6.2.2 分层随机抽样-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 2.2　分层随机抽样 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.2.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 教学重点：理解分层随机抽样的定义，会用分层随机抽样方法抽取样本． 教学难点：根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 知识点一　分层随机抽样的概念 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样． 知识点二　分层随机抽样的适用条件 当总体数目较多，且由差异明显的几类个体构成时，往往选用分层随机抽样的方法． 　两种抽样方法的辨析 类别 共同特征 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等； (2)都是不放回抽样 从总体中逐个抽取 简单随机抽样是分层随机抽样的基础，分层随机抽样最终要由简单随机抽样来实现 总体中的个体数较少，且无明显差异 分层随机抽样 将总体分成互不交叉的层，按比例分层抽取 总体由差异明显的几部分组成 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分层随机抽样实际上是按比例抽样．(　　) (2)分层随机抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．(　　) (3)分层随机抽样中不能用简单随机抽样．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用________抽样． (2)一个班共有54人，其中男女人数比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则应抽取男同学________人． (3)某学校有教师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂情况，拟采用分层随机抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取________人． 答案：(1)分层随机　(2)5　(3)45 题型一　分层随机抽样的概念 　(1)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 [解析]　保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． [答案]　C (2)某校要从高一、高二、高三共2021名学生中选取50名组成志愿团．若采用下面的方法选取，选用简单随机抽样的方法从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按分层随机抽样的方法进行，则每人入选的可能性(　　) A．都相等且为 B．都相等且为 C．不全相等 D．均不相等 [解析]　由于简单随机抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，因此每人入选的可能性都相等．因为题中的样本容量是50，总体容量是2021，所以每人入选的可能性为. [答案]　A 【感悟提升】　使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则． (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样．抽取的样本中每层样本数量之比与总体中对应各层个体数量之比相同． 【跟踪训练】 1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101 B．808 C．1212 D．2012 答案：B 解析：依题意可知，甲社区驾驶员的人数占总人数的比例为＝，因此有＝，解得N＝808. 题型二　分层随机抽样的应用 　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ [解]　用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工． (2)确定每层抽取个体的数目．不到35岁的职工占所有职工的比例为＝，则在不到35岁的职工中抽取100×＝25(人)； 同理，在35岁至49岁的职工中抽取100×＝56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取100×＝19(人)． (3)在各层分别按随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本． 【感悟提升】　利用分层随机抽样抽取样本的操作步骤 (1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本． 【跟踪训练】 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________． 答案：8，16，10，6 解析：根据分层抽样的特点，各层抽取的人数依次为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6. 题型三　两种抽样方法的综合应用 　为了考察某校学生眼睛的视力情况，抽查了这个学校高三年级部分学生的视力水平．为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)： ①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的视力水平； ②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤． [解]　(1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生的视力水平，个体都是指高三年级每个学生的视力水平．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生的视力水平，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生的视力水平，样本容量为100. (2)上面两种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层随机抽样法和简单随机抽样法． (3)第一种方式抽样的步骤如下： 第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班； 第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取14名学生，考察其视力水平． 第二种方式抽样的步骤如下： 第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次； 第二步：确定各个层次抽取的人数，根据分层抽样的特点，知每层抽取的个体数依次为100×，100×，100×，即15，60，25； 第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人； 第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本． 【感悟提升】　 (1)简单随机抽样和分层随机抽样是两种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用． (2)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但两种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法． (3)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的． 【跟踪训练】 3．下列问题中，宜采用的抽样方法依次为： (1)________；(2)________；(3)________． (1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查； (2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本； (3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 答案：(1)抽签法　(2)分层随机抽样　(3)分层随机抽样 解析： 题号 判断 原因分析 (1) 抽签法 总体容量较小，宜采用抽签法 (2) 分层随 机抽样 社区中家庭收入层次明显，宜采用分层随机抽样 (3) 分层随 机抽样 由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故宜采用分层随机抽样 1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．抽签法 C．随机数法 D．分层随机抽样 答案：D 解析：从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样． 2．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：在分层随机抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为，所以每个个体被抽取的可能性是＝. 3．