6.4.2-6.4.3 分层随机抽样的均值与方差 百分位数-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 4.2　分层随机抽样的均值与方差 4.3　百分位数 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 教学重点：计算分层随机抽样的样本的均值和方差． 教学难点：分层随机抽样样本方差的计算及公式的推导． 知识点一　分层随机抽样的平均数 (1)当已知两层构成的新样本中每层样本容量分别为m，n且平均数分别为1和2时，样本的平均数为1＋2，若记w1＝，w2＝，则这个新样本的平均数为w11＋w22，其中w1，w2称为权重． (2)更一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，…，n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w11＋w22＋…＋wnn，也可记作. 知识点二　分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，样本平均数为，则这个样本的方差为s2＝wi[s＋(i－)2]． 知识点三　百分位数 (1)一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤： ①按照从小到大排列原始数据； ②计算i＝np； ③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 加权平均数 若k个数x1，x2，…，xk的权重分别是w1，w2，…，wk，则叫作这k个数的加权平均数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x1，x2，…，x100的平均数为，方差为s，x1，x2，…，x40的平均数为a，方差为s1，x41，x42，…，x100的平均数为b，方差为s2，则＝，s＝.(　　) (2)下表记录了某地区某天早晨6点到下午6点的温度变化情况： 时间(时) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 温度(℃) 8 8 10 14 17 19 24 25 23 20 16 12 则这组数据的25%分位数是10 ℃.(　　) 答案：(1)×　(2)× 2．做一做 (1)某班40名学生一次体育测试成绩统计如下： 成绩(分) 60 70 80 90 100 人数 7 x 12 y 3 如果已知该班的平均成绩为76分，则x，y的值分别为(　　) A．14，4 B．13，5 C．12，6 D．11，7 (2)某校规定学生的体育成绩由三部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的15%，体育理论测试占35%，体育技能测试占50%，小明的上述三项成绩依次是94分，90分，96分，则小明这学期的体育成绩是________分． (3)一位同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表： 投实心球序次 1 2 3 4 5 成绩(m) 10.5 10.2 10.1 10.6 10.4 投实心球序次 6 7 8 9 10 成绩(m) 9.9 10.4 10.7 10.2 10.1 则此同学成绩的50%分位数是________． 答案：(1)B　(2)93.6　(3)10.3 题型一　分层随机抽样的平均数 　某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其物理成绩(单位：分)，得到如下数据： 12名男生的物理成绩分别为72，68，72，76，80，76，72，80，88，68，72，76； 8名女生的物理成绩分别为66，76，68，68，66，68，80，68. (1)求这12名男生物理成绩的平均分1； (2)经计算得这8名女生物理成绩的平均分2＝70，求这20名学生物理成绩的平均分． [解]　(1)这12名男生物理成绩的平均分为1＝×(68×2＋72×4＋76×3＋80×2＋88)＝75. (2)这20名学生物理成绩的平均分为＝1＋2＝×75＋×70＝73. 【感悟提升】　计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重，然后运用公式计算即可． 【跟踪训练】 1．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用平均数来确定什锦糖的单价． 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价(元/千克) 20 25 30 千克数 40 40 20 (1)求该什锦糖的单价； (2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低1元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？ 解：(1)根据题意，得 ＝24(元/千克)． 答：该什锦糖的单价是24元/千克． (2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克， 根据题意，得 ≤23. 解得x≤20. 答：最多可加入丙种糖果20千克． 题型二　分层随机抽样的方差 　某厂甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件．为检验质量，从中共抽取10件，测得数据如下： 甲：99，100，98，103； 乙：99，100，102，99，100，100. (1)分别计算两组数据的平均数和方差，并说明哪台机床加工零件的质量更稳定； (2)求这10件零件的直径的平均数和方差． [解]　(1)甲＝×(99＋100＋98＋103)＝100(cm)， 乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm)， s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2]＝， s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1， 因为甲＝乙，s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． (2)因为甲＝100 cm，s＝，w甲＝， 乙＝100 cm，s＝1，w乙＝， 所以这10件零件的直径的平均数＝×100＋×100＝100(cm)， 这10件零件的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×＋×[1＋(100－100)2]＝2. 