阶段能力测试(一)(1.1～1.3（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

阶段能力测试(一)(1.1～1.3) 数学 九年级上册 北师版 练闯考 A A B D B ② 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．下列说法错误的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对边相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 2．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为( ) A．30° B．35° C．45° D．60° 3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( ) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定 4．将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则BC的长为( ) A．1 B．2 C． eq \r(2) D． eq \r(3) 5．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上移动，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( ) A．(3，1) B．(3， eq \f(4,3) ) C．(3， eq \f(5,3) ) D．(3，2) 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为____________ cm2. 2 eq \r(3) 7．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5 cm，BC＝8 cm，则EF的长为______________． eq \f(3,2) cm 8．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是__________．(填序号) 9．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长为_____________． eq \r(2) －1 三、解答题(共46分) 10．(14分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝ eq \r(5) ，BD＝2，求OE的长． 解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形； (2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC.∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC.∵BD＝2，∴OB＝ eq \f(1,2) BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝ eq \r(5) ，OB＝1，∴OA＝ eq \r(AB2－OB2) ＝2，∴OE＝OA＝2. 11．(16分)如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，点E从点A开始向点C匀速运动，点F从点C开始向点A匀速运动，点E和点F同时出发，且运动速度均为2 cm/s. (1)求证：当E，F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF是平行四边形； (2)若四边形BEDF为矩形，求动点E，F运动时间． 解：(1)连接BE，BF，DE，DF，根据题意可得：AE＝CF，∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC，当点F在OC上，点E在OA上，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形；当点F在OA上，点E在OC上，∴AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴当E，F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF是平行四边形； (2)当点E在OA上，点F在OC上，且EF＝BD＝12，∴四边形BEDF为矩形．设∵运动时间为t s，∴AE＝CF＝2t s，∴EF＝(20－4t) s，∴20－4t＝12，∴t＝2，当点F在OA上，点E在OC上，且EF＝BD＝12，四边形BEDF为矩形，∴EF＝(4t－20) s，∴4t－20＝12，∴t＝8，∴当t＝2或t＝8时，四边形BEDF为矩形，即动点E，F运动时间为2 s或8 s． 12．(16分)如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4 eq \r(2) ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG. (1)求证：四边形DEFG是正方形； (2)求AE2＋CE2的最小值． 解：(1)证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形； (2)如图，连接EG，∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAE＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ECG＝45°＋45°＝90°，∴AE2＋CE2＝EC2＋CG2＝EG2，∴AE2＋CE2的最小值就是EG2的最小值，∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4 eq \r(2) ，∴BC＝AB＝4 eq \r(2) ，∠B＝90°，∴AC＝8，设CE＝x，则AE＝CG＝8－x，∴EG2＝EC2＋CG2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴当x＝4时，EG2有最小值是32，即AE2＋CE2的最小值是32. $$