第四单元多边形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 14 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 29 日 2 / 14 目 录 【课内精选一】平行四边形的面积（一） ............................................................................ 3 【课内精选二】平行四边形的面积（二） ............................................................................ 4 【课内精选三】三角形的面积（一） .................................................................................... 5 【课内精选四】三角形的面积（二） .................................................................................... 5 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形 ........................................................................ 7 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积 ............................................................ 7 【奥数拓展三】利用平移法求面积 ........................................................................................ 8 【奥数拓展四】锯齿模型 ........................................................................................................ 9 【奥数拓展五】等高模型（一） .......................................................................................... 10 【奥数拓展六】等高模型（二） .......................................................................................... 11 【奥数拓展七】容斥原理（一） .......................................................................................... 12 【奥数拓展八】容斥原理（二） .......................................................................................... 13 3 / 14 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行四边形的面积（一）。 一个平行四边形一条边的长度是 5厘米，高分别是 4厘米和 6厘米，这个平行四 边形的面积是多少? 【专项训练】 1. 一个平行四边形一条边的长度是 10 厘米，高分别是 9厘米和 11厘米，这个 平行四边形的面积是多少? 2. 如图，将平行四边形相邻两边的长各增加原边长的一倍，所得的平行四边形 面积是原平行四边形的多少倍? 4 / 14 3. 一个平行四边形的底是另一个平行四边形的 1.5倍，高是另一个平行四边形的 2.5倍，那么，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的几倍? 【课内精选二】平行四边形的面积（二）。 一块平行四边形的棉花地，底是 120米，高 150米。用计算器计算下面的问题。 （1）这块棉花地的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果平均每公顷地可产棉花 1500千克，这块地一共可产棉花多少千克？ 【专项训练】 1．一块平行四边形试验田，底是 120米，高是 75米，每公顷可收水稻 8吨，这 块试验田一共可收水稻多少吨？ 2．一块平行四边形的菜地，底是 25米，高是 14米，每平方米收青菜 4千克。 这块地共收青菜多少千克？ 3．有一块平行四边形果园，它的底为 800米，高比底短 250米，整个果园占地 多少公顷？ 5 / 14 【课内精选三】三角形的面积（一）。 如图，三角形 ABC的面积是 20平方厘米，底 BC长 8厘米；平行四边形 ABCD 的面积是 40平方厘米，底 BC长 10厘米，求三角形的高 AD是平行四边形的高 AE的几倍。 【专项训练】 1. 如图，AB=BC=EG=DG，平行四边形 ACDE的面积是三角形 ABF的多少倍? 2. 如图所示，已知平行四边形的面积是 32平方厘米，求阴影部分的面积。 【课内精选四】三角形的面积（二）。 一块三角形钢板，底长 6米，高 4米，每平方米钢板质量重 35千克，这块钢板 共重多少？ 6 / 14 【专项训练】 1．一张长方形纸长 17厘米，宽 12厘米，把它剪成两条直角边分别为 3厘米、4 厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？ 2．妙想家在一块底是 5米，高是 4.6米的三角形空地上种满了鲜花。如果每平 方米土地的鲜花卖 300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 3．一块三角形的菜地，底 32米，高 20.5米，这块菜地的面积是多少平方米？ 如果平均每平方米收萝卜 1.5千克，这块地一共收萝卜多少千克？ 7 / 14 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形。 如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 P、Q、R、S 分别为边 AB、BC、CD、 DA的中点，而点 T为线段 SR的中点.