间的关系求参数 【例题15】 已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A包含于∁RB，求a的取值范围． 解 考点16.命题的结构形成 解　(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． 【例题16】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac＝bc时，a＝b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 解 考点16.命题的结构形成 (3)若ac＝bc，则a＝b.是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． (4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等．是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 解 考点17.必要条件的概念及其语言表述 解　(1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以对应高相等是两个三角形是全等三角形的必要条件． (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等，所以对角线相等是一个四边形是矩形的必要条件． 【例题17】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)两个全等三角形的对应高相等； (2)矩形的对角线相等． 解 考点18.必要条件的判断 解　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴q是p的必要条件． (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等， ∴q不是p的必要条件． 【例题18】在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． 解 考点19.充分条件的概念及判断 【例题19】 在以下各题中，判断哪些能p⇒q，哪些能q⇒p，并用充分条件、必要条件的语言表述． (1)p：x是整数，q：x2是整数； (2)p：x2－1＝0，q：x＝1； (3)p：y＝x，q：在R上y随x的增大而增大． 解　(1)当x是整数时，x2一定是整数，即p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由x＝1，得x2－1＝0，即q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． (3)由正比例函数的性质可知，p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． 解 考点20.利用充分条件求参数的取值范围 解 考点20.利用充分条件求参数的取值范围 解 考点21.充要条件的概念及判断 解　(1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件． 【例题21】在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解 考点22.充要条件的证明 【例题22】已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 证明 考点23.探求充要条件 【例题23】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解 考点24.全称量词命题与存在量词命题的判断 【例题24】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解 考点25.全称量词命题与存在量词命题真假的判断 考点25.全称量词命题与存在量词命题真假的判断 解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 解 考点26.含有量词的命题的应用 解 考点26.含有量词的命题的应用 解 考点27.全称量词命题的否定 【例题27】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆(能够重合的两个圆叫作等圆)的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解 考点27.全称量词命题的否定 (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知命题的否定是假命题． (3)这一命题的否定形式是“存在一个三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知命题的否定为假命题． 解 考点28.存在量词命题的否定 解　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝－0.1时，不满足|x＋1|>1. 【例题28】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1. 解 考点29.利用全称量词命题的否定与存在量词命题的否定求参数的取值范围 【例题29】已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解 03 考场练兵 1．下列所给的对象不能组成集合的是(　　) A．我国古代的四大发明 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．我班年龄较小的同学 D．平面内到定点距离等于定长的点 解析： C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C. 答案 解析 2．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0，2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0，2}，共4个． 答案 解析 3．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 答案 解析 解析：根据已知条件，列表如下： 根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1，2}，因此集合B中共含有5个元素，故选C. 4．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案 解析 0 1 2 0 0 －1 －2 1 1 0 －1 2 2 1 0 y x-y x 4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．a<2 B．a>－2 C．a>－1 D．－1<a≤2 解析：∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴 可知a>－1. 答案 解析 5．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝(　　) A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5} 解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，所以A∩B＝{2，3}，∁U (A∩B)＝{1，4，5}，故选B. 答案 解析 6．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 解析：由补集的概念和已知条件可得，∁RB＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}，故选D. 答案 解析 7．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是菱形 解析：命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C. 答案 解析 8．设集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”；反之，由“m∈B”也得不到“m∈A”．故选D. 答案 解析 9．若集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝3时，集合A＝{1，3}，满足A⊆B，故“a＝3”可以证得“A⊆B”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件．若A⊆B，则a的值为2，3都可，故“a＝3”不是“A⊆B”的必要条件．综上所述，“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选A. 答案 解析 10．命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以题中命题的否定为∀n∈N，n2≤2n.故选C. 答案 解析 答案 解析 12．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 答案 解析 {(3，1)} 答案 解析 m≥9 【例题2】(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②eq \r(3)∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵π是实数，eq \r(3)是无理数，∴①②正确；∵N＋表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个． 【例题3】用列举法表示下列集合： (1)不大于10的素数集； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合； (3)不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5))的整数解组成的集合； (4)式子eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合． 解　(1)不大于10的素数有2，3，5，7，故不大于10的素数集为{2，3，5，7}． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1，1)}． (3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5))得3<x≤6， 又x为整数，故x的取值为4，5，6，组成的集合为{4，5，6}． (4)∵a≠0，b≠0，∴a与b可能同号也可能异号，则 ①当a>0，b>0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝2；②当a<0，b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝0. 故所有值组成的集合为{－2，0，2}． 【例题4】用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义的实数x的集合． 解　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}． (3)要使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义， 则x2＋x－6≠0. 