基础过关-等腰三角形的轴对称性（2）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-等腰三角形的轴对称性（二） 一、单选题 1．如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，，，若，则的长为（   ） A．4 B．3.6 C．3 D．2.4 二、填空题 5．如图，是边长为的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为 ． 6．如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 7．如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ． 8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．    三、解答题 9．如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 11．如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，若，，求的面积． 12．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定等等：先证明得到，再由等边对等角推出，则，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 4．C 【分析】根据“等腰三角形三线合一”可得，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得． 本题主要考查了“等腰三角形三线合一”和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 【详解】中，，， ． 又， ． 故选：C 5． 【分析】先过点作于点，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，． 【详解】解：过点作交于点， ， ，， 是等边三角形， ， 又， 是等边的中线， ， 和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点平行线的性质、等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是合理设置辅助线转化相等线段位置． 6． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一得到，进而求出，再根据等角对等边即可得出结果． 【详解】解：， 是等边三角形， ． 是边上的中线， ． 是等腰三角形， ， 故答案为：． 8．90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，方向角的计算，根据方向角先求出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可． 【详解】解：∵， ∵向北的方向线是平行的， ∴， ∴， ∴（海里）， 故答案为：90． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角． （1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（1）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ， 在和中， ，， ． （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 因此的度数为． 10．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形． 【详解】证明：在中，， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ，即， ， 是等腰三角形． 11．(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和计算即可； （），，得，，，然后通过证明即可； （）由，根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，，， 由（）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 12．(1)理由见解析 (2) (3)补全图形见解析，，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可知，，，然后由求解即可； （3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得，，，进而证明，易得，结合可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴； （3）如图，，理由如下： ∵点与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$