第四章 图形的相似 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册单元测试(北师大版)

第四章综合评价 (时间：120分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列选项中，四条线段成比例的是(C) A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9 2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC的长为(C) A．4 B．5 C．6 D．8 　　　　 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为(C) A．2 B．3 C．6 D．54 4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 5．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝(B) A．16 B．18 C．20 D．24 6．如图，P是△ABC的AC边上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是(B) A．AB2＝AP·AC B．AC·BC＝AB·BP C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC 　　　　 7．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移1个单位长度，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(A) A．(2，3) B．(3，1) C．(2，1) D．(3，3) 8．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为(B) A． B． C． D． 9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF.其中正确的个数为(B) A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PD，PC，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C) A．1 B．2 C．3 D．4 　　　 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．若＝，则＝____． 12．如图所示是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是__16__． 13．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是__∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)__.(写出一种情况即可) 14．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6 cm，AP＞BP，那么AP＝__3(－1)cm__． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝____． 　　　 16．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为__1∶9__. 17．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____步． 　　　　　 18．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为____． 三、解答题(共66分) 19．(6分)如图，D，E分别是AC，AB上的点，△ADE∽△ABC，DE＝8，BC＝24，AD＝6，∠B＝70°，求AB的长和∠ADE的度数． 解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∠B＝∠ADE＝70°， ∵AD＝6，DE＝8，BC＝24，∴＝， ∴AB＝18，∴AB＝18，∠ADE＝70°. 20．(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6). (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； (2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2. 解：(1)(2)如图所示 21．(8分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准了BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． (1)求证：△BEF∽△CDF； (2)求CF的长． 解：(1)证明：∵FG⊥BC，∠EFG＝∠DFG，∴∠BFE＝∠CFD.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF； (2)设CF＝x cm，则BF＝(260－x) cm.∵AB＝130 cm，AE＝60 cm，∴BE＝70 cm.由(1)得，△BEF∽△CDF，∴＝，即＝，∴x＝169，即CF＝169 cm. 22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G. (1)求证：∠ABD＝∠ACE； (2)求证：CD2＝DG·BD. 证明：(1)∵点D，E分别是边AC，AB的中点， ∴AE＝AB，AD＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE， 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE； (2)∵DF⊥AC，点D是边AC的中点，∴DF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACE. 由(1)知：∠ABD＝∠ACE，∴∠FAC＝∠ABD， ∵∠ADG＝∠BDA，∴△ADG∽△BDA， ∴＝，∴AD2＝DG·BD， ∵点D是边的中点，∴AD＝CD，∴CD2＝DG·BD. 23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上． (1)求证：△BDE∽△CEF； (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF； (2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴＝.∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC. 24．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，BC＝6 cm，F点以2 cm/s的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1 cm/s的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t s(0＜t＜5). (1)求证：△ACD∽△BAC； (2)求DC的长； (3)设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数表达式，并求出y的最小值． 解：(1)证明：∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，又∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BAC；　(2)在Rt△ABC中，AC＝＝8 (cm)，∵△ACD∽△BAC，∴＝，即＝，解得DC＝6.4 cm；　(3)过点E作AB的垂线，垂足为G，∵∠ACB＝∠EGB＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EGB，∴＝，即＝.∴EG＝t，∴y＝S△ABC－S△BEF＝×6×8－(10－2t)·t＝t2－4t＋24＝(t－)2＋19，故当t＝时，y有最小值为19 cm2. 25．(14分)(1)问题发现：如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空： ①的值为__1__；②∠AMB的度数为__40°__； (2)类比探究：如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 解：(1)1，40°；(2)＝，∠AMB＝90°，理由如下：∵在Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴CD＝2OD，∴OC＝OD，∴＝.同理可得＝，∴＝.又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠ABM)＝180°－(∠OAB＋∠ABM＋∠DBO)＝90°； (3)①当点C与点M重合时，如图甲，同(2)可证得△AOC∽△BOD，进而可求得∠AMB＝90°，＝.设BD＝x，则AC＝x.∵在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2.∵在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2.又∵在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x)2＋(x－2)2＝(2)2，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴AC＝3； ②当点C与点M重合时，如图乙，同(2)可证得△AOC∽△BOD，进而可求得∠AMB＝90°，＝.设BD＝x，则AC＝x.∵在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x)2＋(x＋2)2＝(2)2，解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝2，∴AC＝2.综上所述，AC的长为3或2. 学科网（北京）股份有限公司 $$