1.1.2 集合的基本关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　预备知识 §1　集合 1.2　集合的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个集合相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系． 教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系． 教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号(⊆，⊇，，，∈，∉)的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都_____集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的_____，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 显然任何一个集合都是它本身的子集． 规定： _____是任何集合的子集． 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．因此，A⊆B可用Venn图表示为 或 属于 子集 空集 核心概念掌握 5 知识点二　集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B ，记作A＝B，即若A⊆B，且B⊆A，则 ． 知识点三　真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的 ，记作 (或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．可用Venn图表示为 相等 A＝B 真子集 AB 核心概念掌握 6 1．对子集、真子集有关概念的理解 (1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)很明显，空集是任何非空集合的真子集． 2．子集的两个性质 (1)自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 核心概念掌握 7 3．集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉． 集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 核心概念掌握 8 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A⊆B，则B中至少有一个元素不属于A.(　　) (2)若A⊆B，则要么AB，要么A＝B.(　　) (3)空集没有真子集．(　　) (4)若A⊆B，则B不会是空集．(　　) (5)若A＝B，则必有A⊆B.(　　) √ × 答案 √ × √ 核心概念掌握 9 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)   ＝ 答案  DBA，DCA 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　判断集合之间的关系 解　(1)集合A中的元素1，2，4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB. (2)等边三角形都是等腰三角形且等边三角形的内角都为60°，即A⊆B；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B. (3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA. 解法二：由列举法知A＝{1，3，5，7，…}，B＝{3，5，7，9，…}，所以BA. 判断下列各组集合的关系： (1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的正约数}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}； (3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解 核心素养形成 12 【感悟提升】　 集合间的关系是由两集合中元素的关系确定的，因此，要判定集合间的关系，必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的关系给出结果；当AB或者A＝B时，一般不宜表示为A⊆B. 核心素养形成 13 【跟踪训练】 1．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}； (3)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}． 核心素养形成 14 解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA. (2)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，∴A＝B. (3)对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5. ∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈B. 由子集的定义知，A⊆B. 设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，解得a＝2∈N＋. ∵1＋a2＝1在a∈N＋时无解，∴1∉A. 综上所述，AB. 解 核心素养形成 15 解　因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是0，1，2，3. 有0个元素的子集：∅；有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}； 有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 有3个元素的子集：{a，b，c}． 因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 题型二　写出集合的子集 写出集合{a，b，c}的所有子集． 解 核心素养形成 16 【感悟提升】　 本例采用分类穷举的办法，分类的标准是子集中元素的个数，这样做，所写的子集不重不漏，是一种思路清晰、很有条理的解题方法． 核心素养形成 17 解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}， 由0个元素构成的子集为∅； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1，4}． 因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 解 【跟踪训练】 2．(1)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集． 核心素养形成 18 解：由{1，2}M可知，M中必定有1，2两个元素，且至少还有异于1，2的“其他”一个元素；由M⊆{1，2，3，4，5}可知，上面所说的“其他”元素应当来自于3，4，5这三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况)．故满足条件的集合M有7个(也就是集合{3，4，5}的非空子集的个数)． 解 (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有多少个？ 核心素养形成 19 题型三　含参问题的探究 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围． 解 核心素养形成 20 核心素养形成 21 解 【跟踪训练】 3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． 核心素养形成 22 随堂水平达标 1．给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅. 其中正确的说法有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①空集是它本身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 2．集合P＝{0，1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．QP D．不确定 解析：由x2＋y2＝1，x∈N，得y＝±1，0，即Q＝{－1，0，1}，所以PQ.故选B. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 3．(多选)下面给出的几个关系中正确的是(　　) A．{∅}⊆{a，b} B．{(a，b)}⊆{a，b} C．{b，a}⊆{a，b} D．