第一章 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

3　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 数学 九年级上册 北师版 练闯考 C B C B 4 45° 8 C A 65 6 知识点：正方形的性质 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为( ) A．4 B．2 C． eq \r(2) D．2 eq \r(2) 3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE＝AC，则∠BCE的大小是( ) A．67.5° B．22.5° C．30° D．45° 5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是__________． 6．如图，将正方形纸片按如图方式折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝____________． 7.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 8．边长为4的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点，连接EF，FG，GH，HE. (1)求EH的长； (2)求证：∠EHG＝90°. 解：(1)∵ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°， ∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点， ∴BE＝AH＝DG＝CF＝1，AE＝DH＝CG＝BF＝3， 在Rt△AEH中，EH＝ eq \r(AE2＋AH2) ＝ eq \r(10) ； (2)证明：∵∠A＝∠D，AH＝DG，AE＝DH，∴△AHE≌△DGH(SAS)，∴∠AHE＝∠HGD，∵∠HGD＋∠DHG＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°. 9．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF. (1)求证：△BEC≌△DFC； (2)如果BC＋DF＝9，CF＝3，求正方形ABCD的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)； (2)∵BC＋DF＝9，∴CD＋DF＝9， 在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2， ∴(9－CD)2＝CD2＋CF2，∴CD＝4， ∴S正方形ABCD＝16. 10．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( ) A．45° B．55° C．60° D．75° 11．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，旋转后点D的对应点D′的坐标是( ) A．(7，5) B．(－2，0) C．(5，7) D．(3，5) 12．(黄冈中考)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED＝__________度． 13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为_______． 14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F. (1)求证：PC＝PE； (2)求∠CPE的度数． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°， 在△ADP和△CDP中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝DC，,∠ADP＝∠CDP，,PD＝PD，)) ∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC， ∵∠PAE＝∠E，∴PA＝PE，∴PC＝PE； (2)∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由(1)知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°. 15．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG. (1)求证：DG＝BE； (2)如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH，BE，DH三条线段之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝∠ADG＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴∠EAD＋∠DAG＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝∠EAD＋∠DAG，∴∠BAE＝∠DAG，在△BAE和△DAG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠DAG，,AB＝AD，,∠B＝∠ADG，)) ∴△BAE≌△DAG(ASA)，∴DG＝BE； (2)BE＋DH＝HE，理由如下：∵△BAE≌△DAG，∴AE＝AG，BE＝DG，∵四边形AEFG是正方形，∴∠EAH＝∠GAH＝45°，在△EAH和△GAH中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAH＝∠GAH，,AH＝AH，)) ∴△EAH≌△GAH(SAS)，∴EH＝GH， ∵DG＋DH＝GH，∴BE＋DH＝EH. $$