1.4.1 一元二次函数-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　预备知识 §4　一元二次函数与 一元二次不等式 4.1　一元二次函数 (教师独具内容) 课程标准：1.理解一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.掌握一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质.3.能运用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质.4.掌握一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标、对称轴方程、增减区间和最值求法． 教学重点：1.一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质.3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质，顶点坐标、对称轴方程及最值求法． 教学难点：1.用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的求法． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 ax2＋bx＋c 核心概念掌握 5 知识点二　一元二次函数的图象的变换 通常把一元二次函数的图象叫作_________．一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向____ (或向_____)平移____个单位长度，再向___ (或向___)平移____个单位长度而得到． 抛物线 左 右 |h| 上 下 |k| 核心概念掌握 6 知识点三　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条________，顶点坐标是_______，对称轴是直线______． (2)当a>0时，抛物线开口向____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_____；函数在x＝h处有最____值，记作________． 当a<0时，抛物线开口向____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而______；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_____；函数在x＝h处有最___值，记作_______． 抛物线 (h，k) x＝h 上 减小 增大 小 ymin＝k 下 增大 减小 大 ymax＝k 核心概念掌握 7 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) √ × 答案 × √ 核心概念掌握 8 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把一元二次函数y＝3x2的图象向___________单位长度，再向___________单位长度，得到一元二次函数y＝3(x＋5)2－2的图象． (2)一元二次函数y＝－2x2＋4x－3的图象的顶点坐标是________． (3)在区间________上，一元二次函数y＝－x2＋4x的函数值y随自变量x的增大而增大． 答案 左平移5个 下平移2个 (1，－1) (－∞，2] 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　求一元二次函数的解析式 解　设所求一元二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，则其顶点坐标为(h,k)． ∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为y＝a(x－1)2－3. 又函数图象经过点P(2，0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2，0)，求这个一元二次函数的解析式． 解 核心素养形成 11 【感悟提升】　求一元二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解． (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)． 当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，且a≠0)． 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，且a≠0)．当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式． 核心素养形成 12 解 【跟踪训练】 1．已知一元二次函数的图象经过点A(2，－1)，B(－1，－1)，且这个函数的最大值为8，求这个一元二次函数的解析式． 核心素养形成 13 题型二　一元二次函数图象的变换 　(1)将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6 C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2 解析　将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1＋1)2－3的图象，即y＝2(x＋2)2－3的图象；将y＝2(x＋2)2－3的图象向上平移3个单位长度，得到函数y＝2(x＋2)2－3＋3的图象，即函数y＝2(x＋2)2的图象． 1 答案 解析 核心素养形成 14 解　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2， ∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0)． 根据题意，把此抛物线反向平移，得到原抛物线y＝x2＋bx＋c，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c，此时顶点(1，0)平移至(3，－3)处． ∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标是(3，－3)， 即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝x2＋bx＋c， 得b＝－6，c＝6. 解 (2)将一元二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求b与c. 核心素养形成 15 【感悟提升】　函数图象的平移变换，可简单地理解为“左＋右－，上＋下－” (1)“左右平移”实际上是对自变量进行变化，即由函数y＝ax2(a≠0)的图象得到y＝a(x＋h)2(a≠0)的图象，当h>0时，向左平移；当h<0时，向右平移，平移的单位长度都是|h|. (2)“上下平移”实际上是对函数值进行变化，即由函数y＝ax2(a≠0)的图象得到y＝ax2＋k(a≠0)的图象，当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移，平移的单位长度都是|k|. 核心素养形成 16 【跟踪训练】 2．函数y＝－2x2＋4x＋6的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的平移变化得到的(　　) A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 答案 解析 解析：函数y＝－2x2＋4x＋6可化为y＝－2(x－1)2＋8，故将y＝－2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度即可得到y＝－2(x－1)2＋8的图象． 核心素养形成 17 题型三　一元二次函数性质的应用 解析：由已知得－≤1，即m≥－6，∴当x＝1时，y＝7＋m≥1；当x＝2时，y＝12＋2m＋4≥4.故选C. 　 已知函数y＝3x2＋mx＋4在区间[1，＋∞)上y随x的增大而增大，则(　　) A．当x＝2时，y＝4 B．当x＝1时，y＝1 C．当x＝2时，y≥4 D．