已知四边形 ABCD 的面积为 120平方厘 米，则三角形 PQT的面积为多少平方厘米? 【专项训练】 如图所示，平行四边形的面积是 72平方厘米，点 E、F分别是 AD、AB的中点， 求阴影部分的面积。 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积。 如图，平行四边形 ABCD的 BC边长 10厘米，CD边长 6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形 BECF的面积. 8 / 14 【专项训练】 1. 如图，长方形 ABCD的长是 12厘米，宽是 8厘米，那么，平行四边形 BDEF 的面积是多少? 2. 如图，已知平行四边形 ABCD的底 CD为 25厘米，CD边上的高为 15厘米， 求平行四边形 AEFG的面积。 3. 如图，正方形 ABCD的边长是 4厘米，长方形 DEFG 的长 DG是 5厘米，那 么，长方形的宽 DE是多少厘米? 【奥数拓展三】利用平移法求面积。 如图是一块长方形的草地，长方形的长是 16，宽是 10，中间有两条道路，都是 平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 9 / 14 【专项训练】 如图所示，有一块长方形草地，长是 22米，宽是 16米，中间有两条平行四边形 大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 2. 如图，四边形 ABCD是一块长方形草坪，长 20米，宽 15米，中间有一条宽 2米的曲折小路，求小路的面积。 3. 如图所示，若阴影部分的面积是 54，则小正方形的面积是多少? 【奥数拓展四】锯齿模型。 如图所示，平行四边形 ABCD的底是 18厘米，高是 12厘米，线段 EF与 AD平 行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 10 / 14 【专项训练】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是 30厘米，对应的高是 10厘米，那么阴影 部分的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，长方形的长是 10厘米，宽是 6厘米，A、B是宽的中点，求长方 形内阴影部分的面积。 3. 如图，ABFE和 CDEF都是平行四边形，AB的长是 8厘米，平行四边形 ABCD 中 AB边上的高是 6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 【奥数拓展五】等高模型（一）。 如图所示，BE的长是 3，EC的长是 6，那么，三角形 AEC的面积是三角形 ABE 的多少倍? 11 / 14 【专项训练】 如图，BE的长是 1.5，EC的长是 4.5，那么，三角形 AEC的面积是三角形 ABE 的多少倍? 【奥数拓展六】等高模型（二）。 如图所示，三角形 ABC的面积是 2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形 BDE 的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，三角形 ABC 的面积是 60，D 是 BC 的中点，AE 长是 ED 长的 2 倍，那么，三角形 CDE的面积是多少? 2. 如图，在三角形 ABC 中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE 的面积是 20平方厘 米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 12 / 14 3. 如图所示，四边形 ABCD的面积为 60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点 G、H分别是 BE、DF的中点，那么阴影四边形 EGFH的面积为多 少平方厘米? 【奥数拓展七】容斥原理（一）。 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位： 厘米)。 【专项训练】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 13 / 14 3. 如图所示，已知四边形 ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部 分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 【奥数拓展八】容斥原理（二）。 如图，正方形 ABCD的边长是 4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多 2平 方 厘米，求 DE的长度。 【专项训练】 1. 如图，三角形 ABC和三角形 BCD是两个直角三角形，AB长 3厘米，BC长 10 厘米，DC长 6厘米.三角形 ABE比三角形 CDE的面积小多少平方厘米? 2. 如图，四边形 ABCD是一个长方形，三角形 ADE比三角形 CEF的面积小 10 平方厘米，CF的长是多少厘米? 14 / 14 3. 如图，四边形 AEFG 是平行四边形，三角形 CGF是直角三角形，GF长 8厘 米， CF长 7厘米，阴影部分的面积比三角形 BCD大 12平方厘米，求 DF的长。 1 / 18 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 29 日 2 / 18 目 录 【课内精选一】平行四边形的面积（一） ............................................................................ 3 【课内精选二】平行四边形的面积（二） ............................................................................ 3 【课内精选三】三角形的面积（一） .................................................................................... 5 【课内精选四】三角形的面积（二） .................................................................................... 