【感悟提升】　 (1)方差反映数据相对于平均数的离散程度，方差越大，表明各个数据在平均数的周围越分散；方差越小，表明各个数据在平均数的周围越集中，越稳定． (2)计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重，然后代入公式计算即可． 【跟踪训练】 2．某班甲、乙两个小组共18名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下： 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82； 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，72. (1)哪个小组的成绩高一些？哪个小组的成绩更整齐一些？ (2)求这18名学生英语口语测试成绩的平均分和方差． 解：(1)甲＝×(76＋90＋84＋86＋81＋87＋86＋82)＝84(分)， 乙＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋72)＝83(分)， s＝×[(76－84)2＋(90－84)2＋(84－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2]＝＝16.25. s＝×[(82－83)2＋(84－83)2＋(85－83)2＋(89－83)2＋(79－83)2＋(80－83)2＋(91－83)2＋(89－83)2＋(79－83)2＋(72－83)2]＝＝30.4. 因为甲>乙，所以甲小组的成绩高一些． 因为s<s，所以甲小组的成绩更整齐一些． (2)这18名学生英语口语测试成绩的平均分 ＝×84＋×83≈83.4(分)， 这18名学生英语口语测试成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[16.25＋(84－83.4)2]＋×[30.4＋(83－83.4)2]＝＝24.36. 题型三　百分位数 　(1)一次数学测试中，高一(1)班1小组12名学生的成绩分别是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，则这次测试该小组12名学生成绩的75%分位数是________分． [解析]　因为12×75%＝9，所以这组数据的75%分位数为＝91(分)． [答案]　91 (2)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花的纤维长度(棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]内，由这些数据作出的频率分布直方图如图所示，估计棉花的纤维长度的样本数据的80%分位数约是________． [解析]　棉花的纤维长度在25 mm以下的频率为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06)×5＝0.6，在30 mm以下的频率为0.6＋0.5×5＝0.85，因此样本数据的80%分位数一定位于[25，30)内．由25＋5×＝29，可以估计棉花的纤维长度的样本数据的80%分位数约是29. [答案]　29 【感悟提升】　p分位数的计算方法 (1)计算一组n个数据的p分位数按前述三个步骤计算即可． (2)频率分布直方图估算p分位数：①计算各组的频率；②利用各组的频率之和确定p分位数所 在的区间[a，b)及其对应的纵坐标值m；③假设小于a的数据的频率和为n，则p分位数＝a＋. 【跟踪训练】 3．(1)某校调查某班30名同学所穿的鞋的尺码如下表所示： 码号 33 34 35 36 37 人数 7 6 14 1 2 则这组数据的25%分位数是________． 答案：34 解析：因为30×25%＝7.5，所以这组数据的25%分位数为34. (2)某校为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时长(单位：小时)数据分成6组：[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6](时长均在[0，6]内)，得到的频率分布直方图如图所示．已知上述时长数据的70%分位数为3.5，则m＝________，n＝________. 答案：0.35　0.3 解析：由频率分布直方图可得，0.05＋0.15＋m＋n＋0.11＋0.04＝1，即m＋n＝0.65　①.又时长数据的70%分位数为3.5，所以0.05＋0.15＋m＋(3.5－3)n＝0.7，即m＋0.5n＝0.5　②.由①②可得，m＝0.35，n＝0.3. 1．有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是(　　) A．11.6 B．2.32 C．23.2 D．11.5 答案：A 解析：根据平均数的求法：共8＋12＝20个数，这些数之和为8×11＋12×12＝232，故这些数的平均数是＝11.6.故选A. 2．某校规定学生的期末学科成绩由课堂表现、作业和考试三部分得分按1∶3∶6的比例来确定．小明同学本学期数学学科这三部分得分分别是：课堂表现98分，作业95分，考试85分，那么小明同学数学学科的期末成绩是(　　) A．93分 B．90分 C．89.5分 D．89.3分 答案：D 解析：小明同学数学学科的期末成绩是＝89.3(分)．故选D. 3．某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 旅游人数(万) 1.5 2.2 2.2 3.8 1.5 2.2 0.6 则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和25%分位数分别是(　　) A．2万、1.5万 B．2万、2.2万 C．2.2万、2.2万 D．2万、1.85万 答案：A 解析：游客人数的平均数为×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万)．将数据由小到大排列，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的25%分位数为1.5万．