1.3.2 第2课时 基本不等式与最大(小)值-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　预备知识 §3　不等式 3.2　基本不等式 第2课时　基本不等式与最大(小)值 (教师独具内容) 课程标准：1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题． 教学重点：运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当______时，xy取得最___值____．(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当_______时，x＋y取得最____值_____．(简记：积定和有最小值) x＝y 大 x＝y 小 核心概念掌握 5 利用基本不等式的解题技巧与易错点 (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． 核心概念掌握 6 (2)易错点 ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； ④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同． 核心概念掌握 7 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) × 答案 × × 核心概念掌握 8 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) 答案 200 60 2 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　利用基本不等式求函数的最值 解 核心素养形成 11 解析 核心素养形成 12 解析 核心素养形成 13 【感悟提升】　利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法． 核心素养形成 14 答案 解析 1 核心素养形成 15 解析 答案 4 核心素养形成 16 题型二　利用基本不等式求代数式的最值 解 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 解 (3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． 核心素养形成 19 解 [结论探究]　若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？ 核心素养形成 20 【感悟提升】　利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 题型三　利用基本不等式解决实际问题 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 【感悟提升】　利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点 (1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域． (2)一般利用均值不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件． (3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号的情况，此时要利用其他方法求解． 核心素养形成 26 解 【跟踪训练】 3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 核心素养形成 27 随堂水平达标 1．若正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 3.(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 解析：由题意，知a>0，b>0，对于A，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，A正确；对于B，当a＝b时，4个长方形为4个正方形，此时A1，B1，C1，D1四点重合，B正确；C显然错误；对于D，∵ab>0，∴4ab>0，∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2－2ab，即(a＋b)2>(a－b)2，D正确．故选ABD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 答案 解析 －10 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y＝－10(x－6)2＋110(x∈N＋)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 二、填空题 6．已知正实数a，b满足ab＝4，则a＋2b的最小值是______． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大． 答案 解析 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_____ m. 答案 解析 20 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？ 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(s2,4) 2eq \r(p) (1)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq \r(2).(　　) (2)当x>1时，因为x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以x＋eq \f(1,x－1)的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).(　　) (3)x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(　　) (1)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是______． (2)已知eq \f(5,x)＋eq \f(3,y)＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是______． (3)若a，b∈R＋，且a＋b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为______． (1,x－3) 　(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值． 解　∵y＝eq \f(1,x－3)＋x＝eq \f(1,x－3)＋(x－3)＋3， 又x>3，∴x－3>0，eq \f(1,x－3)>0， ∴y≥2eq \r(\f(1,x－3)·（x－3）)＋3＝5. 当且仅当eq \f(1,x－3)＝x－3，即x＝4时，y有最小值5. 解　∵0<x<eq \f(1,3)，∴1－3x>0， y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x·(1－3x) ≤eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（1－3x）,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,12). 当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，取等号． ∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12). (2)已知0<x<eq \f(1,3)，求y＝x(1－3x)的最大值． 解　∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝eq \f(x2＋3x＋4,x＋1) ＝eq \f(（x＋1）2＋（x＋1）＋2,x＋1)＝x＋1＋eq \f(2,x＋1)＋1 ≥2eq \r(2)＋1， 当且仅当x＋1＝eq \f(2,x＋1)，即x＝eq \r(2)－1时，函数y的最小值为2eq \r(2)＋1. (3)已知x＞－1，求y＝eq \f(x2＋3x＋4,x＋1)的最小值． 【跟踪训练】 1．(1)若x<eq \f(5,4)，则函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为____． 解析：：∵x<eq \f(5,4)，∴5－4x>0.∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（5－4x）＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq \r(（5－4x）·\f(1,5－4x))＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．故函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1. 解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq \f(x2,x－1)＝eq \f(x2－1＋1,x－1)＝x＋1＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋2≥2＋2＝4，当且仅当eq \f(1,x－1)＝x－1，即x＝2时，等号成立，故当x＝2时，函数y＝eq \f(x2,x－1)的最小值为4. (2)若x>1，则函数y＝eq \f(x2,x－1)的最小值为_____． (1,x) 　(1)已知x>0，y>0且＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． 