第04讲 不等式及解常见不等式（九大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第04讲 不等式及解常见不等式 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 重难点01利用作差法或作商比较大小 【解题必备】（1）作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论； （2）作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论 例1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知，试比较和的大小. 【跟踪练习】 练习1．若，，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 练习3．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 练习4．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 重难点02不等式的性质 【解题必备】利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例3．若，，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪练习】 练习1．下列符合是的必要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 练习2．设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①③ 练习3．（多选）以下正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 练习4．若，，证明：． 重难点03求代数式的取值范围 【解题必备】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 例5．若a，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 【跟踪练习】 练习1．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 练习2．如果，，令，则的取值范围是 ． 练习3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知实数满足，. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 重难点04解不含参数的一元二次不等式 【解题必备】解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例7．不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 例8．（多选）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．不等式组的解集为 ． 练习2．（多选）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 练习3．要使有意义，则的取值范围为 . 练习4．求下列不等式的解集 (1) (2) 重难点05解分式不等式、绝对值不等式及高次不等式 【解题必备】（1）解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （2）解和型不等式的解法 ①；② 例9．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 例10．解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 【跟踪练习】 练习1．不等式的解集是 . 练习2．不等式的解集为 ． 练习3．已知集合，，则集合 ． 练习4．解下列不等式： (1)； (2). 重难点06由二次不等式的解确定参数 【解题必备】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例11．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 例12．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，则的最小值为 【跟踪练习】 练习1．已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 练习3．已知在不等式的解集中，则实数的取值范围是 ． 练习4．已知关于x的不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 重难点07二次不等式的恒成立问题 【解题必备】（1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例13．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例14．对于，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 练习2．不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 练习3．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 重难点08二次方程根的分布问题 【解题必备】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 例15．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 例16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【跟踪练习】 练习1．已知关于x的方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 练习2．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 练习3．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 练习4．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 重难点09解含参数的一元二次不等式 【解题必备】解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例17．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 例18．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 练习2．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 练习3．已知二次函数． (1)求不等式的解集； (2)若，，求实数的取值范围． 练习4．解关于的不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第04讲 不等式及解常见不等式 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 重难点01利用作差法或作商比较大小 【解题必备】（1）作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论； （2）作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论 例1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，即， 取，，，满足，，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 例2．已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【跟踪练习】 练习1．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 练习2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 又，故得，. 故选：B. 练习3．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 练习4．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 重难点02不等式的性质 【解题必备】利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例3．若，，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，因为，则，故A错误； 对B，当时，则，故B错误； 对C，因为，则，故C正确； 对D，当时，则，故D错误. 故选：C. 例4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 【跟踪练习】 练习1．下列符合是的必要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A中，若，满足，但满足不成立，所以A错误； 对于B中，若，满足，但是不成立，所以B错误； 对于C中，若，根据不等式的基本性质，可得成立，所以是的必要条件，所以C正确； 对于D中，若，当时，可得；若，当时，可得， 所以不是的必要条件，所以D错误． 故选：C. 练习2．设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【详解】因为，所以，，所以，则①正确； 不妨取满足，但是，故②错误； 因为，则，所以，故③正确，④错误. 故选：D 练习3．（多选）以下正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】AC 【详解】对于选项A，由，得到，又，所以，故选项A正确， 对于选项B，取，显然有，，但，不满足，所以选项B错误， 对于选项C，由，得到，又，所以，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，取，显然有，，但，所以选项D错误， 故选：AC. 练习4．若，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 重难点03求代数式的取值范围 【解题必备】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 例5．若a，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则， 所以的取值范围是. 故选：D 例6．集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 【答案】 7 【详解】由知，，当，时，得最大元素， 又，当时，得最小元素. 故答案为：7；. 【跟踪练习】 练习1．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【详解】A选项，，故，即，A正确； B选项，因为，所以， 又，故，故，B正确； C选项，，故，即的取值范围为，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，即，D错误. 