故选A. 4．某校高一年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表： 服装统一 动作整齐 动作准确 高一(1)班 80 84 87 高一(2)班 97 78 80 高一(3)班 90 78 85 (1)根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是________分；在动作准确方面最有优势的是________班； (2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，那么________班得分最高． 答案：(1)89　高一(1)　(2)高一(1) 解析：(1)在服装统一方面，三个班得分的平均数为＝89(分)，在动作准确方面最有优势的是高一(1)班． (2)高一(1)班的得分为80×20%＋84×30%＋87×50%＝84.7(分)， 高一(2)班的得分为97×20%＋78×30%＋80×50%＝82.8(分)， 高一(3)班的得分为90×20%＋78×30%＋85×50%＝83.9(分)，故高一(1)班的得分最高． 5．从同一地块甲、乙两种玉米的苗中共抽18株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下： 甲：25，41，40，37，22，15，21，39； 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40. (1)哪种玉米的苗长得高？哪种玉米的苗长得齐？ (2)这18株玉米株高的平均值和方差分别是多少？ 解：(1)甲种玉米株高的平均值甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋15＋21＋39)＝30(cm)， 乙种玉米株高的平均值乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)． ∵甲<乙，∴乙种玉米的苗长得高． 甲种玉米株高的方差 s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(15－30)2＋(21－30)2＋(39－30)2]＝93.25， 乙种玉米株高的方差 s＝×[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8. ∵s<s，∴甲种玉米的苗长得齐． (2)∵甲＝30 cm，s＝93.25， 甲种玉米的权重w甲＝，乙＝31 cm， s＝128.8， 乙种玉米的权重w乙＝， ∴这18株玉米株高的平均值＝×30＋×31≈30.56(cm)， 这18株玉米株高的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[93.25＋(30－30.56)2]＋×[128.8＋(31－30.56)2]≈113.25. 课后课时精练 一、选择题 1．某班有50名学生，平均身高为166 cm，其中20名女生的平均身高为163 cm，则30名男生的平均身高为(　　) A．168 cm B．169 cm C．170 cm D．171 cm 答案：A 解析：设30名男生的平均身高为x cm.根据题意，得＝166，解得x＝168.故选A. 2．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数为5，方差为2，另一组数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数为2，方差为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10的方差为(　　) A．3.2 B．2.5 C．4.76 D．2.41 答案：C 解析：易知第一组数据所占的权重为0.4，第二组数据所占的权重为0.6，因此所有数据的平均数＝0.4×5＋0.6×2＝3.2，方差s2＝0.4×[2＋(5－3.2)2]＋0.6×[3＋(2－3.2)2]＝4.76. 3．某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核(考核的满分均为100分)，三个方面依次按3∶5∶2确定最后得分．小王经过考核后所得的分数依次为90分、88分、83分，那么小王的最后得分是(　　) A．87分 B．87.5分 C．87.6分 D．88分 答案：C 解析：小王的最后得分为90×＋88×＋83×＝27＋44＋16.6＝87.6(分)．故选C. 4．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 读书时间(小时) 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的平均数、众数、40%分位数分别是(　　) A．9小时、8小时、8.5小时 B．9小时、8小时、8小时 C．9.5小时、9小时、8小时 D．9小时、8小时、9小时 答案：A 解析：该班学生一周读书时间的平均数为＝9(小时)，众数为8小时．因为该班共有学生40人，40×40%＝16，所以该班学生一周读书时间的40%分位数为＝8.5(小时)．故选A. 5．(多选)为了帮助某市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表： 捐款金额/元 20 30 50 90 人数 2 4 3 1 则下列说法正确的是(　　) A．这10名学生捐款数的中位数是40元 B．这10名学生捐款数的众数是90元 C．这10名学生捐款数的25%分位数是30元 D．这10名学生捐款数的方差是400 答案：CD 解析：这10名学生捐款数的中位数是30元，众数是30元，故A，B不正确；因为10×25%＝2.5，所以这10名学生捐款数的25%分位数是30元，故C正确；这10名学生捐款数的平均数为＝40(元)，这10名学生捐款数的方差＝×[2×(20－40)2＋4×(30－40)2＋3×(50－40)2＋1×(90－40)2]＝400，故D正确．故选CD. 二、填空题 6．某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如下表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为________． 　　 　