解　∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 即x＝4，y＝12时取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 解　∵2x＋y＋6＝xy，∴y＝eq \f(2x＋6,x－1)，x＞1， xy＝eq \f(x（2x＋6）,x－1)＝eq \f(2（x2＋3x）,x－1) ＝eq \f(2[x2－1＋3（x－1）＋4],x－1) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1＋\f(4,x－1)＋3))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1＋\f(4,x－1)＋5)) ≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(（x－1）×\f(4,x－1))＋5))＝18. 当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时，等号成立． 即xy的最小值为18. (2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． 解　因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2)， 所以(x＋y)2≤eq \f(4,3)， 即x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1， 即x＝y＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立．故x＋y的最大值为eq \f(2\r(3),3). 解：eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝eq \f(y＋9x,xy)≥eq \f(2\r(y·9x),xy)＝eq \f(6\r(xy),xy) ＝eq \f(6,\r(xy))， 又因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 所以eq \f(6,\r(xy))≤1，eq \r(xy)≥6，xy≥36， 当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立． 所以xy的最小值为36. 【跟踪训练】 2．(1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值． 解析：∵x，y均为正数，且x＋2y＝1， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即当x＝eq \r(2)－1，y＝1－eq \f(\r(2),2)时等号成立． ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为3＋2eq \r(2). (2)已知x>0，y>0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，求xy的最大值． 解：∵eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1， ∴1＝eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2eq \r(\f(xy,12))＝eq \f(\r(3),3)·eq \r(xy). ∴eq \r(xy)≤eq \r(3)，当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)＝eq \f(1,2)， 即x＝eq \f(3,2)，y＝2时等号成立． ∴xy≤3，即xy的最大值为3. (180,x＋10) 　某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝eq \f(x,5)(注：利润与投资金额单位：万元)． (1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并写出x的取值范围； (2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 解　(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，利润总和y＝18－eq \f(180,x＋10)＋eq \f(100－x,5)＝38－eq \f(x,5)－eq \f(180,x＋10)(x∈[0，100])． (2)∵y＝40－eq \f(x＋10,5)－eq \f(180,x＋10)，x∈[0，100]， ∴由基本不等式，得y≤40－2eq \r(36)＝28，当且仅当eq \f(x＋10,5)＝eq \f(180,x＋10)时，即x＝20时，等号成立． 答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元． 解：设水池底面一边的长度为x m， 则另一边的长度为eq \f(4800,3x) m. 又设水池总造价为y元，根据题意，得y＝150×eq \f(4800,3)＋120×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3x＋2×3×\f(4800,3x)))＝240000＋720×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1600,x)))≥240000＋720×2eq \r(x·\f(1600,x))＝297600(元)， 当且仅当x＝eq \f(1600,x)，即x＝40时，y取得最小值297600. 所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297600元． 解析：正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4＋2a＋b≥4＋2eq \r(2ab)＝8，当且仅当b＝2a＝2时取等号，所以当a＝1，b＝2时，(a＋1)(b＋2)取得最小值8. 2．当x>eq \f(1,2)时，函数y＝x＋eq \f(8,2x－1)的最小值是(　　) A．4 B.eq \f(9,2) C.eq \f(7,2) D.eq \f(5,2) 解析：因为x>eq \f(1,2)，所以x－eq \f(1,2)>0，所以y＝x＋eq \f(8,2x－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq \f(4,x－\f(1,2))＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))·\f(4,x－\f(1,2)))＋eq \f(1,2)＝4＋eq \f(1,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当x－eq \f(1,2)＝eq \f(4,x－\f(1,2))，即x＝eq \f(5,2)时取等号．故选B. ±eq \r(2) 4．若x≠0，则y＝2－3x2－eq \f(12,x2)的最大值是________，取得最大值时x的值是________． 解析：y＝2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4,x2)))≤2－3·2eq \r(x2·\f(4,x2))＝2－3×4＝－10，当且仅当x2＝eq \f(4,x2)，即x＝±eq \r(2)时取等号． 解：因为eq \f(y,x)＝eq \f(－10（x－6）2＋110,x)＝－10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))＋120≤－20eq \r(x·\f(25,x))＋120＝20，当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时，等号成立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大． 一、选择题 1．当x＞0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为(　　) A．4 B．8 C．8eq \r(3) D．16 解析：∵x＞0，∴eq \f(12,x)＞0，4x＞0.eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3)，当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x＞0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3). 2．若x＜0，则x＋eq \f(1,x)－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：∵x＜0，∴－x＞0.∴x＋eq \f(1,x)－2＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,（－x）)))－2≤－2eq \r(（－x）·\f(1,（－x）))－2＝－4，当且仅当－x＝－eq \f(1,x)，即x＝－1时取等号． 3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2) 解析：解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝eq \f(8－x,2x＋2)>0，∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·eq \f(8－x,2x＋2)＝(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)－2≥2eq \r(（x＋1）·\f(9,x＋1))－2＝4，当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2，y＝1时取等号． 解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2eq \r(（x＋1）（2y＋1）)－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时，等号成立． 4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　) A．0 B.eq \f(9,8) C．2 D.eq \f(9,4) 解析：eq \f(z,xy)＝eq \f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)－3≥2eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 5．