故选：D 练习2．如果，，令，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，故，又，故， 故，即，故的取值范围为. 故答案为：. 练习3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 练习4．已知实数满足，. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由，， 所以， 由， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由，所以，又， 所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 重难点04解不含参数的一元二次不等式 【解题必备】解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例7．不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】的解为或， 故解集为：或， 故选：A. 例8．（多选）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 【跟踪练习】 练习1．不等式组的解集为 ． 【答案】或 【详解】由可得，解得或， 由可得，解得， 故可解得或． 故答案为：或 练习2．（多选）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由得，其充分不必要条件对应的集合为的真子集即可. 故选：BC 练习3．要使有意义，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】要使有意义， 则，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 练习4．求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）对应的方程为：， 解得:或， 所以原不等式的解集为：或； （2）即， 对应的方程为：，， 所以结合的图象可知，原不等式的解集为：. 重难点05解分式不等式、绝对值不等式及高次不等式 【解题必备】（1）解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （2）解和型不等式的解法 ①；② 例9．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】D 【详解】等价于，所以，所以， 解得，所以， 所以，所以的真子集个数为. 故选：D 例10．解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为,即， 即且， 由图可知，原不等式的解集为． （3）由可得， 由数轴穿根法可知，或或， 所以不等式的解集为. 【跟踪练习】 练习1．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 练习2．不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】将方程的各个根，，1标在数轴上， 用穿根法依次通过每一个根（如图所示）．    当时，必有成立，不合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意， 当时，，符合题意. 故原不等式的解集为或． 故答案为：或. 练习3．已知集合，，则集合 ． 【答案】 【详解】易知分式不等式可等价为，解得， 即， 又，所以. 故答案为： 练习4．解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为不等式等价于或， 解，得，即，解得或； 解，得，即，解得或； 综上或，所以不等式的解集为； （2）因为， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 重难点06由二次不等式的解确定参数 【解题必备】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例11．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 例12．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】A.若一元二次不等式的解集为，则且，故A正确； B. 若，则，，，所以不等式， 等价于，与不等式的解集不同，故B错误. C. 若，则，，，即，， 所以不等式，即， 整理为，得或，即或，故C正确； D. 若为常数，则，，即， 则，当时，的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【跟踪练习】 练习1．已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，作出的图象，如图， 可知，则有： 若，则不等式的解集是两段区域，不合题意； 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为，可得， 且是方程的两根，则， 由得或4， 若，由，解得或，不合题意； 若，由，解得，符合题意； 综上所述：． 故选：A． 练习2．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BC 【详解】对于A，由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，A错误； 对于B，，则， 不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得或，D错误. 故选：BC 练习3．已知在不等式的解集中，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为在不等式的解集中， 所以把代入不等式得：4（，解得， 故答案为：． 练习4．已知关于x的不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)9 【详解】（1）由题意：是方程的根，所以. 因为是方程的另外1根，所以 （2）由题意：（，） 所以：（当且仅当即时取“”）. 重难点07二次不等式的恒成立问题 【解题必备】（1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例13．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为. 所以：若，则不等式可化为，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：. 综上可知： 故选：D 例14．对于，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，等价于当时，， 令，由二次函数的性质，可知， 所以，等价于则 由可得，，所以的最大值为． 故选：D 【跟踪练习】 练习1．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由不等式对恒成立， 得对恒成立， 令，得， 解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 练习2．不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 又关于的不等式对任意实数恒成立， 则有，即，解得. 故选：A. 练习3．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数． ①令，即，满足恒成立， 因此，只需，即，所以． ②令，即或． 设方程的两根分别为，则． 当时，方程有两个正根， 存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 练习4．已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由题意可得， 解得或， （2）命题为真时， 若，代入可得成立； 当时，， 所以命题为真时，， 结合题意当真假时，； 当假真时，，解得或； 当两个命题同时为真时，， 所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或. 重难点08二次方程根的分布问题 【解题必备】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 例15．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 例16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知关于x的方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 【答案】． 【详解】设， 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，可得即所以． ②有一个正根，一个负根，可得，得． ③有一个正根，另一根为0，可得所以． 综上所述，． 练习2．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 练习3．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 【答案】 【详解】令，显然二次函数的图象开口向上， 而的两根一个比2大另一个比2小，则， 即，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 练习4．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：令，设的两个根为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （4）解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 重难点09解含参数的一元二次不等式 【解题必备】解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例17．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 例18．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 练习2．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 练习3．已知二次函数． (1)求不等式的解集； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或． 【详解】（1）， ①当时， 当即时，， 解得，此时不等式的解集为； 当即时，，即，无解，此时不等式的解集为； 当即时，，解得，此时不等式的解集为； ②当时，，所以不等式的解集为或． （2）由，可得， 当时，，即，满足题意； 当时，令，解得或； 当时，的开口朝下，必然存在使得． 综上，实数的取值范围是或． 练习4．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】时，不等式可化为，它的解集为； 时，不等式可化为， 当时，原不等式化为， 它对应的方程的两个实数根为和，且， 不等式的解集为或； 当时，不等式化为，不等式对应方程的两个实数根为和， 在时，，不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$