2.1 认识有理数 讲义 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

2.1 认识有理数 考点1: 1 对于具有相反意义的量，规定某种意义的量为正，则具有其相反意义的量为负（即在正数前面添“－”）． 2 正数前面的“+”可以省略；负数前面的“－”不可以省略；正数都大于0，负数都小于0. 3 0既不是正数，也不是负数。 0的认识： (1)0既不是正数，也不是负数； (2)0是正数与负数的分界线； (3)0的意义不仅可以表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如海拔0可以表示为与海平面相同的高度． 考点2: 有理数的概念：整数与分数统称为有理数. 注意：无限循环小数和有限小数都可以转化为分数，但无限不循环小数不能转化为分数，所以无限循环小数和有限小数是有理数，无限不循环小数不是有理数．(例：不是有理数) 有理数分类： 注意： 1 零既不是正数，也不是负数，但零是整数 2 小数≠分数 3 正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数. 4 同一个数，可能属于多个不同的集合，如5既是正数又是整数. 练习1. 1. 下列选项中具有相反意义的量是（ ） A.气温上升 5℃和零下5 ℃ B.顺时针转4圈和逆时针转3圈 C.盈利 200 元和支出 300元 D.走了100 米和跑了 200米 2. 下面关于0的说法,正确的是（ ） A.0既不是正数也不是负数 B.0既不是整数也不是分数 C.0不是有理数 D.0℃表示没有温度 3. 某种速冻水饺适宜的储藏温度是﹣18±2℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（　　） A．﹣15℃ B．﹣17℃ C．﹣18℃ D．﹣20℃ 4. 南、北为两个相反的方向，已知一辆汽车向南行驶500记作＋500，则该汽车向北行驶800记作 ，汽车停留原地不动记作 5. 下列说法正确的是 ①正分数一定是有理数； ②整数和分数统称为有理数； ③正数和负数统称为有理数； ④整数包括正整数、0、负整数, 6. 在﹣3.5，﹣0.3 ( 。)，0，，0.151151 115…中，有理数是 7. 把下列各数填入相应的集合内：﹣1.1，6.7，﹣9，﹣-，0，﹢13，﹣9. 3 ( 。)24 ( 。)，4%. 分数数集合： 非负整数集合： 正有理数集合： 考点3: 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴. （数轴三要素：原点、正方向、单位长度一个也不能少.） 数轴的画法：（“一画、二定、三取、四标”） 1. 画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示“0”. 2. 规定从原点向右为正方向（画箭头表示），那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. 3. 选择适当的长度为单位长度（要做到刻度之间的长度均匀），标数. 总结： （1）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的 （2）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. （3）正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 用不等式表示正数和负数: ①正数大于0，且大于0的数都是正数，因此可以用“＞0”表示为正数； ②负数小于0，且小于0的数都是负数，因此可以用“＜0”表示为负数； ③≥0表示为非负数，≤0表示为非正数. 练习2. 1. 下面是四位同学所画的数轴,其中正确的是（ ） 2. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3 3. 如图，数在数轴上的位置如图所示，比较的大小： 4. 数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移8个单位长度得到点B，则点B表示的数是 5. 如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C；若点A表示的数为1，则点C表示的数为 6. 数轴上A、B两点表示的有理数分别是和，则A、B之间的点表示的数是整数的有 个 7. 指出数轴上 A、B、C、D、E、F各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来 8. 画出数轴，在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＞”将它们连接起来： ﹣4，3.5，﹣1.5，1，0，2. 5 9. 快递员骑电动三轮车从仓库出发,先向东行驶2 到达A区，继续向东行驶6 到达B区，然后又向西行驶了 15 到达 C区，最后回到仓库. (1)以仓库为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1，画出数轴,并在数轴上表示出A、B、C三个区的位置； (2)C区距A区多远? (3)快递员一共行驶了多少千米? 考点4: 代数定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数 (1)互为相反数的两个数一定是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数； (2)互为相反数的两个数只是符号不同. 几何定义：相反数所对应的点在数轴上分别位于原点的左、右两侧，到原点的距离相等 如图所示，-2和2在数轴上的位置关系：表示2的点位于原点的右侧，表示-2的点位于原点的左侧，这两个点到原点的距离都是2个单位长度，即到原点的距离相等． 表示方法：数的相反数是，这里的数是任意有理数，即可以是正数、负数或0 相反数性质： (1)任何一个数都有相反数，而且只有一个; (2)正数的相反数是负数，即当有理数时，； (3)负数的相反数是正数，即当有理数时，； (4)0的相反数是0，即当时，，因此，表示的数不一定是负数 相反数特征： (1)若与互为相反数，则；（互为相反数的两数和（相加）为0） (2)若，则与互为相反数。（相加等于0的两个数互为相反数 ） · 多重符号的化简： 化简方法: (1)当最前面的符号是“+”号时，直接省略这个“+”号； (2)当最前面的符号是“-”号时，去掉这个“-”号，并写出括号内的数的相反数； (3)当这个数还能继续化简时，重复使用上述方法. 示例:+(-4)=-4，+(+2)=2，-(+3)=-3，-(-5)=5. 化简多重符号的主要依据是相反数的定义，因为可理解为求的相反数，而的相反数是，所以 ，从而达到化简的目的. · 解答多重符号化简的问题,需要数一个数的前面一共有多少个“－”号。若有偶数个，则结果取“＋”号；若有奇数个，则结果取“－”号。 练习3. 1. ﹣39.7的相反数是 2. 若的相反数是7，则,的值是 3. 一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 4. 下列各组数中，相等的是(　　) A.和0.25　　　B.﹢(0.4)和 C.和(0.02)　　D.和 5. 5.4和它的相反数之间的整数有 6. 在数轴上,若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是120，则A、B两点所表示的数中较小的一个数是 7. 