6 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形 ........................................................................ 9 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积 ............................................................ 9 【奥数拓展三】利用平移法求面积 ...................................................................................... 11 【奥数拓展四】锯齿模型 ...................................................................................................... 12 【奥数拓展五】等高模型（一） .......................................................................................... 13 【奥数拓展六】等高模型（二） .......................................................................................... 14 【奥数拓展七】容斥原理（一） .......................................................................................... 15 【奥数拓展八】容斥原理（二） .......................................................................................... 17 3 / 18 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行四边形的面积（一）。 一个平行四边形一条边的长度是 5厘米，高分别是 4厘米和 6厘米，这个平行四 边形的面积是多少? 解析：5×6=30(平方厘米) 答：这个平行四边形的面积是 30平方厘米。 【专项训练】 1. 一个平行四边形一条边的长度是 10 厘米，高分别是 9厘米和 11厘米，这个 平行四边形的面积是多少? 解析：10×11=110(平方厘米)，所以，这个平行四边形的面积是 110平方厘米。 2. 如图，将平行四边形相邻两边的长各增加原边长的一倍，所得的平行四边形 面积是原平行四边形的多少倍? 解析：新的平行四边形可由 4个原来的平行四边形拼成，故面积是原来的 4倍。 3. 一个平行四边形的底是另一个平行四边形的 1.5倍，高是另一个平行四边形的 2.5倍，那么，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的几倍? 解析：设一个底是 a，则另一个底是 1.5a；同理，一个高是 b，则另一个高是 2.5b， 所以，(1.5a×2.5b)÷(a× b)=3.75，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的 3.75倍。 【课内精选二】平行四边形的面积（二）。 一块平行四边形的棉花地，底是 120米，高 150米。用计算器计算下面的问题。 4 / 18 （1）这块棉花地的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果平均每公顷地可产棉花 1500千克，这块地一共可产棉花多少千克？ 【答案】（1）18000平方米；合 1.8公顷； （2）2700千克 【分析】（1）根据平行四边形的面积＝底×高及求出面积，再根据 1公顷＝10000 平方米变换单位； （2）根据（1）得出的公顷数再乘 1500就求出这块地一共可产棉量。 【详解】（1）120×150 ＝18000（平方米） ＝1.8（公顷） 答：这块棉花地的面积是 18000平方米，合 1.8公顷。 （2）1.8×1500＝2700（千克） 答：这块地一共可产棉花 2700千克。 【点睛】此题考查的是平行四边形的面积公式的应用，根据平行四边形面积公式 求出这块地的面积是解题关键。 【专项训练】 1．一块平行四边形试验田，底是 120米，高是 75米，每公顷可收水稻 8吨，这 块试验田一共可收水稻多少吨？ 【答案】7.2吨 【分析】这个平行四边形的底边是 120米，高是 75米，根据平行四边形的面积 ＝底×高，求出这块稻田的面积，然后根据 10000平方米＝1公顷，求出这块地 一共有多少公顷，再用单产量乘这块田的公顷数就是总产量。 【详解】120×75＝9000（平方米） 9000平方米＝0.9公顷 8×0.9＝7.2（吨） 答：这块田可收 7.2吨稻谷。 【点睛】解决本题先根据平行四边形的面积公式求出这块地的面积，再换算单位， 然后根据乘法的意义求解。 2．一块平行四边形的菜地，底是 25米，高是 14米，每平方米收青菜 4千克。 5 / 18 这块地共收青菜多少千克？ 【答案】1400千克 【分析】用 25×14求出平行四边形的面积，再乘每平方米收青菜的质量即可。 【详解】25×14×4 ＝350×4 ＝1400（千克）； 答：这块地共收青菜 1400千克。 【点睛】先求出平行四边形的面积是解答本题的关键。 3．有一块平行四边形果园，它的底为 800米，高比底短 250米，整个果园占地 多少公顷？ 【答案】44公顷 【分析】800减去 250等于平行四边形的高，再根据底乘高等于平行四边形的面 积即可求出果园的面积，最后把单位换算成公顷。 【详解】800×（800－250） ＝800×550 ＝440000（平方米） ＝44公顷 答：整个果园占地 44公顷。 【点睛】先计算出平行四边果园的高，再作进一步解答。 【课内精选三】三角形的面积（一）。 如图，三角形 ABC的面积是 20平方厘米，底 BC长 8厘米；平行四边形 ABCD 的面积是 40平方厘米，底 BC长 10厘米，求三角形的高 AD是平行四边形的高 AE的几倍。 解析： 通过两个图形的面积和底，我们先分别求出这两个图形对应的高，再计算多少倍。 因此三角形的高 AD是 20×2÷ 8=5(厘米)；平行四边形的高 AE是 40÷10=4(厘米)； 6 / 18 5÷4=1.25，所以，三角形的高 AD是平行四边形的高 AE的 1.25倍。 