2.3 第2课时 函数单调性的判定及应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 第2课时　函数单调性的判定及应用 (教师独具内容) 课程标准：掌握函数单调性的判定方法，并能应用函数的单调性解决问题． 教学重点：用定义证明函数的单调性，应用函数的单调性解决问题． 教学难点：应用函数的单调性解决问题． 知识点　用定义证明函数单调性的方法 在判断函数的单调性时，常常借助其图象，得到猜测．证明函数f(x)在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取x1，x2，且x1<x2，然后计算f(x1)与f(x2)的差，由其值大于0或小于0来判断f(x)在该区间上的增减性． 若函数f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则在这个区间上： ①f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性． ②函数y＝af(x)(a≠0)与函数y＝f(x)，当a>0时，单调性相同；当a<0时，单调性相反． ③当f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反． ④当f(x)，g(x)都是单调递增(减)时，f(x)＋g(x)是单调递增(减)． ⑤若f(x)，g(x)都是单调递增(减)，当两者都恒大于零时，f(x)g(x)是单调递增(减)；当两者都恒小于零时，f(x)g(x)是单调递减(增)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y＝f(x)的定义域是D，如果存在x1，x2∈D，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．(　　) (2)若对于任意的x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，都有<0恒成立，则函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(　　) (3)若函数f(x)在R上是增函数，则f(1)<f(4)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)在[－5，6]上是单调函数，且f(2)>f(3)，则f(x)在[－5，6]上单调________． (2)若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，则m与n的关系为________． (3)下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是________． ①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1. 答案：(1)递减　(2)m<n　(3)② 题型一　判断函数的单调性 　利用单调性的定义判断函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上的单调性． [解]　设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵－1<x1<x2， ∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递减． 【感悟提升】　定义法证明函数单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：(1)对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. (2)对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 【跟踪训练】 1．判断函数f(x)＝在区间[1，2]上的单调性，并求其在区间[1，2]上的最大值和最小值． 解：任取x1，x2，且1≤x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝， 因为1≤x1＜x2≤2， 所以2<x1＋x2<4，即6<3(x1＋x2)＜12， 又1<x1x2<4，x2－x1>0，x1－3<0，x2－3<0， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝在区间[1，2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－，f(x)min＝f(2)＝－4. 题型二　复合函数的单调性 　求函数f(x)＝的单调区间． [解]　易知函数f(x)的定义域为{x|x<－4或－4<x<2或x>2}．令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9， 易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． ∴函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－4)和(－4，－1]． 【感悟提升】　一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”． t＝g(x) y＝f(t) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数． 判断复合函数y＝f(g(x))单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)将复合函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调性； (4)确定复合函数y＝f(g(x))的单调性． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的单调递减区间． 解：∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)， ∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1. 令u＝1－x2，则f(1－x2)＝f(u)． 当x∈[0，1]时，u＝1－x2是减函数， 则f(1－x2)是增函数； 当x∈[－1，0]时，u＝1－x2是增函数， 则f(1－x2)是减函数． 故f(1－x2)的单调递减区间为[－1，0]． 题型三　函数单调性的应用 　(1)已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． [解析]　依题意得实数a满足解得0<a≤2. [答案]　(0，2] (2)已知函数f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围． [解]　由题意可知 解得0<a<1.① 又函数f(x)在(－1，1)上是减函数， 且f(1－a)<f(2a－1)， ∴1－a>2a－1，即a<.② 由①②可知，0<a<. 故所求a的取值范围是. (3)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围． [解]　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]． 又已知f(x)在(－∞，4]上单调递减， ∴1－a≥4，即a≤－3. ∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]． 【感悟提升】　利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)相关结论 ①正向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x1<x2时，f(x1)<f(x2)；当x1>x2时，f(x1)>f(x2)； ②逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)<f(x2)时，x1<x2；当f(x1)>f(x2)时，x1>x2. 当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． 解：由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x＝2， 故f(1)＝f(3)，又由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3)<f(4)， 即f(2)<f(1)<f(4)． (2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 解：由题意，得解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)， 所以x－2<1－x，解得x<.② 由①②，得1≤x＜. 所以x的取值范围为. 1．下列说法正确的个数为(　　) ①函数y＝x2在R上是增函数； ②函数y＝－在定义域上是增函数； ③y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)； ④函数f(x)＝在R上不具备单调性． