第四章 7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应线段的比（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

7　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形对应线段的比 数学 九年级上册 北师版 练闯考 A C C 12 2∶1 B 知识点：相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 2．如图，在△ABC中，△ACD∽△ABC，∠BAC的平分线AO分别交CD，BC于点P，O.若 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,4) ，则 eq \f(AP,AO) 的值是( ) A． eq \f(3,7) B． eq \f(4,7) C． eq \f(3,4) D． eq \f(6,7) 3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( ) A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m 4．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为___________． 5．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为________________． eq \f(9,2) 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G，DE∶BC＝2∶3，那么AG∶GH等于_________________． 7．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4 cm，求CF的长． 解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(EG,CF) ，∴ eq \f(4,7) ＝ eq \f(4,CF) ，∴CF＝7 cm. 8．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是3 m，求AB与CD间的距离． 解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，设AB与CD间的距离为x m，则 eq \f(3－x,3) ＝ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(2,6) ，解得x＝2，∴AB与CD间的距离为2 m． 9．图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽为( ) A．3 cm　 B．3.75 cm C．4 cm　 D．4.25 cm 10．如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且BC2＝AC·DC.若AC＝6，BC＝4.2，DF＝2，则BE的长为_______________． eq \f(20,7) 11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝20 cm，AD＝15 cm，作矩形EFGH，使它的一边EF在边BC上，顶点G，H分别在边AC，AB上，线段AD与HG的交点为M，若矩形的长HG是宽HE的2倍． (1)求证： eq \f(AM,AD) ＝ eq \f(HG,BC) ； (2)求矩形EFGH的周长． 解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴相似比为 eq \f(HG,BC) ，∵AD是边BC上的高，HG∥BC，∴AM是边HG上的高，∴△AHG与△ABC的相似比为 eq \f(AM,AD) ，∴ eq \f(AM,AD) ＝ eq \f(HG,BC) ； (2)∵四边形EFGH是矩形，∴HE＝DM，∵ eq \f(AM,AD) ＝ eq \f(HG,BC) ，∴15HG＝20AM，∴ eq \f(3,4) HG＝AM，∵DM＝AD－AM＝15－ eq \f(3,4) HG，HG＝2HE＝2MD，∴HG＝2(15－ eq \f(3,4) HG)，∴HG＝12(cm)，∴矩形EFGH的周长＝2HG＋2HE＝3HG＝36(cm). 12．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线； (2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝ eq \r(2) ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线； (2)∵△BCD∽△BAC，∴ eq \f(BC,BA) ＝ eq \f(BD,BC) ， ∵AC＝AD＝2，BC＝ eq \r(2) ，设BD＝x，则AB＝2＋x， ∴ eq \f(\r(2),x＋2) ＝ eq \f(x,\r(2)) ，解得x＝－1± eq \r(3) ，∵x＞0， ∴BD＝x＝－1＋ eq \r(3) ， ∵△BCD∽△BAC，∴ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(BD,BC) ， ∵AC＝2，BC＝ eq \r(2) ，BD＝－1＋ eq \r(3) ，∴CD＝ eq \f(\r(3)－1,\r(2)) ×2＝ eq \r(6) － eq \r(2) . $$