第24章 解直角三角形 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册单元测试(华东师大版)

第24章综合评价 (时间：100分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，若OP与x轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是(A) A．tan α＝ B．tan α＝ C．sin α＝ D．cos α＝ 2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(A) A．m sin 35° B．m cos 35° C． D． 　　　　 3．计算6tan45°－2cos 60°的结果是(D) A．4 B．4 C．5 D．5 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为(D) A． B． C． D． 5．(贵港中考)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC 的顶点均是格点，则∠BAC的余弦值是(C) A． B． C． D． 6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长是(C) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 7．如果∠A，∠B均为锐角，且＋(tan B－3)2＝0，那么△ABC是(B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC＝10 m，则坡面AB的长度是(C) A．15 m B．20 m C．20 m D．10 m 　　 9．如图，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan α的值为(D) A． B． C． D． 10．如图，从点A处观测一山坡上的电线杆PQ，测得电线杆顶端P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得电线杆顶端P和底端Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度为(A) A．6＋2 B．6＋ C．10－ D．8＋ 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．计算：tan 45°－(－1)0＝____． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝30°，AD是△ABC的高，AE平分∠BAD，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是__4__． 　　　 13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6 cm，sin A＝，则菱形ABCD的面积是__60__cm2. 14．如图，图①是一盏可调节台灯，图②为示意图，固定底座AO⊥OE于点O，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，灯体CD始终保持垂直BC，MN为台灯照射在桌面的区域，旋转调节杆使BC∥OE，已知此时DM＝DN，tan ∠B＝，AO＝CD＝1 dm，AB＝5 dm，BC＝7 dm，点M恰好为ON的中点，则cos ∠DME的值为 ____． 15．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为__2＋或2－__． 16．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(≈1.4) 三、解答题(共72分) 17．(8分)计算： (1)(－)0＋()－1·－|tan 45°－|； (2)sin 45°＋cos230°－＋2sin 60°. 解：2＋　　　　解：1＋ 18．(8分)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值． 解：sin C＝ 19．(8分)数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，如图，经测量CD＝2 m，∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10 m，请你根据以上数据计算GH的长．(结果保留根号) 解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan 30°＝，tan 45°＝，∴AE＝，BE＝，∵AE－BE＝AB，∴－＝10，－＝10，解得x＝4＋2，∴DE＝(4＋2)m，∴GH＝CE＝CD＋DE＝2＋(4＋2)＝(4＋4)m.答：GH的长为(4＋4)m 20．(12分)如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上) (1)求∠CAP的度数及CP的长度； (2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号) 解：(1)∵PC∥AB，∴∠APC＝∠PAB＝30°， ∴∠CAP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠CAP＝∠PCA，∴PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，则PF＝CE＝100，∴PA＝2PF＝200米，∴PC＝PA＝200米 (2)∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ.过Q作QH⊥PC于H，∴PH＝PC＝100，∴PQ＝＝米． 答：P，Q两点之间的距离是米 21．(10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．(精确到0.1米，参考值：≈1.41，≈1.73) 解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6 m，HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m，设AM＝x m，则CN＝x m，在Rt△AFM中，MF＝＝＝x，在Rt△CNH中，HN＝＝＝x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋x－24，即8＝x＋x－24，解得x≈11.7，∴AB＝11.7＋1.6＝13.3 m， 答：教学楼AB的高度AB长13.3 m 22．(12分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向． (1)求∠ABC的度数； (2)A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时)(参考数据：≈1.414，≈1.732) 解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA＋∠BAE＝180°，∴∠DBA＝108°，∠ABC＝108°－78°＝30°，∠C＝180°－30°－72°－33°＝45°　(2)过点A作AF⊥BC于点F，＝sin ∠ABC＝，∴AF＝AB＝12，在Rt△CFA中，＝sin C＝，∴CA＝AF，∴AC＝12，≈0.57(时)，所以A船经过0.57小时能到出事地点 23．(14分)(张家界中考)阅读下列材料： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝. 证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D， 则在Rt△BCD中，CD＝a sin B， 在Rt△ACD中，CD＝b sin A， ∴a sin B＝b sin A，∴＝， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9) 解：(1)证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD＝c sin B，在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴＝ (2)过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×＝40(m)，又∵＝，即≈，∴BC≈90 m，∴S△ABC＝×90×40＝1800(m2) 学科网（北京）股份有限公司 $$