教师 成绩　　　 甲 乙 丙 笔试 80分 82分 78分 面试 76分 74分 78分 答案：78.8分 解析：∵甲的综合成绩为80×60%＋76×40%＝78.4(分)，乙的综合成绩为82×60%＋74×40%＝78.8(分)，丙的综合成绩为78×60%＋78×40%＝78(分)，∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8分． 7．某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了高一某班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表： 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 那么这50名学生平均每人植树________棵，这50名学生每人植树棵数的75%分位数是________棵． 答案：4　5 解析：平均每人植树＝4(棵)，因为50×75%＝37.5，所以这50名学生每人植树棵数的75%分位数是5棵． 8．某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．若该球队准备对得分排名前30%的比赛进行宣传，则估计被宣传的比赛得分不低于________． 答案：80 解析：由图可知，10×(m＋0.03＋2m＋0.01)＝1，则m＝0.02，因为(0.02＋0.03＋0.04)×10＝0.9>0.7，(0.02＋0.03)×10＝0.5<0.7，所以第70百分位数位于[75，85)内，设为x，则(0.02＋0.03)×10＋(x－75)×0.04＝0.7，解得x＝80，所以被宣传的比赛得分不低于80. 三、解答题 9．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分． (1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01)； (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？ 解：(1)利用平均数计算公式，得 全班的平均分＝×(82×27＋80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学成绩的中位数是75分， ∴男同学中至少有14人得分不超过75分． ∵女同学成绩的中位数是80分， ∴女同学中至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分在80分以下． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中语文测验成绩两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大． 10．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表： 组别 平均分 标准差 第1组 84 6 第2组 80 4 求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差． 解：由题意，知第1组这次数学考试的平均分1＝84，方差s＝62＝36，权重w1＝， 第2组这次数学考试的平均分2＝80， 方差s＝42＝16，权重w2＝. 故全班学生这次数学考试的平均成绩 ＝×84＋×80＝81.5(分)， 方差s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2] ＝×[36＋(84－81.5)2]＋×[16＋(80－81.5)2] ＝27.25. 11．某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加学校组织的知识竞赛．班上对三名候选人进行了笔试和口试两次测试，测试成绩如下表： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 70 80 85 口试 90 70 65 班上50名学生又对这三名候选人进行了民主投票，三人的得票率(没有弃权票，每位学生只能投三人中的一票)如图，每得一票记1分． (1)请分别算出三人的得票分； (2)如果根据三项得分的平均成绩高者被当选，那么谁将被当选？(精确到0.01) (3)如果根据笔试、口试、投票三项成绩按5∶3∶2的比例确定最终成绩，根据最终成绩高者被当选，那么谁又将被当选？ 解：(1)三人的得票分分别为 甲：50×30%＝15分，乙：50×30%＝15分， 丙：50×40%＝20分． (2)三项得分的平均成绩： 甲：≈58.33， 乙：＝55.00， 丙：≈56.67. 由题意得甲将被当选． (3)由题意三人的平均得分分别为 甲：＝65， 乙：＝64， 丙：＝66. 所以丙将被当选． 12．张老师为了了解本年级甲班和乙班的数学成绩，某次测验后，随机从甲、乙两班中各抽取了10名学生的成绩记录如下：(单位：分) 甲班：99，95，98，94，97，96，95，92，90，94； 乙班：99，99，98，94，92，94，90，89，98，97. (1)试用学过的知识，从平均数、方差两方面对这两个班这次测验成绩进行简要分析； (2)求这20名学生成绩的平均数和方差． 解：(1)甲班10名学生成绩的平均数 甲＝ ＝95(分)， 乙班10名学生成绩的平均数 乙＝ ＝95(分)， 甲班10名学生成绩的方差s＝×[(99－95)2＋(95－95)2＋(98－95)2＋(94－95)2＋(97－95)2＋(96－95)2＋(95－95)2＋(92－95)2＋(90－95)2＋(94－95)2]＝6.6. 乙班10名学生成绩的方差s＝×[(99－95)2＋(99－95)2＋(98－95)2＋(94－95)2＋(92－95)2＋(94－95)2＋(90－95)2＋(89－95)2＋(98－95)2＋(97－95)2]＝12.6. 从平均数分析：这次测验成绩两个班相同；从方差分析：甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，故甲班的成绩比乙班的成绩稳定． (2)由题意可知甲班的权重w甲＝，乙班的权重w乙＝. 所以这20名学生成绩的平均数＝×95＋×95＝95(分)， 这20名学生成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[6.6＋(95－95)2]＋×[12.6＋(95－95)2]＝9.6. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$