精品解析：河南省叶县高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

2024-2025学年叶县高中高一9月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中所有元素的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明. 【详解】A选项，若，则，A选项错误； B选项，， 由于，故，，故， 即，B选项正确； C选项，，由于，故， 即，C选项错误； D选项，根据基本不等式，， 当且，即时取得等号，此时，D选项错误. 故选：B 3. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 4. 对于集合，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且， 且， 所以，选项 ABD错误，选项C正确. 故选：C． 5. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意问题等价于恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围． 【详解】关于x的不等式的解集为， 即恒成立． 当时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件． 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 故选：C． 6. 某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ） A 2支红玫瑰贵 B. 3支黄玫瑰贵 C. 相同 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可. 【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元， 由题意可得：（*）， 令， 则，解得：， ， 由（*）得,, , ， 因此． 所以2枝红玫瑰的价格高． 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将表示为的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加. 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可. 【详解】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题p：∀x∈R，2x2﹣mx+3≥0的否定为___________. 【答案】∃x0∈R，2x02﹣mx0+3<0 【解析】 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可. 【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则命题p：∀x∈R，2x2﹣mx+3≥0的否定为：∃x0∈R，2x02﹣mx0+3<0. 故答案为：∃x0∈R，2x02﹣mx0+3<0. 13. 若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果. 【详解】因为，则，就称是伙伴关系集合，集合， 所以具有伙伴关系的集合有共7个. 故答案为： 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，解得或.对两个根进行分类讨论，即，，三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个正整数，即可得到答案； 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，不合题设. 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，由题意，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解； （2）先求得集合，结合，分类讨论求得实数的范围，进而求得时，实数的取值范围，得到答案. 【小问1详解】 由集合，， 因为，可得， 当时，即，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由集合，， 当时，即，解得，此时； 当时，要使得，则满足或， 解得或， 综上可得，若时，实数的取值范围为， 所以，若时，可得实数的取值范围为. 16. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【小问1详解】 由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； 【小问2详解】 由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 17. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案. （2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 由，得， 即，即， 又，∴，即， ∵的充分不必要条件是， ∴是的真子集， 则，解得，则， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 方程为， ①若均大于，则满足， 解得，故，即的取值范围为. ②若，则， 则，即，即， 解得或，由，得或. 所以，即实数值是. 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （2）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】（1） （2）当促销费投入万元时，企业年利润最大. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入求得，得到，进而求得年生产（万件）时，年生产成本为，销售收入为，结合题意，即可求得利润关于促销费的函数关系式； （2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，当时，，代入，解得， 即， 当年生产（万件）时，年生产成本为， 当销售（万件）时，年销售收入为， 所以利润（万元）表示为促销费（万元）的函数关系式为： ， 即. 【小问2详解】 解：由（1）知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以当促销费投入万元时，企业年利润最大. 19. 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集. （1）当时，写出集合的衍生集； （2）若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据已知即可写出衍生集. （2）根据互异性判断元素个数最少的条件即可. （3）根据已知分类讨论即可得出矛盾. 【小问1详解】 由已知，，，故集合 【小问2详解】 设 ，其中 ，不妨设， 又因 ，集合共6个元素 由不等式的性质可知， 若时，则集合 5个元素 若时，则集合 6个元素 故集合的元素个数的最小值为5. 【小问3详解】 由（2）可知集合，可知集合最多有10个元素 由已知共七个元素，故有三个元素不满足互异性 不妨设，故，， 又因为，有且仅有，即 当时：因为，故或 若即，与矛盾（舍去） 若即，令，，则， . （舍去） 当时：则，则，与已知矛盾（舍去） 当 时：不符合题意，故舍去. 故当集合时不存在满足条件的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年叶县高中高一9月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中所有元素的和为（ ） A. B. C. D. 2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 对于集合，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰价格比较的结果是（ ） A 2支红玫瑰贵 B. 3支黄玫瑰贵 C. 相同 D. 不能确定 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 以max M表示数集M中最大数．若，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题p：∀x∈R，2x2﹣mx+3≥0的否定为___________. 13. 若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 17. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （2）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 19. 已知含有限个元素集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集. （1）当时，写出集合的衍生集； （2）若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$