当x＝1时，y≤1 答案 解析 核心素养形成 18 【感悟提升】　　对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当a>0时，若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而增大，则一元二次函数图象的对称轴满足－≤m；若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而减小，则一元二次函数图象的对称轴满足－≥n. (2)当a<0时，若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而增大，则一元二次函数图象的对称轴满足－≥n；若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而减小，则一元二次函数图象的对称轴满足－≤m. 核心素养形成 19 解 【跟踪训练】 3．已知函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，0)上y随x的增大而减小，在(3，＋∞)上y随x的增大而增大，求实数a的取值范围． 解：y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，其图象开口向上，对称轴为直线x＝a.由已知可得0≤a ≤ 3. 核心素养形成 20 题型四　一元二次函数的最值 解　∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，开口向上． 当x∈[－2，0]时，y随x的增大而减小， 故当x＝－2时，y取最大值11；当x＝0时，y取最小值3. 　 已知一元二次函数y＝x2－2x＋3，当x∈[－2，0]时，求y的最值． 解 核心素养形成 21 解：当x∈[－2，1]时，y随x的增大而减小， 当x∈(1，3]时，y随x的增大而增大． 故当x＝1时，y取最小值2. 又|－2－1|>|3－1|， ∴当x＝－2时，y取得最大值11. [条件探究]　若将本例中的条件改为“x∈[－2，3]”，求y的最值． 解 核心素养形成 22 核心素养形成 23 解 【跟踪训练】 4．已知一元二次函数y＝2x2＋5x－12，当x∈[－1，3]时，求函数的最值． 核心素养形成 24 随堂水平达标 1．已知抛物线与x轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1 解析：由题意，得抛物线的对称轴是y轴且开口向下，顶点坐标为(0，1)，故该抛物线为y＝－x2＋1. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 2．(多选)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中正确的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 解析：一元二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1>0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2，1)，当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，故A，B说法正确，C说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1的图象，故D说法正确． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 3．一元二次函数y＝3＋5x－2x2的图象的顶点坐标是________． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 4．函数y＝－x2＋4x在区间___________上y随x的增大而增大． 解析：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴函数y＝－x2＋4x在区间(－∞，2]上y随x的增大而增大． 答案 解析 (－∞，2] 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 5．已知函数y＝x2－2x＋2，当x∈[－5，5]时，求函数的最大值和最小值． 解析：∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]， ∴当x＝1时，y取得最小值1. 当x＝－5时，y取得最大值37. 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 课后课时精练 一、选择题 1．已知二次函数的图象过点(－3，2)，顶点坐标为(－2，3)，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2－4x－1 B．y＝x2＋4x－1 C．y＝－x2－4x－1 D．y＝－x2－4x＋1 解析：设y＝a(x＋2)2＋3，将(－3，2)代入二次函数的解析式，得2＝a(－3＋2)2＋3.解得a＝－1.故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 2．函数y＝4－x(x－2)的图象的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5 解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 3．函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，则(　　) A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<0 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 4．函数y＝x2＋2x＋1，x∈[－2，2]，则(　　) A．函数有最小值0，最大值9 B．函数有最小值2，最大值5 C．函数有最小值2，最大值9 D．函数有最小值1，最大值5 解析：因为函数y＝x2＋2x＋1的图象的对称轴为直线x＝－1，且开口向上，所以在区间[－2，2]内，当x＝－1时，y取得最小值0，当x＝2时，y取得最大值9.故选A. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 5．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.则下列结论正确的是(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 二、填空题 6．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝_____． 解析：因为函数y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，所以m＝1. 答案 解析 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 7．设函数y＝4x2－(a＋1)x＋5，在[－1，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，－1]上y随x的增大而减小，则当x＝－1时，y＝_____． 答案 解析 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 8．已知二次函数y＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且当x＝a时，y取得最小值，则a的取值范围是________． 解析：∵函数y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴在区间[2，3]上，y随x的增大而减小．又x∈[2，a]且当x＝a时，y取得最小值，∴2<a≤3. 答案 解析 (2，3] 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 三、解答题 9．已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)． (1)求抛物线的解析式； (2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图象． 解：(1)∵点A(1，m)在直线y＝－3x上， ∴m＝－3×1＝－3. 把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8， 得a＋6－8＝－3，解得a＝－1， ∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 (2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1， ∴该抛物线的顶点坐标为(3，1)． 