(多选)某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是(　　) A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15 C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19 答案：ABD 解析：某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，样本中的中年人为6人，则老年人为120×＝2，青年人为n＝，故2＋6＋＝m⇒8＋＝m，代入选项计算，可知A，B，D符合题意．故选ABD. 4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 答案：60 解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60. 5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照分层随机抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽取多少？ 解：按照分层随机抽样方法抽样， ∵＝， ∴200×＝8，125×＝5，50×＝2. 故O型血抽取8人，A型血抽取5人，B型血抽取5人，AB型血抽取2人． 课后课时精练 一、选择题 1．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测．上述两项调查应采用的抽样方法是(　　) A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 答案：C 解析：①乔木、灌木、草木分类明显，可以采用分层随机抽样；②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样．故选C. 2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n等于(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 答案：C 解析：由题意知，总体中A种型号产品所占的比例是＝，因样本中A种型号产品有16件，则×n＝16，解得n＝80.故选C. 3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：分层随机抽样中，各层抽取的比例为＝，因此植物油类应抽取10×＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6. 4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A.90 B．100 C．180 D．300 答案：C 解析：设样本中的老年教师人数为x，则＝，解得x＝180. 5．(多选)某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则下列说法正确的是(　　) A．一车间在12月份生产的产品数为800 B．二车间在12月份生产的产品数为1200 C．三车间在12月份生产的产品数为1600 D．一、三车间在12月份生产的产品数为2400 答案：BD 解析：因为2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层随机抽样的性质可知，二车间在12月份生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×＝1200，一、三车间在12月份共生产的产品数为3600×＝2400.故选BD. 二、填空题 6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案：1800 解析：设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x)件．由题意，得＝，解得x＝1800. 7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________． 答案：6，30，10 解析：设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，则有解得 8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人． 答案：20 解析：由题意知，分层随机抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)． 三、解答题 9．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示： 很满意 满意 一般 不满意 10800 12400 15600 11200 为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？ 解：因为＝， 所以＝108，＝124，＝156，＝112. 故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份，124份，156份，112份进行调查． 10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？ 解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层随机抽样的方法进行抽样． 因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500， 则各层抽取的比例为＝， 所以有500×＝8，3000×＝48，4000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 分层随机抽样的步骤： ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层； ②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64； ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本； ④综合每层抽样，组成样本． 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． (2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤： ①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000； ②在随机数表上随机选取一个起始位置； ③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码，则只取一个，这样一直到取满48个号码为止． 11．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据． 解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1700－m)件，样本容量为n－10. 根据分层随机抽样的特征可得＝＝，解得m＝900，n＝90，所以1700－900＝800，90－10＝80. 补全表格如下： 产品类型 A B C 产品数量(件) 900 1300 800 样本容量 90 130 80 12.某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位：人)： 学段 城市 县镇 农村 小学 357000 221600 258100 初中 226200 134200 11290 高中 112000 43300 6300 请根据上述数据，设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案． 解：第一步，确定城市、县镇、农村应抽取的个体数． 城市、县镇、农村的学生数分别为 357000＋226200＋112000＝695200， 221600＋134200＋43300＝399100， 258100＋11290＋6300＝275690. 因为样本容量与总体容量的比为1∶1000，所以样本中包含的各部分个体数分别为695200×≈695，399100×≈399，275690×≈276. 第二步，将城市应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中． 因为城市小学、初中、高中的人数比为357000∶226200∶112000＝1785∶1131∶560，1785＋1131＋560＝3476，所以城市小学、初中、高中被抽取的人数分别为695×≈357，695×≈226，695×≈112. 第三步，将县镇应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中． 因为县镇小学、初中、高中的人数比为221600∶134200∶43300＝2216∶1342∶433，2216＋1342＋433＝3991，所以县镇小学、初中、高中被抽取的人数分别为399×≈222，399×≈134，399×≈43. 第四步，使用同样的方法将农村应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．经计算，农村小学、初中、高中被抽取的人数分别为259，11，6. 第五步，在各层中应抽取的个体数目如下表所示： 学段 城市 县镇 农村 小学 357 222 259 初中 226 134 11 高中 112 43 6 按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体，将抽取的个体合在一起形成所需的一个样本． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$