基础过关-轴对称的将军饮马专题2024-2025学年苏科数学八年级上册

基础过关-轴对称的将军饮马专题 一、单选题 1．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（    ） A．9 B．15 C．24 D．27 2．如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知，点A是内任意一点，点B和点C分别是射线OM和射线ON上的动点（M、N不与点O重合），当周长取最小值时，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为 ． 6．如图，中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 7．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 ．    8．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 ． 三、解答题 9．如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 10．已知：，点M和点N试在上分别找点P、Q，使四边形的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 11．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） （1）已知：线段 求作：线段的垂直平分线． （2）已知： 求作：的角平分线． （3）要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留痕迹． 12．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质； 连接．求出的最小值可得结论． 【详解】如图，连接， 垂直平分线段， ， 当P和E重合时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为9， 的周长的最小值为， 故选：B 2．B 【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可． 【详解】将关于对称至点，连接 ， ∴， ∴， ∴， ∵，，，且， ∴是中点， ∴． ∴ 故选：B 【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短． 3．B 【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图： 作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M， ∴ME=MC， ∴CM+MN=EM+MN=EN， 根据垂线段最短， EN最短， ∵∠AOB=35°， ∠ENO=CFM=90°， ∴∠OMN=55°，∠OCF=55°， ∴∠EMF=∠OMN=55°， ∴∠E=∠MCE=35°， ∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键． 4．B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于，的周长的最小值，然后得到等腰中，，即可得出． 【详解】分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于， 则，，， 根据对称轴的性质，可得，， 则的周长的最小值， ∴， ∴等腰中， ， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称－最对路线问题，正确作出辅助线，得到等腰中，是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 5． 【分析】延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【详解】解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、． ， 、关于对称，、关于对称， ，， ，同理：， ，，、M、N、在同一直线上时△AMN的周长最小， ，， ， ， ， ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 6． 【分析】做点Q关于直线BD的对称点，作于点M，根据垂线段最短可知，当A，P，共线，且与AM重合时，的值最小，最小值就是AM的长，计算即可； 【详解】如图，做点Q关于直线BD的对称点，作于点M， ∵， ∴根据垂线段最短可知，当A，P，共线，且与AM重合时，的值最小，最小值就是AM的长， ∵在△ABC中，，，，， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路线问题，准确分析计算是解题的关键． 7．6cm 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解． 【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm． 故OP=CD=6 cm 故答案为：6cm．    【点睛】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 8．6 【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大． 【详解】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CN，CM，MN，NE． 由题意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2， ∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC， ∵∠DCE＝120°， ∴∠ACD+∠BCE＝60°， ∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN＝120°， ∴∠MCN＝60°， ∵CM＝CN＝2， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN＝2， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤6， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为6， 故答案为6． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9．(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，13 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：点E如图所示： （3）解：点P如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， 即． 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．画图见解析 【分析】分别作M点和N点关于和的对称点，连接交于P，交于Q，则四边形满足条件． 【详解】解：如图，四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是轴对称的性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 11．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN即可； （2）以点O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交射线OB于点E，交射线OA于点F，分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC即可； （3）作出A镇关于燃气管的对称点A′，连接A′B，交燃气管于点P，连接AP即可． 【详解】解：（1）分别以A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN，如图所示，直线MN即为所求； （2）以点O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交射线OB于点E，交射线OA于点F，分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，如图所示，射线OC即为所求； （3）作出A镇关于燃气管的对称点A′，连接A′B，交燃气管于点P，连接AP，如图所示，点P即为所求． 【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握线段垂直平分线的画法、角平分线的画法和轴对称的性质是解题关键． 12．（1）；（2）①；②当点与点重合时，的值最小，最小值是 【分析】（1）△ABC为等腰三角形，∠B为底角，则可求顶角∠A，MN是AB的垂直平分线，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可， （2）①由垂直平分可知，可证C△NBC等于AC+BC即可， ②过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，当点与点重合时，三角形PBC的周长最短，求出即可． 【详解】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C =∠B =70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜, ∵MN⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜， （2）①如图∵垂直平分∴， ∵∴， ∴． ②如下图，过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，由对称性AB与BC′交点在MN上，当点与点重合时，的值最小，最小值是，此时三角形PBC的周长=三角形BMC的周长=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm． 【点睛】本题考查已知等腰三角形底角，求腰中垂线与另一斜边的夹角，以及三角形周长最短问题，掌握作点C关于MN的对称点，连结BC′与AC交于M，点P与点M重合时是解题的关键． 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$