第二十二章 二次函数 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册单元测试(人教版)

第二十二章综合评价 时间：100分钟　　满分：120分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列函数中是二次函数的是( B ) A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3 2．抛物线y＝(x＋2)(x－4)的对称轴是( C ) A．x＝－1 B．y轴 C．x＝1 D．x＝2 3．若把抛物线y＝3x2－1向右平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为( D ) A．y＝3x2－3 B．y＝3x2＋1 C．y＝3(x＋2)2＋1 D．y＝3(x－2)2－1 4．若抛物线y＝(k－1)x2－x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是( C ) A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k＜且k≠1 5．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( D ) A．图象与y轴的交点坐标为(0，1) B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3 6．如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝a(x－1)(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( B ) 　　　　　 A　　　 　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　 D 7. 将抛物线y＝x2＋2x＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是( D ) A．(0，3)或(－2，3) B．(－3，0)或(1，0) C．(3，3)或(－1，3) D．(－3，3)或(1，3) 8．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图平面直角坐标系中，下列说法正确的是( A ) A.此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是2 m 9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －1 3 5 3 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0.其中正确的有( B ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x＝1.对于下列说法： ①ab<0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤当－1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是( A ) A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 　　　　　　 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．二次函数y＝(x＋1)2－5的图象的顶点坐标是__(－1，－5)__． 12．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线对应的函数解析式为__y＝－x2＋4x－3__. 13．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则使y1＞y2成立的x的取值范围是__x＜－2或x＞8__． 14．如图，矩形土地ABCD由篱笆围着，并由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝__150__ m时，矩形土地ABCD的面积最大． 15．某单向隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为y＝－x2＋3.25，一辆车高3 m，宽4 m，该车__不能__(填“能”或“不能”)通过该隧道． 16．如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为____. 三、解答题(共72分) 17．(6分)已知二次函数y＝－x2－2x＋3. (1)求它的顶点坐标和对称轴； (2)求它与x轴的交点； (3)画出这个二次函数图象的草图． 解：(1)顶点为(－1，4)，对称轴为x＝－1　(2)(－3，0)，(1，0)　(3)图略 18.(8分)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． 解：(1)y＝－x2＋4x－6　(2)∵该抛物线对称轴为x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝·AC·OB＝×2×6＝6 19．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2). (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 解：(1)易知S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)　(2)由(1)知：y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－)2＋，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20 cm2 20．(10分)已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为x＝. ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？ 解：(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点　(2)①∵抛物线的对称轴为x＝－＝，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6　②设该抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6＋k，∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，解得k＝，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点 21．(12分)某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： 每个商品的售价x(元) … 30 40 50 … 每天的销售量y(个) … 100 80 60 … (1)求y与x之间的函数解析式； (2)设商场每天获得的总利润为w(元)，求w与x之间的函数解析式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，由题意，得解得即y与x之间的函数解析式是y＝－2x＋160　(2)由题意，得w＝(x－20)(－2x＋160)＝－2x2＋200x－3 200，即w与x之间的函数解析式是w＝－2x2＋200x－3 200　(3)∵w＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800，易得20≤x≤60，∵a＝－2＜0，函数图象的对称轴为x＝50，∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1 800.即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1 800元 22．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0). (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围． 解：(1) 二次函数的解析式为y＝x2－x－2　(2)∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－＝，∴在－2≤x≤1范围内，当x＝－2时，函数有最大值为y＝4＋2－2＝4；当x＝时，函数有最小值为y＝－－2＝－，∴y的最大值与最小值的差为4－(－)＝ (3)令x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，整理，得x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4－m，∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，解得m＜1，即m的取值范围是m＜1 23．(16分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3). (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC. ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 解：(1)二次函数的解析式为y＝x2－2x－3　(2)①设直线BC的解析式为y＝kx＋m，将点B(3，0)，C(0，－3)的坐标代入y＝kx＋m，得解得∴直线BC的解析式为y＝x－3，设点M(n，n－3)，点P(n，n2－2n－3)，∵点P在第四象限，∴PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－)2＋，∴当n＝时，PM最大＝　②△PCM是以PM为一腰的等腰三角形，有两种情况：(i)当PM＝PC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝2，∴n2－2n－3＝－3，∴点P(2，－3)；(ii)当PM＝MC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝3＋(不符合题意，舍)，n4＝3－，∴n2－2n－3＝2－4，∴点P(3－，2－4).综上所述，点P的坐标为(2，－3)或(3－，2－4) 学科网（北京）股份有限公司 $$