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：①y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故①不正确；②y＝－在整个定义域上不是单调递增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，故②不正确；③y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，故③不正确；④画出函数f(x)的图象，由图可知f(x)在R上单调递增，故④不正确．故选A. 2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　) A．k＞ B．k＜ C．k＞－ D．k＜－ 答案：D 解析：当2k＋1＝0时，不符合题意，∴2k＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k＋1＜0，即k＜－. 3．若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 答案：C 解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3. 4．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：[－1，＋∞) 解析：设1<x1<x2，则x1x2>1.因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.因为x1x2>1，即－x1x2<－1，所以a≥－1，故实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 5．已知函数f(x)＝，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． 解：f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下： 任取x1>x2>0， f(x1)－f(x2)＝－＝， 由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0， 故f(x1)－f(x2)>0， 即f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 课后课时精练 一、选择题 1．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案：B 解析：由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1，即f(0)<f(x)<f(3)，∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3，∴－1<f(x)<1的解集为(0，3)． 2．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 答案：A 解析：设x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x1)<f(x2)．所以－f(x1)>－f(x2)，A项一定成立．其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a<0时，D不成立． 3．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 答案：C 解析：因为函数f(x)在[a，b]上单调递增，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，此时满足>0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，>0，故A，B，D正确；因为x1，x2∈[a，b]，x1<x2，所以a≤x1<x2≤b，所以f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)，故C错误． 4．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 答案：A 解析：画出f(x)的图象可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2. 5．(多选)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则下列说法不正确的是(　　) A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b) C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 答案：ABD 解析：∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)． 二、填空题 6．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______． 答案：f(－3)>f(－π) 解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． 7．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤－3 解析：因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3. 8．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是________． 答案：[1，2] 解析：∵函数f(x)＝ 在(－∞，＋∞)上为增函数，∴解得1≤b≤2，故实数b的取值范围是[1，2]． 三、解答题 9．证明：函数f(x)＝－x3＋1在其定义域上为减函数． 证明：∵函数f(x)＝－x3＋1的定义域为(－∞，＋∞)， ∴设x1，x2是(－∞，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1). ∵x1<x2， ∴x2－x1>0，＋x>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)＝－x3＋1在其定义域上为减函数． 10．已知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0，f(3)＝1.试判断g(x)＝f(x)＋在(0，3]上的单调性，并加以证明． 解：函数g(x)在(0，3]上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(0，3]，且x1<x2，则 g(x1)－g(x2)＝－＝[f(x1)－f(x2)]. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x1)－f(x2)<0. 又因为f(x)>0，f(3)＝1， 所以0<f(x1)<f(x2)≤f(3)＝1. 所以0<f(x1)f(x2)<1，>1， 1－<0. 所以g(x1)－g(x2)>0， 故函数g(x)＝f(x)＋在(0，3]上单调递减． 11．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)为R上的单调递增函数； (2)若f(4)＝5，求解不等式f(3m2－m－2)<3. 解：(1)证明：在R上任取x1，x2，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋1＝1－f(x2－x1)． 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1. 故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)为R上的单调递增函数． (2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5， 所以f(2)＝3. 由此可得f(3m2－m－2)<f(2)， 由(1)可知f(x)为R上的单调递增函数， 所以3m2－m－2<2，解得. 12．已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝. (1)求m，n的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)若不等式f(1＋2x2)>f(x2－2x＋4)成立，求实数x的取值范围． 解：(1)由题意知f(1)＝m＋＋＝2， f(2)＝2m＋＋＝. 联立上述两式，解得 (2)f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． 证明如下：设x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－＝(x1－x2)＝(x1－x2)·. ∵1≤x2<x1， ∴x1－x2>0，x1x2>1， ∴2x1x2>2>1， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． (3)∵1＋2x2≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由(2)知f(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴1＋2x2>x2－2x＋4， ∴x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. 故实数x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$