第23章 专题(八) 比例式的证明方法（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(华东师大版)

数学 九年级上册 华师版 练闯考 专题(八)　比例式的证明方法 方法一　平行线法 【方法指导】所截的四条线段对应成比例，根据平行线分线段成比例定理，常常添加平行线 1．如图，▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证： eq \f(DC,AE) ＝ eq \f(CF,AD) . 证明：∵四边形ABCD是▱ABCD，∴AE∥DC，∠A＝∠C，∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴ eq \f(DC,AE) ＝ eq \f(CF,AD) 2．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝ BF·EC. 证明：过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB， ∴△CMF∽△BDF， eq \f(BF,CF) ＝ eq \f(BD,CM) .又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME，∴ eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(AD,CM) .∵D为AB的中点，∴ eq \f(BD,CM) ＝ eq \f(AD,CM) ，∴ eq \f(BF,CF) ＝ eq \f(AE,EC) ，即AE·CF＝BF·EC 方法二　三点定形法 【方法指导】在证明四条线段成比例 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) 时，根据线段a，b的端点字母，c，d的端点字母确定一对相似三角形(竖看)来解决；也可由线段a，c的端点字母，b，d的端点字母确定一对相似三角形(横看)来解决 3．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证： eq \f(BF,BE) ＝ eq \f(AB,BC) . 证明：∵∠B的平分线BE交AC于E，∴∠ABE＝∠EBC，∵∠BDF＝∠BAE，∴△BDF∽△BAE，∴ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(BF,BE) ，∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△ACD， eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(BD,AB) ，∴ eq \f(BF,BE) ＝ eq \f(AB,BC) 4．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，求证：AC·AM＝MN·AB. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.又∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°， ∴△ABM∽△ADN，∴ eq \f(AM,AN) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AB,BC) ，∴ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(AN,BC) .又∵∠BAM＋∠B＝90°，∠MAN＋∠BAM＝90°，∴∠B＝∠MAN，∴△AMN∽△BAC，∴ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(MN,AC) ，即AC·AM＝MN·AB. 方法三　等线代换法 【方法指导】当所证的等积式或比例或运用“平行线法”“三点定形法”无法解决问题时，可借用桥——等线，将其中线段替换，再证明 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D，求证：AC·BE＝CE·AD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC.又∵∠ECA＝∠D，∴∠B＝∠ECA.又∵∠E＝∠E， ∴△ACE∽△CBE，∴ eq \f(AC,CB) ＝ eq \f(CE,BE) .又∵AD＝BC，∴ eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(CE,BE) ，即AC·BE＝CE·AD 6．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝∠B＝∠C＝60°， 求证：AB·DE＝BE·AE. 证明：∵∠AED＝60°，∴∠AEB＋∠DEC＝120°，∵∠B＝60°，∴∠BAE＋∠AEB＝120°，∴∠BAE＝∠DEC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABE∽△ECD，∴ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(AE,ED) ，∴AB·ED＝EC·EA，∵E是BC的中点，∴EB＝EC，∴AB·DE＝BE·AE 方法四　等比(积)过渡法 【方法指导】当证 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) 时，可证 eq \f(a,b) ＝ eq \f(e,f) ， eq \f(e,f) ＝ eq \f(c,d) ，有时也用等积过渡 7．已知：如图，AC是▱ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，求证： eq \f(BF,FG) ＝ eq \f(FE,BF) . 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABF∽△CEF，△AGF∽△CBF，∴BF∶EF＝AF∶FC，AF∶FC＝FG∶BF，∴BF∶EF＝FG∶BF，即 eq \f(BF,FG) ＝ eq \f(FE,BF) 8．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证：CE2＝DE·PE. 证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠BED＝90°，∠P＝∠ABG，∴△AEP∽△DEB，∴ eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(PE,BE) ，即AE·BE＝PE·DE.又CE⊥AB，AC⊥BC，易得△AEC∽△CEB，∴ eq \f(AE,CE) ＝ eq \f(CE,BE) ，即CE2＝AE·BE，∴CE2＝DE·PE $$