(多选)设a>0，b>0，且a＋2b＝4，则下列结论正确的是(　　) A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为eq \r(2) B.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为2 C.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(9,4) D.eq \f(b,a＋1)＋eq \f(a,b＋1)>1 解析：因为a>0，b>0，且a＋2b＝4，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,4)(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,b)＋\f(2b,a)＋2))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(a,b)·\f(2b,a))))＝eq \f(3＋2\r(2),4)，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(2b,a)，即a＝4eq \r(2)－4，b＝4－2eq \r(2)时，“＝”成立，所以A不正确；eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,4)(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)＋\f(4b,a)＋2))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(a,b)·\f(4b,a))))＝2，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(4b,a)，即a＝2，b＝1时，“＝”成立，所以B正确； eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,4)(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)＋4))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))))＝eq \f(9,4)，当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)，即a＝b＝eq \f(4,3)时，“＝”成立，所以C正确；eq \f(b,a＋1)＋eq \f(a,b＋1)≥2eq \r(\f(b,a＋1)·\f(a,b＋1))＝2eq \r(\f(ab,ab＋a＋b＋1))＝2eq \r(\f(1,1＋\f(1,b)＋\f(1,a)＋\f(1,ab)))，当且仅当eq \f(b,a＋1)＝eq \f(a,b＋1)，即a＝b＝eq \f(4,3)时，“＝”成立，而2eq \r(\f(1,1＋\f(1,b)＋\f(1,a)＋\f(1,ab)))＝2eq \r(\f(1,1＋\f(3,4)＋\f(3,4)＋\f(9,16)))＝eq \f(8,7)>1，所以D正确．故选BCD. 4eq \r(2) 解析：正实数a，b满足ab＝4，由基本不等式得a＋2b≥2eq \r(2ab)＝4eq \r(2)，当且仅当a＝2b，即a＝2eq \r(2)，b＝eq \r(2)时，等号成立． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，且x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，此时年平均利润最大． 解析：如图，由题意可得△ADE∽△ABC.设矩形的另一边长为y，则eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，即y＝40－x，∴xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2)＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20. 三、解答题 9．(1)已知a，b∈R，ab>0，求eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值； (2)求函数y＝eq \f(\r(x2＋2),x2＋6)的最大值； (3)求函数y＝eq \f(2x2＋5x＋7,x＋1)(x＞－1)的最小值． 解：(1)解法一：因为ab>0， 所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)＝eq \f(a3,b)＋eq \f(4b3,a)＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(4a2b2)＋eq \f(1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab)≥4， 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a3,b)＝\f(4b3,a)，,4ab＝\f(1,ab)，))即a2＝eq \f(\r(2),2)，b2＝eq \f(\r(2),4)时前后两个等号同时成立，所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为4. 解法二：因为ab>0， 所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab) ≥2eq \r(4ab·\f(1,ab))＝4， 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4b4，,4ab＝\f(1,ab)，))即a2＝eq \f(\r(2),2)，b2＝eq \f(\r(2),4)时前后两个等号同时成立， 所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为4. (2)令t＝eq \r(x2＋2)(t≥eq \r(2))， 则y＝eq \f(t,t2＋4)＝eq \f(1,t＋\f(4,t))≤eq \f(1,2\r(t·\f(4,t)))＝eq \f(1,4)， 当且仅当t＝2，即x＝±eq \r(2)时，取得等号． 故函数的最大值为eq \f(1,4). (3)由题意知，函数y＝eq \f(2x2＋5x＋7,x＋1)＝2(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋1.因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝2(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(2（x＋1）·\f(4,x＋1))＋1＝4eq \r(2)＋1，当且仅当x＋1＝eq \f(2,x＋1)，即x＝eq \r(2)－1时，等号成立．故函数的最小值为4eq \r(2)＋1. 解：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去eq \f(48×8,x)批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用eq \f(48×8,x)×40. ∴y＝240x＋eq \f(48×8,x)×40(0<x≤48，x∈Z)． ∴y＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x)))≥240×2eq \r(x×\f(64,x))＝3840， 当且仅当x＝eq \f(64,x)，即x＝8时取等号． 故每人最少应交eq \f(3840,48)＝80(元)． 11．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b. 解析：因为x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(bx,y)＋eq \f(ay,x)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2， 当且仅当eq \f(bx,y)＝eq \f(ay,x)时取等号． 所以(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18， 即a＋b＋2eq \r(ab)＝18，① 又a＋b＝10，② 由①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝8))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝2.)) 12．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低eq \f(3x,4)元，在售价不变的情况下，年销售量将减少eq \f(2,x)万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为y(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本) (1)求y的表达式； (2)求y的最大值，以及y取得最大值时x的值． 解：(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000－\f(3x,4)))元，每件产品的利润为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200＋\f(3x,4)))元，年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x)))万件， 故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200＋\f(3x,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x)))－x＝198.5－eq \f(400,x)－eq \f(x,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2≤x≤\f(4000,3))). (2)y＝198.5－eq \f(400,x)－eq \f(x,4)≤198.5－2×eq \r(\f(400,x)×\f(x,4))＝178.5， 当且仅当eq \f(400,x)＝eq \f(x,4)，即x＝40时取到等号，即y的最大值是178.5，当y取得最大值时x的值为40. $$