第一章 2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的综合运用 数学 九年级上册 北师版 练闯考 C B B 22.5 3 5 C C 36° 35 知识点：矩形的性质与判定的综合运用 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 3．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为( ) A．5 eq \r(2) B．5 C．5 eq \r(3) D．4 4．(教材P19T2变式)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝____________度． 5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝__________． 6．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则经过__________s后，四边形ABPQ成为矩形． 7．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD. (1)求证：四边形BECD是矩形； (2)连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD＝DE，∴BC＝DE，∴▱BECD是矩形； (2)∵CD＝3，∴AB＝BE＝3. 由题意知AD＝6，∠ABD＝90°， ∴BD＝ eq \r(AD2－AB2) ＝3 eq \r(3) ， ∴CE＝3 eq \r(3) ，∴AC＝ eq \r(AE2＋CE2) ＝3 eq \r(7) . 8．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. (1)求证：四边形EBFD是矩形； (2)若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形； (2)∵∠DEB＝90°，∵AE＝3，DE＝4，DF＝5，∴AD＝ eq \r(AE2＋DE2) ＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB＝∠DFA，∴∠FAB＝∠DFA，∴AF平分∠DAB. 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( ) A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8 10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( ) A．4 B．8 C．4 eq \r(2) 　 D．2 eq \r(2) 11．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝_________． 12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD＝10，EF＝4，求BG的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD， ∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AB，∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形； (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10， 由(1)得：OE＝ eq \f(1,2) AB＝5，四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝5，OG＝EF＝4，∠OGF＝90°， ∵E是AD的中点，∴AE＝ eq \f(1,2) AD＝5， 在Rt△AFE中，由勾股定理得：AF＝ eq \r(AE2－EF2) ＝ eq \r(52－42) ＝3， ∴BG＝10－5－3＝2. 14．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB. (1)如图①，求证：四边形ABCD是矩形； (2)如图②，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE＋PF的值． 解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ADC＋∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形； (2)连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝ eq \r(AB2＋AD2) ＝ eq \r(52＋122) ＝13， ∴BO＝OD＝AO＝CO＝ eq \f(13,2) ， ∵S△AOD＝ eq \f(1,4) S矩形ABCD＝ eq \f(1,4) ×12×5＝15， ∴S△AOP＋S△POD＝15，∴ eq \f(1,2) × eq \f(13,2) ×FP＋ eq \f(1,2) × eq \f(13,2) ×EP＝15，∴PE＋PF＝ eq \f(60,13) . $$