22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二次方程根的判别式（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(华东师大版)

22．2　一元二次方程的解法 22．2.4　一元二次方程根的判别式 数学 九年级上册 华师版 练闯考 2x2－3x－1＝0 2 －3 －1 17 0 3 x1＝1，x2＝3 A 4m－4 ＞1 ＝1 ＜1 A B A (x＋1)2＋2(x＋1)－5＝0 知识点1：一元二次方程的判别式 1．将一元二次方程2x2－3x＝1化为一般形式为____________________，其二次项系数a＝________，一次项系数b＝________，常数项c＝________，该一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac＝________． 【方法点拨】一元二次方程必须化为一般形式，再确定a，b，c，并计算根的判别式． (变式)方程x(x＋10)＝－25，则b2－4ac＝________． 2．若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝________，方程的根为___________________． 知识点2：一元二次方程根的情况 3．(滨州中考)一元二次方程2x2－5x＋6＝0的根的情况为( ) A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 4．(教材P33练习T1变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)9x2＋6x＋1＝0； (2)16x2＋8x＝－3； (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根 解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128＜0.∴此方程没有实数根 解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根 知识点3：由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值 5．关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝____________，若方程有两个不相等的实数根，则m________； 若方程有两个相等的实数根，则m________； 若方程没有实数根，则m________． 6．(桂林中考)已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实根，则k的值为( ) A．±2 eq \r(6) B．± eq \r(6) C．2或3 D． eq \r(2) 或 eq \r(3) 7．若关于x的方程x2－6x＋9k＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k<1 B．k≤1 C．k<1且k≠0 D．k≤1且k≠0 8．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是______________________． a≥－ eq \f(1,8) 且a≠1 9．已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m－3＝0. (1)若m＝1，求此方程的解； (2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 解：(1)当m＝1时，方程为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1 (2)由题意得，Δ＝12－4(m－3)＝－4m＋13>0，∴m< eq \f(13,4) .故m的取值范围为m< eq \f(13,4) 10．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 11．(南通中考)若关于x的一元二次方程 eq \f(1,2) x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为__________． 12．若一次函数y＝3x－2与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是______________________. eq \f(7,2) k＞－ eq \f(1,3) 且k≠0 13．若关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x＋ eq \f(1,4) m＝0. (1)当m取何值时方程有一个实数根？ (2)当m取何值时方程有两个实数根？ (3)请你在(2)的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解． 解：(1)当m－1＝0，即m＝1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x＝－ eq \f(1,4) (2)当m－1≠0，即m≠1时，该方程为一元二次方程．当Δ＝[－(m－2)]2－4(m－1)× eq \f(1,4) m≥0时，方程有两个实数根．解得：m≤ eq \f(4,3) ，且m≠1，∴当m≤ eq \f(4,3) ，且m≠1时方程有两个实数根 (3)答案不唯一，当m＝0时，方程可化为－x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2 14．我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，方程2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0. (1)直接写出方程x2＋2x－5＝0的变形方程____________________________； (2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，直接写出a＋b＋c的值． 解：(2)用x＋1表示方程x2＋2x＋m＝0里的x，得(x＋1)2＋2(x＋1)＋m＝0，整理，得x2＋4x＋3＋m＝0.∵变形后的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝42－4(3＋m)＝4－4m＞0，∴m＜1 (3)a＋b＋c＝1.方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0，整理，得ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c＝0，即ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)＝0.由于方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，所以a＋b＋c＝1 15．已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4(k－ eq \f(1,2) )＝0. (1)求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 解：(1)Δ＝[－(2k＋1)2]－4×4(k－ eq \f(1,2) )＝4k2＋4k＋1－16k＋8＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2，∵(2k－3)2≥0，即Δ≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根　 (2)当b＝c时，Δ＝(2k－3)2＝0，解得k＝ eq \f(3,2) ，方程化为x2－4x＋4＝0，解得b＝c＝2，而2＋2＜5，故舍去；当a＝b＝5或a＝c＝5时，把x＝5代入方程得25－5(2k＋1)＋4(k－ eq \f(1,2) )＝0，解得k＝3，方程化为x2－7x＋10＝0，解得x1＝5，x2＝2，即a＝b＝5，c＝2或a＝c＝5，b＝2，所以△ABC的周长＝5＋5＋2＝12 $$