第22章 一元二次方程 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册单元测试(华东师大版)

第22章综合评价 (时间：100分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程：①4x2＝3x；②x(mx＋7)＝3；③x2＝0；④6x·(x＋5)＝6x2；⑤x＋＝1.其中一元二次方程有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x－a2＋1＝0有一个根为0，则a的值等于(C) A．－1 B．0 C．1 D．1或0 3．关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为(C) A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 4．下列配方有错误的是(C) A．x2－3x＋2＝0化为(x－)2＝ B．x2＋4x＋3＝0化为(x＋2)2＝1 C．2x2－3x＋1＝0化为(x－)2＝ D．3y2－6y－2＝0化为(y－1)2＝ 5．方程(－1)x2＝(1－)x较简单的解法是(A) A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．直接开平方法 6．关于一元二次方程x2－2x－1＝0根的情况，下列说法正确的是(C) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 7．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＋＝0成立？正确的结论是(A) A．m＝0时成立 B．m＝2时成立 C．m＝0或2时成立 D．不存在 8．某企业2021年初获利润300万元，到2023年初利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是(B) A．300(1＋x)＝507 B．300(1＋x)2＝507 C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507 D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507 9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为(B) A．x(x＋1)＝28 B．x(x－1)＝28 C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28 10．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为(A) A．4＋2 B．12＋6 C．2＋2 D．2＋或12＋6 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．若将方程x2＋6x＝7化成(x＋m)2＝16，则m＝__3__． 12．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 020的值为__2_023__． 13．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x－2)＝x－2的解为x＝0；③已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1x2＝－2．其中错误的答案序号是__①②③__． 14．若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝__4__． 15．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为__16__． 16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位与十位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数为__74__． 三、解答题(共72分) 17．(12分)用适当的方法解方程： (1)2(x－1)2－5＝0； 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－ (2)y2－4y－396＝0； 解：(2)y1＝22，y2＝－18 (3)2x2－4x－1＝0. 解：(3)x1＝，x2＝ 18．(6分)已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？ 解：把x＝3代入方程得9－3(m＋1)＋2m＝0，解得m＝6.则原方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4.因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11; 当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10.综上所述，该△ABC的周长为10或11. 19．(8分)(荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两实数根． (1)若x1＝1，求x2及m的值； (2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意得△＝(－6)2－4(2m－1)？0，解得m？5，x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1，∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1，∴x2＝5，m＝3 (2)存在．∵(x1－1)(x2－1)＝，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝，即2m－1－6＋1＝，整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，∵m≤5且m≠5，∴m＝2 20．(8分)(德州中考)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． (1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m，求新的矩形绿地的长与宽； (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地面积． 解：(1)设将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为(35＋x)m，宽为(15＋x)m，根据题意得：(35＋x)(15＋x)＝800，整理得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)，∴35＋x＝35＋5＝40，15＋x＝15＋5＝20.答：新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m (2)设将绿地的长、宽增加y m，则新的矩形绿地的长为(35＋y)m，宽为(15＋y)m，根据题意得(35＋y)∶(15＋y)＝5∶3，即3(35＋y)＝5(15＋y)，解得y＝15，∴(35＋y)(15＋y)＝(35＋15)×(15＋15)＝1 500.答：新的矩形绿地面积为1 500 m2 21．(8分)“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆200人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过300人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得128·(1＋x)2＝200，∴1＋x＝±，∴x＝0.25＝25%，或x＝－(舍)，答：进馆人次的月平均增长率为25% (2)∵进馆人次的月平均增长率为25%，∴第四个月的进馆人次为：128(1＋25%)3＝128×＝250＜300，答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 22．(8分)某汽车出租公司有50辆汽车对外出租，下面是该公司经理租车的方案： 公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3 000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加40元，那么每月将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)已知该公司某月的月利润是128 000元，该公司在本月租出多少辆车？ (2)该公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出10元给慈善机构，该公司捐款后剩余的月利润是107 700元，求该公司本月捐款多少元？ 解：(1)设该公司在本月租出x辆车．根据题意，得[3 000＋40(50－x)]x－200x＝128 000，解得x1＝40，x2＝80(不合题意，舍去).答：该公司在本月租出40辆车． (2)设该公司在本月租出y辆车，本月捐款10y元．根据题意，得[3 000＋40(50－y)]y－200y－10y＝107 700，解得y1＝30，y2＝(不合题意，舍去)，∴10y＝10×30＝300(元).答：该公司本月捐款300元 23．(10分)如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，设时间为x秒． (1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的？ 解：(1)设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB＝(6－x)厘米，BQ＝2x厘米，根据题意得×(6－x)×2x＝8，整理得：x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米 (2)设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB＝(6－y)厘米，BQ＝2y厘米，根据题意得×(6－y)×2y＝×6×12，整理得：y2－6y＋6＝0，解得y1＝3－，y2＝3＋.答：经过(3－)秒或(3＋)秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的 24．(12分)观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2－3x＋2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2－5x＋6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2－7x＋12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2－9x＋20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； …… (1)请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程 __x2－17x＋72＝0__． (2)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2－x＋1＝0是否是“邻根方程”． (3)已知关于x的方程x2－(m＋3)x＋3m＝0(m是常数)是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长． 解：(2)∵x2－x＋1＝0，∴x1＝，x2＝，∵x1－x2＝－＝1，∴x2－x＋1＝0是“邻根方程” (3)∵x2－(m＋3)x＋3m＝0，∴(x－3)(x－m)＝0，∴x1＝3，x2＝m，∵关于x 的方程x2－(m＋3)x＋3m＝0(m是常数)是“邻根方程”，∴3－m＝1或m－3＝1，∴解得m＝2或4，又∵方程两根为直角三角形的两条边，当方程两根为2和3时：若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：＝；若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：＝；当方程两根为3和4时：若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：＝5；若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：＝；综上所述：此三角形的第三边长为或或5或 学科网（北京）股份有限公司 $$