第一章 3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 数学 九年级上册 北师版 练闯考 C C B A AC＝BD或∠ABC＝90°(答案不唯一) 45° D A 1∶2 知识点：正方形的判定 1．下列说法不正确的是( ) A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 2．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.从中选择两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ 4．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( ) A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 5．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是____________________________________．(写出一种情况即可) 6．如图，把一个矩形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__________． 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE.求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF， ∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形； ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°， ∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°，∴∠BEC＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 8．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.又∵∠CEF＝45°，易得∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形． 9．(玉林中考)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定( ) A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A．BC＝AC B．CF⊥BF B．BD＝DF D．AC＝BF 11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是____________． 3 eq \r(2) 12．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB∶AD＝____________时，四边形MENF是正方形． 13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG. (1)求证：AF＝BF； (2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形． 解：(1)证明：∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACB. ∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF. (2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.又∠AEG＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．由题意得AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形． 14．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)若AB＝2 eq \r(2) ，CE＝2，求CG的长； (3)当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数． 解： 证明：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图①， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCA＝∠BCA＝45°. ∵EP⊥CD，EQ⊥BC，∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP. ∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED. 在Rt△EQF和Rt△EPD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠QEF＝∠PED，,EQ＝EP，,∠EQF＝∠EPD，)) ∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形； (2)如图②，在Rt△ABC中，AC＝ eq \r(2) AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝2； (3)当∠ADE＝40°时，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°.∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°. $$