基础过关-等边三角形的性质（2）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-等边三角形的性质（二） 一、单选题 1．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知是等边三角形的高，且，那么的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 4．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 6．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 7．如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 8．如图，在正中，D为上一点，E为上一点，相交于P，若四边形与的面积相等，那么 ． 三、解答题 9．如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若与交于点O，当时，求的长． 10．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 11．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 12．等边中，D、E是、上的点，，与相交于点Q，．求证： (1)； (2)． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B B D 1．A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 2．B 【分析】本题主要考查等边三角形“三线合一”的性质，理解等边三角形的性质是解题关键．根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， 是等边三角形的高，， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 4．D 【分析】由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出，即可判断①；由，得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断②；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形，即可判断③过点B作于点F，作于点G，由得到，，从而，根据角平分线的判定定理即可得到平分，即可判断④；由得到，要使，则需要，题中没有条件，故无法证得，即可判断⑤． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ∴， 即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 过点B作于点F，作于点G， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 题中没有条件，故无法证得，故⑤错误． 综上，结论正确的有①②③④，共4个． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 5．3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 7．①②④ 【分析】根据与都是等边三角形，可得，进而得到，即可证明①；根据可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明②；根据条件可证明，利用对顶角相等和三角形外角可得，即可证明③；根据条件证明，可得，即可证明④． 【详解】∵与都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即，故③错误； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ 由①得： ∴， ∴ ∴ ∴，即，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角等，灵活运用所学知识是解题关键． 8．/60度 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，得到，进一步证明，从而换算出，最终求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 设正的高为， 则， ∴， 在等边中，， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， 故答案为：． 9．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）证明是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， （2），， 是等边三角形． ， ，， ． 11．(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质定理、等边三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于，，所以只需证即可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，将四边形的周长用表示，最小时就是四边形的周长最小，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时就是的一半． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ∵， ∴． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据全等三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，, ∵， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 答案第2页，共10页 答案第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$