精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

荆州中学2024～2025学年高一九月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故选：D 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合集合间的运算，即可求解. 【详解】根据题意，易得，故． 故选：A. 3. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 4. 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若“的周长为16”，则，解得， 所以“其中一条边长为6”. 若“其中一条边长为6”，如， 则，此时三角形的周长为， 即无法得出“的周长为16”， 所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件. 故选：A 5. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“ ，” C. 已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件 D. 已知，则 是 “”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合存在命题否定的性质逐一判断即可. 【详解】A：显然当时，成立，但是不成立，因此本选项说法不正确； B：命题“，”的否定是“ ，，因此本选项说法不正确； C：当时，显然成立，但是不成立， 当时，显然，所以本选项说法不正确； D：当时，显然成立，但是没有意义， 由，所以本选项说法正确， 故选：D 6. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】对A选项，设，则，A错误； 对B选项，若,又,所以,故B正确; 对C选项，，但，C错误; 对D选项，，但，D错误. 故选:B. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为25. 故选：B. 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】如图Venn图所示， 选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项C中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故.故互为充要条件. 选项B中，如下Venn图， 若，则，推不出.故错误. 故选：ACD. 10. 对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若A，且，则 B. 若A，且，则 C. 若A，且，则 D. 存在A，，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可． 【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确； 对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确； 对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误； 对于D选项，时，，，D正确； 故选：ABD． 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，根据不等式的性质即可求得答案. 【详解】由于，，则， 而，故， 故的取值范围为， 故答案为： 13. 已知方程，求的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】分离出，得，求出对应的的值域即可求解. 【详解】当时，原式化为，无解，故， 则，由得， 设，由对勾函数知， 函数在单调递减，单调递增， 故，则的值域为， 即，则或. 故答案为： 14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人. 【答案】44 【解析】 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件. 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【小问1详解】 对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知集合，，. （1）当时，求. （2）若，求范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1) 由已知求出与，分别求出两集合的关于的补集，再求出交集即可； (2)分情况讨论集合，当是空集时，和不是空集的两种情况，求出集合关于的补集包含集合. 【小问1详解】 时， 则， 所以 【小问2详解】 ①时，， 此时 ②时，，又，故， 此时，则 所以 综上： 17. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． （1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】（1）时，矩形的面积最小，最小面积2400 （2） 【解析】 【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解； （2）化简矩形面积，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设出的长为，则， ，，， ∴矩形的面积， 由基本不等式得：， 当且仅当时，取“=”，当,即时，； 【小问2详解】 由（1）得，即， ∴， ∴或， 的范围在． 18. 设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）利用恒等变形可求代数式的值； （2）由题设可判断，再利用基本不等式可求和的最小值； （3）利用恒等变形可得，结合基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题设有，故 【小问2详解】 ， 因为，故，故， .由基本不等式得： ， 当且仅当时，即时取等， 故最小值为. 【小问3详解】 由得， ， 当且仅当时，即时取等 故最小值为24. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． 【小问2详解】 恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2024～2025学年高一九月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“ ，” C. 已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件 D. 已知，则 是 “”的必要不充分条件 6. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若A，且，则 B. 若A，且，则 C. 若A，且，则 D. 存在A，，使得 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值范围为________. 13. 已知方程，求的取值范围_________． 14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知集合，，. （1）当时，求. （2）若，求范围. 17. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． （1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 18. 设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $