第一章 专题(一) 与正方形有关的常考模型（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

专题(一)　与正方形有关的常考模型 数学 九年级上册 北师版 练闯考 2 BM＋DN＝MN 模型一　正方形中的“十字架”模型 在正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图①中的线段AF与BE，图②中的线段AF与EG，图③中的线段HF与EG)满足：若两条线段垂直，则这两条线段相等． 1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，BE与AF有怎样的关系？试说明理由． 解：AF＝BE，且AF⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，在△BAE和△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DA，,∠BAE＝∠ADF＝90°，,AE＝DF，)) ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴AF＝BE，∠DAF＝∠ABE，∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF＋∠BEA＝90°，∴AF⊥BE. 【变式】如图，E是正方形ABCD的BC边上一点，过AE上点P作FG⊥AE，分别交AB，CD于点F，G，求证：FG＝AE. 解：过点F作FH⊥DC，交AE于点M，交CD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝FH，∠ABE＝∠FHG＝90°，∴∠BAE＋∠FMA＝90°，∵FG⊥AE，∴∠GFH＋∠FMA＝90°，∴∠BAE＝∠GFH，在△ABE和△FHG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠GFH，,AB＝FH，,∠ABC＝∠FHG，)) ∴△ABE≌△FHG(ASA)，∴AE＝FG. 模型二　正方形中过对角线交点的直角模型 (1)如图，△ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，连接OC，则△DOC≌△EOB，△ADO≌△CEO. (2)如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，直角∠EOF绕点O顺时针旋转，若OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形． 2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积． 解：(1)证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝∠OCF＝45°，OB＝OC，∵正方形A′B′C′D′的A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝∠BOC－∠EOC＝90°－∠EOC，∠COF＝∠EOF－∠EOC＝90°－∠EOC，∴∠BOE＝∠COF.在△OBE和△OCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BOE＝∠COF，,OB＝OC，,∠OBC＝∠OCF，)) ∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF； (2)∵△BOE≌△COF，∴S△BOE＝S△COF，∴S△EOC＋S△COF＝S△EOC＋S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC，∵S△BOC＝ eq \f(1,4) ，∴两个正方形重叠部分的面积为 eq \f(1,4) . 【变式】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别与AB，AC交于点E，F，△BOE与△COF的面积之和为________． 模型三　正方形中的“半角”模型 (1)如图①，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②C△EFC＝2AB；③FA平分∠DFE, EA平分∠BEF；④MN2＝ BM2＋DN2. (2)如图②，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则FA平分∠DFE，EF＝DF－BE. 3．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N. (1)当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时(如图①)，线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：______________________，并加以证明． (2)当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时(如图②)，线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论． 解：(1)猜想：BM＋DN＝MN，证明：在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，易证△ABE≌△ADN(SAS)，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴ME＝MN，又∵ME＝BE＋BM＝BM＋DN，∴BM＋DN＝MN.故答案为BM＋DN＝MN； (2)DN－BM＝MN.证明：在DC上截取DF＝BM，连接AF，易证△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM＋∠BAF＝∠BAF＋∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，∴△MAN≌△FAN(SAS)，∴MN＝NF，∴MN＝DN－DF＝DN－BM，∴DN－BM＝MN. 模型四　正方形中的“外角平分线＋垂直”模型 4．如图，已知点M在正方形ABCD的一边BC上，连接AM，并过点M作MN⊥AM，交正方形ABCD的外角∠DCE的平分线于点N.求证：AM＝MN. 证明：在边BA上截取BF＝BM，连接MF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BF＝BM，∴AF＝MC，∠BFM＝45°，∴∠AFM＝135°，∵CN平分∠DCE，∴∠MCN＝135°，∴∠AFM＝∠MCN，∵∠ABM＝90°，AM⊥MN，∴∠FAM＋∠AMB＝∠CMN＋∠AMB＝90°，∴∠FAM＝∠CMN，∴△FAM≌△CMN(ASA)，∴AM＝MN. 【变式】如图，在正方形ABCD中，点E(与B，C不重合)是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF.求证：CF是正方形ABCD的外角平分线． 证明：过点F作FG⊥BC于点G.∵∠AEF＝∠B＝∠90°，∴∠BAE＝∠FEG.在△ABE和△EGF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠FEG，,∠B＝∠FGE，,AE＝EF，)) ∴△ABE≌△EGF(AAS).∴AB＝EG，BE＝FG.又∵AB＝BC，∴BE＝CG，∴FG＝CG，∴∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，∴CF是正方形ABCD的外角平分线． $$