第一章 习题课 构造直角三角形斜边上的中线（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

习题课　构造直角三角形斜边上的中线 数学 九年级上册 北师版 练闯考 1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，且CD＝AE. (1)求证：CG＝EG； (2)求证：∠B＝2∠ECB. 解：(1)证明：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB 的中点，∴DE＝ eq \f(1,2) AB＝BE＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG； (2)证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC＋∠DCE＝2∠DCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE. 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点． (1)请猜测EF与AC的位置关系，并给予证明； (2)当AC＝8，BD＝10时，求EF的长． 解：(1)EF⊥AC.理由如下：连接AE，CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE＝ eq \f(1,2) DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝ eq \f(1,2) BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC； (2)∵AC＝8，BD＝10，E，F分别是边AC，BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC.∴EF＝ eq \r(CE2－CF2) ＝ eq \r(52－42) ＝3. 3．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM. (1)求证：EF＝ eq \f(1,2) AC； (2)若EF⊥AC，求证：AM＋DM＝CB. 解：(1)证明：连接CE，∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵F为AC的中点， ∴EF＝ eq \f(1,2) AC； (2)证明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F为AC的中点，∴AF＝CF，∵MF＝MF，∴△AFM≌△CFM(SAS)，∴AM＝CM，∵CD＝DM＋MC，∴CD＝DM＋AM，∵BC＝DC，∴AM＋DM＝CB. 4．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F为CE的中点，连接AF，DF. (1)求证：△AFD为等腰三角形； (2)若AB＝3，AD＝5，请直接写出当△AFD的面积为整数时所有AE的长． 解：(1)证明：延长AF交DC延长线于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠ADC＝90°，∴∠EAF＝∠M，∴△AFE≌△MFC(AAS)，∴AF＝FM，∴DF为Rt△ADM的斜边AM上的中线，∴AF＝DF＝MF，∴△AFD为等腰三角形； (2)设AE＝x，△ADF的面积用S表示，∵△AFE≌△MFC，∴CM＝AE＝x，∵AF＝MF，∴S△ADF＝ eq \f(1,2) S△ADM＝ eq \f(1,2) · eq \f(1,2) ·5·(3＋x)，即S＝ eq \f(5x＋15,4) ，∴x＝ eq \f(4S－15,5) ，∵0＜x＜3， ∴0＜ eq \f(4S－15,5) ＜3，解得3.75＜S＜7.5，∴S的整数值为4，5，6，7.当S＝4时，x＝ eq \f(1,5) ；当S＝5时，x＝1；当S＝6时，x＝ eq \f(9,5) ；当S＝7时，x＝ eq \f(13,5) .即当△AFD的面积为整数时，AE的长为 eq \f(1,5) ，1， eq \f(9,5) ， eq \f(13,5) . $$