因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 10．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a， (1)若a＝2，求函数在区间[0，3]上的最小值； (2)若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值． 解：(1)若a＝2，则y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.所以函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2. 所以在区间[0，2]上，y随x的增大而增大，在区间[2，3]上，y随x的增大而减小， 又当x＝0时，y＝－1，当x＝3时，y＝2，所以ymin＝－1. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 (2)函数图象的对称轴为直线x＝a， 当a≤0时，在区间[0，1]上，y随x的增大而减小，则ymax＝1－a＝3，即a＝－2； 当0<a<1时，在区间[0，a]上，y随x的增大而增大，在区间[a，1]上，y随x的增大而减小，则ymax＝a2－a＋1＝3，解得a＝2或－1，不符合； 当a≥1时，在区间[0，1]上，y随x的增大而增大， 则ymax＝－1＋2a＋1－a＝3，解得a＝3. 综上所述，a＝－2或a＝3. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 11．已知a，b，c为△ABC的三边长，抛物线y＝ax2－2bx＋c的顶点为(1，0)，试判断△ABC的形状． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 12．已知函数y＝x2－2ax＋a，x∈[－1，1]，是否存在实数a，使得其最小值为－2，最大值为2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 　　　　　　　　　　　　　 R －eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) 知识点一　一元二次函数的定义 1．形如y＝___________ (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作一元二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为一元二次函数的一般式． 2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋_____)) eq \s\up12(2)＋_______＝a(x－h)2＋k，其中h＝________，k＝________． 解析式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)称为一元二次函数的顶点式． eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) (1)一元二次函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由一元二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(　　) (2)对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)来说，当x≥－eq \f(b,2a)时，函数值y随自变量x的增大而增大．(　　) (3)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－eq \f(b,2a)处取得最大值．(　　) (4)一元二次函数y1＝2x2与y2＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　) 解：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 【感悟提升】　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值的类型 (1)若对称轴x＝－eq \f(b,2a)在区间[m，n]内，则最小值为eq \f(4ac－b2,4a)，最大值为区间端点m，n中与x＝－eq \f(b,2a)距离较远的一个对应的函数值． (2)若－eq \f(b,2a)<m，则在[m，n]上是y随x的增大而增大，最大值为x＝n时对应的函数值，最小值为x＝m时对应的函数值． (3)若－eq \f(b,2a)>n，则在[m，n]上是y随x的增大而减小，最大值为x＝m时对应的函数值，最小值为x＝n时对应的函数值． 解：因为y＝2x2＋5x－12＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(121,8)， 又因为－eq \f(5,4)<－1， 所以y＝2x2＋5x－12在[－1，3]上y随x的增大而增大． 故当x＝－1时，y取最小值－15，当x＝3时，y取最大值21. 所以当－1≤x≤3时，函数y＝2x2＋5x－12的最小值为－15，最大值为21. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(49,8))) 解析y＝3＋5x－2x2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(5x,2)＋\f(25,16)))＋eq \f(25,8)＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(49,8)，∴顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(49,8))). 解析：函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2)，∵函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，∴－eq \f(b,2)≤0，∴b≥0. 解析　因为函数图象与x轴的交点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，所以函数图象与x轴的另一个交点为(1，0)，所以函数图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1，所以2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由对称轴为直线x＝－1，知b＝2a，由函数图象开口向下，知a<0，因为5a－b＝5a－2a＝3a<0，即5a<b，D正确． 解析：由题意可得eq \f(a＋1,8)＝－1.解得a＝－9.∴y＝4x2＋8x＋5.∴当x＝－1时，y＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1. 解：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(－2b,2a)＝\f(b,a)＝1，,\f(4ac－4b2,4a)＝\f(ac－b2,a)＝0.)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,b2＝ac，))即a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 解：存在．理由如下：y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2. 当a<－1时，在x∈[－1，1]上y随x的增大而增大， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3a＝－2，,1－a＝2，)) 解得a＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－a2＝－2，,1－a＝2，)) 解得a＝－1；当0<a≤1时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－a2＝－2，,1＋3a＝2，))a不存在； 当a>1时，在x∈[－1，1]上y随x的增大而减小， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3a＝2，,1－a＝－2，))a不存在． 综上可知，存在实数a，且a＝－1满足题意． $$