若互为相反数，则－（5－）的值为 　 　 8. 若与互为相反数，则代数式130+130　 　 9. 已知互为相反数，则150+ +150＝　 　 考点5: 一般地，数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点之间的距离，数的绝对值记作,读作“的绝对值”. （注意：数可以是正数、负数和0；|0|=0） 如图，-2对应的点到原点的距离为2，所以|-2|=2，同理，|2|=2，|-3|=3，|3|=3. · 观察它们的绝对值有什么关系？ 互为相反数的两个数的绝对值相等 注意： 1 任何数都有绝对值，并且只有一个，数的绝对值，是表示它的点到原点的距离。因为距离不可能是负数，所以数的绝对值为非负数，即 . 2 在数轴上，一个数所对应的点离原点越近，绝对值越小，离原点越远，绝对值越大. 绝对值的性质： 正数的绝对值是它________；负数的绝对值是它的________；0的绝对值是_______. 即：(1) 如果，那么； (2) 如果，那么； (3) 如果，那么. (1)由绝对值的定义可知，任何一个数的绝对值都是非负的，即.这里的可以是数，也可以是字母及含有字母的式子.0是绝对值最小的数. (2)由绝对值的代数意义可知：当时，可以取正数和0；当时，可以取负数和0. · 拓展： (1)若两数的绝对值相等,则它们相等或互为相反数，即若，则或. (2)任何数的绝对值都不小于它本身，即. (3)若几个数的绝对值之和为0，则这几个数同时为0.（几个非负数的和为0，则这几个数都为0.） 即：若，则 ，，…，. (4)求一个数的绝对值，要“先判后去”，即先判断这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的定义去掉绝对值符号. · 有理数比较大小： （1） 借助数轴，数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大. （2） 比较两个有理数大小的方法： 1 同号两数：同时为正，绝对值大的数就大；同时为负，绝对值大的数反而小 2 异号两数：正数大于负数 3 其中一个数为0：正数和0，正数大于0；负数和0，负数小于0 练习4. 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．0.25与 B．﹣（﹣2）与﹣2 C．|﹣3|与3 D．﹣|﹣3|与﹣3 2. 下列说法中，正确的是（　　） A.任何有理数的绝对值都是正数 B.如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值也不相等 C.任何一个有理数的绝对值都不是负数 D.只有负数的绝对值是它的相反数 3. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（　　） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/℃ ﹣183 ﹣253 ﹣196 ﹣268.9 A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 4. 下列说法正确的是（　　） A．||＜ B．若|﹣1|+2取最小值，则＝0 C．若＞1＞＞﹣1，则| |＜|| D．若| +1|≤0，则＝﹣1 5. 若两个数绝对值之差为0，则这两个数( ) A.相等 B.互为相反数 C.两数均为0 D.相等或互为相反数 6. 在﹣5，﹣3，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是_______；4个数中相反数最小的是_______ 7. －|－21|的相反数为_______ 8. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是_________ 9. 绝对值不大于16.4的整数有　　　　个 10. 数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是_________ 11. 式子||+6 的值随着时，||+6有的变化而变化，当＝________是有最小值，最小值是________ 12. 有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是 _________ 13. 已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数||，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是 　 　． 14. 有理数＜0，＞0，且||＜||，把，﹣，，﹣按由小到大的顺序排列是 　 　． 15. (1)当取何值时，有最小值?这个最小值是多少? (2)当取何值时，224－有最大值，这个最大值是多少? 16. 已知零件的标准直径是100，超过标准直径长度的数量()记作正数，不足标准直径长度的数量()记作负数，检验员某次抽查了5 件样品,检查结果如下 序号 1 2 3 4 5 直径长度/ +0.1 -0.06 +0.21 -0.15 +0.25 (1)指出哪件样品的直径最接近标准； (2)如果规定误差的绝对值在0.18之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22之间是次品，误差的绝对值超过0.22是废品，那么这5件样品分别属于哪类产品? 拓展题： 1. 黑板上有 10个互不相同的有理数，小明说：“其中有6个整数”，小红说：“其中有6个正数”，小华说：“其中正分数与负分数的个数相等”小林说：“负数的个数不超过 3”，请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中共有 个负整数. 2. 若三个互不相等的有理数既可表示为1、、的形式，又可表示为0、、的形式，试求、的值。 3. 操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示). 操作一：(1)折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3 表示的点与 表示的点重合； 操作二: (2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为 对折后5 表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为11(点A在点B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数 4. 一个机器人从出发点出发,沿数轴正方向以先前进3步，再后退1步的程序运动，每秒前进3步或后退1步，每1步在数轴上表示1个单位长度。回答下列问题： (1)第3秒时，该机器人所在位置表示的数是 (2)若该机器人所在位置表示的数是6.所走的时间是第 秒 (3)求机器人第100秒时的位置与第101秒时的位置之间的距离 5. 问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　 　． （2）图中点A所表示的数是 　 　，点B所表示的数是 　 　． 实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： （3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”请问妙妙现在多少岁了？ 学科网（北京）股份有限公司 $$