由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3. 所以使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义的实数x的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． 【例题5】下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集还是无限集． (1)非负奇数； (2)小于18的既是正奇数又是素数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的所有解； (5)在实数范围内方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解． 解　(1)能构成集合，是无限集． (2)小于18的素数是2，3，5，7，11，13，17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集． (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集． (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))无解，能构成集合，是空集，故是有限集． 【例题6】把下列数集用区间表示： (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,2)))))；(2){x|x<0}；(3){x|－2<x≤3}． 解　(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).　(2)(－∞，0)．　(3)(－2，3]． 解　①当B≠∅时，如图所示，由已知，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，)) 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 解　先通过具体例子探究它们之间的关系． 不妨令U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，4，7}，B＝{1，3，7，8}． 易知A∩B＝{1，7}，eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝{2，3，4，5，6，8}． eq \a\vs4\al(∁U)A＝{3，5，6，8}，eq \a\vs4\al(∁U)B＝{2，4，5，6}，(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)＝{2，3，4，5，6，8}，显然有eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)．下面给出证明：先证eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)⊆(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)， 设x∈eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)，则x∉A∩B. 分三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∉A，且x∉B. 从而可以推出：①x∈eq \a\vs4\al(∁U)B；②x∈eq \a\vs4\al(∁U)A；③x∈eq \a\vs4\al(∁U)A，且x∈eq \a\vs4\al(∁U)B. 综上可知，x∈(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)，∴eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)⊆(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)． 再证(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)⊆eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)， 设x∈(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)，则x∈∁UA或x∈eq \a\vs4\al(∁U)B， 即x∉A∩B，于是x∈eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)，∴(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)⊆eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)． 根据集合相等的定义， 从而有eq \a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝(eq \a\vs4\al(∁U)A)∪(eq \a\vs4\al(∁U)B)． 解　∵∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，A包含于∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论： ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2； ②若A≠∅，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,a≤1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,2a－2≥2，))∴a≤1. 综上所述，a≤1或a≥2. (3－m,2)【例题20】已知p：关于x的不等式<x<eq \f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))))，B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，即eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)， 解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)<eq \f(3＋m,2)，解得m>0， 要使A⊆B，应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，)) 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]． 证明　(1)充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. (2)必要性： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3b2,4)>0，∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 解　当a＝0时，符合要求． 当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a<0；若方程有两个负实根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，)) 解得0<a≤1. 综上所述，若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根． 因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 【例题25】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有xeq \o\al(2,1)<xeq \o\al(2,2)； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. (2,x－1)【例题26】∃a∈Z，使关于x的分式方程＋eq \f(a,1－x)＝4的解为正数，且∀y<－2，关于y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)>1，,2（y－a）≤0))成立．求符合条件的a的值． 解　分式方程eq \f(2,x－1)＋eq \f(a,1－x)＝4的解为x＝eq \f(6－a,4)且a≠2， ∵关于x的分式方程eq \f(2,x－1)＋eq \f(a,1－x)＝4的解为正数，∴eq \f(6－a,4)>0且a≠2，∴a<6且a≠2. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)>1，①,2（y－a）≤0，　②)) 解不等式①，得y<－2； 解不等式②，得y≤a. ∵∀y<－2，关于y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)>1，,2（y－a）≤0))成立，∴a≥－2， ∴－2≤a<6且a≠2. ∵a为整数，∴a＝－2，－1，0，1，3，4，5. 解　(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4)时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以命题的否定是真命题． 解　题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a≥0，))即a＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≠0，)) 所以a≤1. 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． 解析：因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,a)))))，因此有－eq \f(1,a)∈A，所以a＝±1；当B＝∅，即a＝0时满足条件．综上可得，实数a的所有可能取值的集合为{－1，0，1}． 11．(多选)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是(　　) A．m<eq \f(1,2) B．m<eq \f(1,4) C．m<1 D．m<－eq \f(1,4) 解析：由Δ＝1－4×1×m≥0，解得m≤eq \f(1,4).四个选项中，m<eq \f(1,2)和m<1都是m≤eq \f(1,4)的必要条件．故选AC. 解析：由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2))))))，解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))故A∩B＝{(3，1)}． 13．已知p：x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0))))))，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0))))))＝{x|－2≤x≤10}，若q是p的必要不充分条件，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10，))即m≥9. $$