第二章 一元二次方程 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册单元测试(北师大版)

第二章综合评价 (时间：120分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是(A) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是(D) A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 3．用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(B) A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4 C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝7 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是(B) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0 5．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为(C) A．－1或4 B．－1或－4 C．1或－4 D．1或4 6．用因式分解法解方程x2－mx－6＝0，若将左边因式分解后有一个因式是(x－3)，则m的值是(B) A．0 B．1 C．－1 D．2 7．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12－x1＋x2的值为(D) A．－1 B．0 C．2 D．3 8．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当涨价后，每间房每天定价为多少元时，宾馆当天的利润为10 890元？设每间房每天定价为x元，则有(B) A.(180＋x－20)(50－)＝10 890 B．(x－20)(50－)＝10 890 C．x(50－)－50×20＝10 890 D．(x＋180)(50－)－50×20＝10 890 9．已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC，BD相交于点O，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为(A) A．－3 B．5 C．5或3 D．－5或3 10．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，现有下列结论：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝(2ax1＋b)2.其中正确结论的个数是(B) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．一元二次方程2x2＋6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项的和为__－1__． 12．方程(x＋2)2＝x＋2的解是__x1＝－2，x2＝－1__． 13．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是3，则它的另一个根是__1__． 14．点P的坐标恰好是2x2－x－1＝0的两根，则P点在第__二或四__象限． 15．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为__12__人． 16．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数值是__4__． 17．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x12＋x22＋3x1x2＝__－1__． 18．在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为__2__． 三、解答题(共66分) 19．(6分)解方程： (1)x2＋4x－1＝0; 　　　(2)x2＋3x＋2＝0. 解：x1＝－2＋，x2＝－2－. 　　　解：x1＝－1，x2＝－2. 20．(6分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解． 解：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当m＝0时，判别式的值最小，把m＝0代入方程，得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，∴x＝－2或x＝1. 21．(8分)如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18 m，设矩形垂直于墙的一边(即AB)的长为x m．若矩形养殖场的面积为36 m2，求此时的x的值． 解：∵栅栏总长度为18 m，AB的长为x m，∴BC的长为(18－2x) m．根据题意，得x(18－2x)＝36，整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6， 当x＝3时，18－2x＝18－2×3＝12＞10，不符合题意，舍去； 当x＝6时，18－2x＝18－2×6＝6＜10，符合题意． 答：此时的x的值为6. 22．(10分)关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，解得k＞； (2)存在，理由如下：∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，∴将|x1|－|x2|＝两边平方可得x12－2x1x2＋x22＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5，∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，整理，得4k－11＝5，解得k＝4. 23．(10分)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品．某网店以每套24元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．二月份以每套30元的价格销售了256套，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400套． (1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率； (2)为回馈客户，该网店决定五月份降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该商品每降价1元，销售量就增加40套，当该商品降价多少元时，五月份可获利1 920元？ 解：(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意，得256(1＋x)2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去). 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%； (2)设冰墩墩和雪容融套件降价y元，则五月份的销售量为(400＋40y)套，根据题意，得(30－24－y)(400＋40y)＝1 920，整理，得y2＋4y－12＝0，解得y1＝2，y2＝－6(不合题意，舍去). 答：当冰墩墩和雪容融套件降价2元时，五月份可获利1 920元． 24．(12分)请阅读下列材料： 问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y.把x＝y代入已知方程，得y2＋y－1＝0， 化简，得y2＋2y－4＝0. 故所求方程为y2＋2y－4＝0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)： (1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：__y2－y－2＝0__；(所求方程中的未知数用y表示) (2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 解：(2)设所求方程的根为y，则y＝(x≠0)，于是x＝(y≠0)，把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a()2＋b·＋c＝0，去分母，得a＋by＋cy2＝0.若c＝0，原方程为ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，∴c≠0，故所求方程为cy2＋by＋a＝0(c≠0). 25．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t s(0≤t≤5). (1)当t为多少时，P，Q两点之间的距离是10 cm? (2)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； (3)当t为多少时，S△CPQ＝S△ABC? 解：(1)CP＝(20－4t) cm，CQ＝2t cm，∵∠C＝90°，PQ＝10 cm，∴PC2＋CQ2＝PQ2，即(20－4t)2＋(2t)2＝102，解得t1＝3，t2＝5， 答：当t为3或5时，P，Q两点之间的距离是10 cm； (2)CP＝(20－4t) cm，CQ＝2t cm，∴S＝CP·CQ＝(20－4t)×2t＝20t－4t2， ∴Rt△CPQ的面积S＝20t－4t2(0≤t≤5)； (3)根据题意，得20t－4t2＝××20×15，解得t1＝2，t2＝3， 答：当t为2或3时，S△CPQ＝S△ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$