22.2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(华东师大版)

22．2　一元二次方程的解法 *22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系 数学 九年级上册 华师版 练闯考 C D －3 A A B A 3＜m≤5 x2－10x＋9＝0 知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 1．(盐城中考)设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( ) A．－2 B．－3 C．2 D．3 2．(宜宾中考)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为( ) A．－2 B．1 C．2 D．0 3．若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝__________． 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2＋2x＋1＝0; (2)5x－5＝6x2－4. 解：(1)x1＋x2＝－2，x1·x2＝1 (2)x1＋x2＝ eq \f(5,6) ，x1·x2＝ eq \f(1,6) 5．已知x1，x2是方程x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)x12＋x22; (2)x1(1＋x2)＋x2； (3)(x1－x2)2; (4) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) . 解：x1＋x2＝－5，x1x2＝1， (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－5)2－2＝23 (2)x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1x2＋x2＝－5＋1＝－4 (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－5)2－4＝21 (4) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝ eq \f(－5,1) ＝－5 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 6．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( ) A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3 7．(新乡月考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝4，那么b的值为( ) A．5 B．－5 C．4 D．－4 8．(易错)若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　( ) A．2 B．0 C．1 D．2或0 9．(教材P35练习T3变式)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个根为0，则另一个根为____________. eq \f(3,4) 10．关于x的一元二次方程x2－(m－2)x－m＝0. (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为x1，x2且满足 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(1,2) ，求m的值． 解：(1)证明：关于x的一元二次方程x2－(m－2)x－m＝0，∵Δ＝(m－2)2－4×(－m)＝m2－4m＋4＋4m＝m2＋4>0，则方程总有两个不相等的实数根 (2)由根与系数的关系可得：x1＋x2＝m－2，x1x2＝－m，∵ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝ eq \f(1,2) ，即 eq \f(m－2,－m) ＝ eq \f(1,2) .解得m＝ eq \f(4,3) 11．(郑州外国语学校月考)若m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个实数根，则m2＋4m＋n的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．12 12．(烟台中考)关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2－x1－x2＞2，则m的取值范围是__________________． 13．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为____________________. 14．(1)若关于x的方程 eq \f(1,4) x2＋(m＋2)x＋m2＝0有两个相等实数根，求m的值，并求出方程的两个根． (2)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？ 解：(1)∵方程 eq \f(1,4) x2＋(m＋2)x＋m2＝0有两个相等实数根，∴Δ＝(m＋2)2－4× eq \f(1,4) m2＝0，解得m＝－1，∴原方程为 eq \f(1,4) x2＋x＋1＝0，解得x1＝x2＝－2 (2)∵一元二次方程x2＋2x＋k－2＝0有一个根为－3，∴9－6＋k－2＝0，解得k＝－1，∴原方程为x2＋2x－3＝0，令另一个根为n，则－3＋n＝－2，解得n＝1，故k的值为－1，另一根为1 15．(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且满足α＋2β＝5，求m的值． 解：(1)证明：∵a＝1，b＝－2，c＝－3m2，∴Δ＝(－2)2－4×1·(－3m2)＝4＋12m2>0， ∴方程总有两个不相等的实数根 (2)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋β＝2，,α＋2β＝5，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＝－1，,β＝3，))) ∵αβ＝－3m2，∴－3m2＝－3，∴m＝±1，∴m的值为±1 16．阅读材料，解决问题： 材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ eq \f(b,a) ，x1x2＝ eq \f(c,a) . 材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，求 eq \f(m,n) ＋ eq \f(n,m) 的值． 解：由题知m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m＋n＝1，mn＝－1.∴ eq \f(n,m) ＋ eq \f(m,n) ＝ eq \f(m2＋n2,mn) ＝ eq \f(（m＋n）2－2mn,mn) ＝ eq \f(1＋2,－1) ＝－3. 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__4__，x1x2＝__－3__； (2)已知实数m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，求m2n＋mn2的值； (3)已知实数p，q满足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，求p2＋4q2的值． 解：(1)∵一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为x1，x2，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－3 (2)∵m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，∴m，n是方程2x2－2x－1＝0的两不相等的实数根，∴m＋n＝1，mn＝－ eq \f(1,2) .∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ eq \f(1,2) ×1＝－ eq \f(1,2) (3)设t＝2q，代入2q2＝3q＋1化简为t2＝3t＋2，则p与t(即2q)为方程x2－3x－2＝0的两实数根，∴p＋2q＝3，p·2q＝－2，∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13 $$