第四章 7 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的周长比和面积比（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

7　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的周长比和面积比 数学 九年级上册 北师版 练闯考 A B D D B C 24 3 A 1∶3 知识点一：相似三角形的周长比 1．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝4，A′D′＝2，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( ) A．2∶1 B．2∶3 C．4∶1 D．4∶9 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比等于( ) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 3．两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( ) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 eq \r(2) ，则△EFC的周长为( ) A．11 B．10 C．9 D．8 5．如图，AD是△ABC的中线，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，求△ACD的周长． 解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(CD,AC) ， 即AC2＝CD·CB.又∵AD是△ABC的中线，∴可设BD＝CD＝x, ∴AC2＝2x2，∴AC＝ eq \r(2) x，∴ eq \f(C△ACD,C△ABC) ＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(\r(2)x,2x) ＝ eq \f(\r(2),2) ，即 eq \f(C△ACD,10) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴C△ACD＝5 eq \r(2) . 知识点二：相似三角形的面积比 6．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，若AD＝8，A′D′＝12，则△ABC与△A′B′C′的面积比是( ) A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( ) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1 8．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，若△ADE的面积是6，则△ABC的面积是_____________. 9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为_____________． 10．在平行四边形ABCD中，F是CD上一点，延长AF，BC交于点E. (1)求证：△ADF∽△ECF； (2)若CD＝3DF，△ADF的面积为3，求△ECF的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE， ∴∠DAF＝∠E，∠D＝∠FCE，∴△ADF∽△ECF； (2)∵CD＝3DF，∴CF＝2DF，即 eq \f(DF,CD) ＝ eq \f(1,2) ， ∵△ADF∽△ECF，∴ eq \f(S△ADF,S△ECF) ＝( eq \f(DF,CF) )2＝ eq \f(1,4) ，∵S△ADF＝3，∴S△ECF＝12. 11．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于( ) A．2 B．3 C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,2) 12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E，F，G，N，M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为_________________． 13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，已知DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设 eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) . ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求四边形ADEF的面积． 解：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC； (2)①∵EF∥AB，∴ eq \f(BE,EC) ＝ eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) ，∵EC＝BC－BE＝12－BE， ∴ eq \f(BE,12－BE) ＝ eq \f(1,2) ，解得BE＝4； ②∵ eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(FC,AC) ＝ eq \f(2,3) ，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴ eq \f(S△EFC,S△ABC) ＝( eq \f(FC,AC) )2＝ eq \f(4,9) ，∴S△ABC＝ eq \f(9,4) S△EFC＝ eq \f(9,4) ×20＝45，∴△BDE∽△EFC，∴ eq \f(S△BDE,S△EFC) ＝( eq \f(DE,CF) )2＝ eq \f(1,4) ，∴S△BDE＝5，∴四边形ADEF的面积＝45－20－5＝20. 14．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EF∥AB交BC于F点． (1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； (2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长； (3)试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长． 解：(1)∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，∴S△ECF∶S△ACB＝1∶2, 又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，∴ eq \f(S△ECF,S△ACB) ＝( eq \f(CE,CA) )2＝ eq \f(1,2) ，∵AC＝4，∴CE＝2 eq \r(2) ； (2)设CE的长为x，∵△ECF∽△ACB，∴ eq \f(CE,CA) ＝ eq \f(CF,CB) ，∴CF＝ eq \f(3,4) x，由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得x＋EF＋ eq \f(3,4) x＝(4－x)＋5＋(3－ eq \f(3,4) x)＋EF，解得x＝ eq \f(24,7) ，∴CE的长为 eq \f(24,7) ； (3)存在；△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：①如图①，假设∠PEF＝90°，EP＝EF，由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°，∴Rt△ACB斜边AB上高CD＝ eq \f(12,5) ，设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得 eq \f(EF,AB) ＝ eq \f(CD－EP,CD) ，即 eq \f(x,5) ＝ eq \f(\f(12,5)－x,\f(12,5)) ，解得x＝ eq \f(60,37) ，即EF＝ eq \f(60,37) ；当∠EFP′＝90°，EF＝FP′时，同理可得EF＝ eq \f(60,37) ； ②如图②，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为 eq \f(1,2) EF，设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得 eq \f(EF,AB) ＝ eq \f(CD－\f(1,2)EF,CD) ，即 eq \f(x,5) ＝ eq \f(\f(12,5)－\f(1,2)x,\f(12,5)) ，解得x＝ eq \f(120,49) ，即EF＝ eq \f(120,49) .综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝ eq \f(60,37) 或 eq \f(120,49) . $$