1.2.1 第2课时 充分条件与判定定理-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　预备知识 §２　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第2课时　充分条件与判定定理 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 教学重点：1.掌握充分条件的概念.2.理解充分条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性． 教学难点：判断条件与结论之间的充分性． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　充分条件 1．一般地，当命题“若p，则q”是_______时，称p是q的__________． 2．对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的_______条件，也称p是q的______条件． 真命题 充分条件 必要 充分 核心概念掌握 5 对充分条件的理解 (1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (2)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件． 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．(　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (3)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．(　　) (4)“x>3”是“x>5”的充分条件．(　　) √ × 答案 √ × 核心概念掌握 7 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件． (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________条件． (3)若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的______条件． 充分 答案 充分 充分 核心概念掌握 8 核心素养形成 在以下各题中，判断哪些能p⇒q，哪些能q⇒p，并用充分条件、必要条件的语言表述． (1)p：x是整数，q：x2是整数； (2)p：x2－1＝0，q：x＝1； (3)p：y＝x，q：在R上y随x的增大而增大． 题型一　充分条件的概念及判断 解　(1)当x是整数时，x2一定是整数，即p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由x＝1，得x2－1＝0，即q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． (3)由正比例函数的性质可知，p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． 解 核心素养形成 10 【感悟提升】　充分条件的两种判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 核心素养形成 11 解 【跟踪训练】 1．设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件． 解：由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件． 核心素养形成 12 题型二　利用充分条件求参数的取值范围 解 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 【感悟提升】　利用充分条件求参数的思路 根据充分条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 核心素养形成 15 解 【跟踪训练】 2．已知p：x2＋x－6＝0，q：mx－2＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值． 核心素养形成 16 随堂水平达标 1．设x∈R，则x>2的一个充分条件是(　　) A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3 解析：因为x>3⇒x>2，所以x>3是x>2的一个充分条件． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 18 2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 解析：因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)·(a－2)＝0不能推出a＝2，故“a＝2”是“(a－1)·(a－2)＝0”的充分条件，所以选A. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 19 3．下列命题中，是真命题的是(　　) A．“x2>0”是“x>0”的充分条件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件 C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件 D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件 解析：对于A，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故“x2>0”是“x>0”的必要条件；对于B，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；对于C，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件；对于D，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件．故选B. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 20 4．“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的________条件． 解析：由ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分条件． 答案 解析 充分 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 5．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围． 解：记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}． 由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}． 所以m≤1.故m的取值范围为m≤1. 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 课后课时精练 一、选择题 1．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 解析：因为“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 2．设集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”；反之，由“m∈B”也得不到“m∈A”．故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 3．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．若x<1，则x<2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab>0，则a>0，b>0 解析：由x<1可以推出x<2，所以A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例可以推出这两个三角形相似，所以B符合题意；由|x|≠1可以推出x≠1，所以C符合题意；由ab>0不一定能推出a>0，b>0，比如a＝b＝－1，所以D不符合题意．故选ABC. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 4．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a≤0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 27 5．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 解析： A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.所以实数b的取值范围是{b|－2<b<2}．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 二、填空题 6．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 解析：当x＝5时，x2－4x－5＝0，而当x2－4x－5＝0时，x＝5或x＝－1，故“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分条件． 答案 解析 充分 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 7．记集合A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|x>a}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意可得A⊆B.故a≤－3. 答案 解析 a≤－3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 8．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“|x|>|y|”的________条件(填“充分”或“必要”)． 解析：x>y>0⇒|x|>|y|，而由|x|>|y|推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足|x|>|y|，但－5<－4<0，不满足x>y>0.故“x>y>0”是“|x|>|y|”的充分条件． 答案 解析 充分 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 解：(1)∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0， 而a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要条件． (2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等， ∴p是q的必要条件． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 10．已知p：x<3m－1或x>－m，q：x<2或x≥4. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 11．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空： (ⅰ)使a，b都为0的必要条件是________； (ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________． (2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． 答案：见解析 答案 ①② ③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 　　　　　　　　　　　　　 R (3－m,2) 　已知p：关于x的不等式<x<eq \f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))))，B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，即eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)， 解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)<eq \f(3＋m,2)，解得m>0， 要使A⊆B，应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，)) 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]． 解：解x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3， 令A＝{2，－3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)))， ∵q是p的充分条件，∴B⊆A. 当eq \f(2,m)＝2时，m＝1；当eq \f(2,m)＝－3时，m＝－eq \f(2,3). ∴m＝1或m＝－eq \f(2,3). 解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0，故选C. 三、解答题 9．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)； (4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根． (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝eq \r(x－1)，x－1＝eq \r(x－1)⇒x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． (4)若方程x2－x－m＝0无实根， 则Δ＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4). ∵m<－1⇒m<－eq \f(1,4)，而m<－eq \f(1,4)推不出m<－1， ∴p是q的充分条件． 解：(1)设A＝{x|x<3m－1或x>－m}， B＝{x|x<2或x≥4}， 因为p是q的充分条件，所以A⊆B， 当3m－1>－m，即m>eq \f(1,4)时，A＝R，不满足题意； 当3m－1≤－m，即m≤eq \f(1,4)时， 有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m－1≤2，,－m≥4，))解得m≤－4. 综上，实数m的取值范围为(－∞，－4]． (2)因为p是q的必要条件，所以B⊆A， 当3m－1>－m，即m>eq \f(1,4)时，A＝R，B⊆A成立； 当3m－1≤－m， 即m≤eq \f(1,4)时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m－1≥2，,－m<4，))无解． 综上，实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)). 解析：(1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③. (2)记A＝{x|x>2，或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－eq \f(p,4)，记B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(p,4))))).由题意，得B⊆A，则－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4，此时x<－eq \f(p,4)≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．所以p的取值范围是[4，＋∞)． 12．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))))))，B＝{x|x≥m＋1，或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围． 解：先化简集合A， 由y＝x2－eq \f(3,2)x＋1，配方，得 y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(7,16). 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))， 所以y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，2)). 所以A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))). 因为B＝{x|x≥m＋1，或x≤m－1}， 命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B. 所以m＋1≤eq \f(7,16)或m－1≥2， 解得m≤－eq \f(9,16)或m≥3. 故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,16)))∪[3，＋∞)． $$