∅⊆{0} 解析：{∅}中有元素∅，{a，b}中有元素a，b，{∅}不包含于{a，b}，A错误；{(a，b)}中有元素(a，b)，{a，b}中有元素a，b，{(a，b)}不包含于{a，b}，B错误；∵{b，a}＝{a，b}，∴{b，a}⊆{a，b}，C正确；∅是任意集合的子集，D正确．故选CD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有___个． 解析：依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)． 答案 解析 7 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的值． 解：(1)若AB，由图可知a＞2. (2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 课后课时精练 一、选择题 1．下列关系式不正确的是(　　) A．{1}⊆{1，2} B．{0}⊆{1，2} C．{2}⊆{1，2} D．1∈{1，2} 解析：∵0∉{1，2}，∴{0}⊆{1，2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；根据元素与集合间的关系可知D正确．故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 2．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0，2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0，2}，共4个． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 3．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 二、填空题 6．给出四个对象：0，{0}，∅，{∅}，用适当的关系符号表示它们之间的一些关系(写出你认为正确的所有关系)：______________________________________ __________． 0∈{0}，0∉∅，0∉{∅}，∅{0}，∅{∅}，∅∈{∅} 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 解析：从几何角度看，集合A是数轴上一条定线段(不含左端点)，集合B是方向向右的动射线，因为AB，所以射线应当“盖住”线段，如图所示． 从图上看，a＝－1也符合题意，所以a≤－1. 7．设集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是____________． 答案 解析 (－∞，－1] 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 8．满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M共有___个． 解析：因为{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1，1}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M共有3个． 答案 解析 3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 三、解答题 9．设集合A＝{y|y＝x2＋2x＋2，x∈R}，B＝{s|s＝t2＋4t＋5，t∈R}，试判断集合A与B的关系． 解：因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1(x∈R)和t2＋4t＋5＝(t＋2)2＋1(t∈R)都表示大于或等于1的实数，所以集合A与B都表示所有大于或等于1的实数构成的集合，从而A＝B. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 10．已知集合A＝{x|2m≤x≤m＋2}，B＝[－3，5]，若A⊆B，求实数m的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，试用列举法表示集合B，并判断A与B的关系． 解：对于集合B，由“x⊆A”可知，B中的元素是集合A的子集． 所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}． 很明显，集合A是集合B的一个元素， 从而A∈B. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 解：易知A＝{－4，0}，因为B⊆A， 所以分B＝A和BA两种情况． ①当A＝B时，B＝{－4，0}，则有－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1. ②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1；若B≠∅，则B＝{－4}或{0}， Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件． 综上可知，实数a的值满足a＝1或a≤－1. 12．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 　　　　　　　　　　　　　 R (1)用适当的符号(⊆，⊇，，，＝)填空： N＋_____N；R_____Q；{x|x2＝1}____{－1，1}；{(x，y)|x＋y＝1}_____ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝0)))))). (2)给出下列集合：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它们的关系可以表示为__________________． 解　①当B≠∅时，如图所示，由已知，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，)) 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 【感悟提升】　本例的难点是解读集合B，事实上，集合B就是不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥m＋1，,x≤2m－1))的解集(只是写法不同)，易知当m＋1>2m－1，即m<2时，不等式组无解，即B＝∅；当m＝2时，B＝{3}；当m>2时，集合B即为区间[m＋1，2m－1](从几何角度讲，集合B是数轴上一条变端点、变长度的线段)． 解：∵B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2； ②当B≠∅时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2. 综上，实数m的取值范围为{m|m≥－1}． 解析：因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,a)))))，因此有－eq \f(1,a)∈A，所以a＝±1；当B＝∅，即a＝0时满足条件．综上可得，实数a的所有可能取值的集合为{－1，0，1}． 4．若集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则M，N，P的关系是(　　) A．M＝NP B．MN＝P C．MNP D．NPM 解析：M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6m＋1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3n－2,6)，n∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3q＋1,6)，q∈Z))))(∵n∈Z，∴q＝n－1∈Z)，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3p＋1,6)，p∈Z)))).∴MN＝P. 5．(多选)已知集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1，,x＋4y＝5))))))，则下列结论正确的是(　　) A．(1，1)∈A B．B⊆A C．(1，1)⊆B D．∅∈A 解析：由题意，知(1，1)∈A，∅⊆A，又B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1，,x＋4y＝5))))))＝{(1，1)}，故B⊆A，(1，1)∈B.故选AB. 解：①当A＝∅时，满足题意， 此时，2m>m＋2，即m>2； ②当A≠∅时，由A⊆B得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≤m＋2，,2m≥－3，,m＋2≤5，))解得－eq \f(3,2)≤m≤2. 综上可得，实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)). $$