【专项训练】 1. 如图，AB=BC=EG=DG，平行四边形 ACDE的面积是三角形 ABF的多少倍? 解析：4倍。 2. 如图所示，已知平行四边形的面积是 32平方厘米，求阴影部分的面积。 解析：32÷4=8(厘米)，(8－6)×4÷2=4(平方厘米)。 【课内精选四】三角形的面积（二）。 一块三角形钢板，底长 6米，高 4米，每平方米钢板质量重 35千克，这块钢板 共重多少？ 【答案】420千克 【分析】三角形面积＝底×高÷2，据此先求出三角形钢板的面积，再将面积乘 35 千克，求出这块钢板共重多少千克。 【详解】（6×4÷2）×35 ＝12×35 ＝420（千克） 答：这块钢板共重 420千克。 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题关键是熟记面积公式。 【专项训练】 1．一张长方形纸长 17厘米，宽 12厘米，把它剪成两条直角边分别为 3厘米、4 厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？ 【答案】34面 【分析】根据长方形的面积公式求出长方形纸的面积，然后再根据三角形面积公 7 / 18 式求出直角三角形的面积，最后根据除法的意义，用长方形纸的面积除以一个直 角三角形的面积，即可求出最多可以剪多少个面。 【详解】17×12＝204（平方厘米） 3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 204÷6＝34（面） 答：最多可以剪 34面。 【点睛】本题考查了长方形面积公式和三角形面积公式的灵活应用。 2．妙想家在一块底是 5米，高是 4.6米的三角形空地上种满了鲜花。如果每平 方米土地的鲜花卖 300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 【答案】3450元 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形空地的面积，再乘 每平方米土地上鲜花的价格，即可求出这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元。 【详解】5×4.6÷2×300 ＝23÷2×300 ＝11.5×300 ＝3450（元） 答：这块三角形空地上的鲜花可以卖 3450元。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式求解。 3．一块三角形的菜地，底 32米，高 20.5米，这块菜地的面积是多少平方米？ 如果平均每平方米收萝卜 1.5千克，这块地一共收萝卜多少千克？ 【答案】328平方米；492千克 【分析】根据“三角形的面积＝底×高÷2”先求出三角形菜地的面积；再根据“单位 面积的产量×面积＝总产量”求出一共收的萝卜的质量。 【详解】32×20.5÷2 ＝656÷2 ＝328（平方米） 答：这块菜地的面积是 328平方米。 8 / 18 328×1.5＝492（千克） 答：这块地一共收萝卜 492千克。 【点睛】明确三角形的面积计算公式是解决此题的关键，利用公式计算三角形面 积时，底乘高后不要忘记除以 2。 9 / 18 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形。 如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 P、Q、R、S 分别为边 AB、BC、CD、 DA的中点，而点 T为线段 SR的中点.已知四边形 ABCD 的面积为 120平方厘 米，则三角形 PQT的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结 PS、QR,因为点 P、Q、R、S分别为边 AB、BC、CD、DA的中点， 所以，平行四边形 PQRS的面积是平行四边形 ABCD的一半，即 120÷2=60(平 方厘米)；很明显，三角形 PQT的面积又是平行四边形 PQRS的一半，60÷2=30(平 方厘米)，所以，三角形 PQT的面积为 30平方厘米。 【专项训练】 如图所示，平行四边形的面积是 72平方厘米，点 E、F分别是 AD、AB的中点， 求阴影部分的面积。 解析：27 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积。 如图，平行四边形 ABCD的 BC边长 10厘米，CD边长 6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形 BECF的面积. 10 / 18 解析： 根据题意，10厘米和 5厘米是平行四边形 ABCD对应的底和高，因此，它的面 积是 10×5=50(平方厘米)，而三角形 BCE是平行四边形 ABCD的一半，又是平 行四边形 BECF的一半，所以，平行四边形 BECF 的面积与平行四边形 ABCD 的面积相等，均为 50平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，长方形 ABCD的长是 12厘米，宽是 8厘米，那么，平行四边形 BDEF 的面积是多少? 解析：12×8=96(平方厘米) 2. 如图，已知平行四边形 ABCD的底 CD为 25厘米，CD边上的高为 15厘米， 求平行四边形 AEFG的面积。 解析：连结 BG，25×15=375(平方厘米) 3. 如图，正方形 ABCD的边长是 4厘米，长方形 DEFG 的长 DG是 5厘米，那 么，长方形的宽 DE是多少厘米? 11 / 18 解析：连结 AG，三角形 ADG的面积分别是正方形 ABCD和长方形 DEFG的一 半，因此，正方形 ABCD和长方形 DEFG的面积相等，长方形 DEFG的面积是 4×4=16(平方厘米)，所以，长方形的宽 DE是 16÷5=3.2(厘米)。 【奥数拓展三】利用平移法求面积。 如图是一块长方形的草地，长方形的长是 16，宽是 10，中间有两条道路，都是 平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 解析： 我们知道，两个平行四边形的面积与 10×2、16×2的长方形的面积相等，把两 个平行四边形换成 10×2、16×2的长方形，然后将横、竖两条道路都移至边上， 如图，草地部分(阴影部分)的面积还是与原来一样大小 (16－2)×(10-2)= 112(平方米)。 答：草地部分的面积是 112平方米。 【专项训练】 如图所示，有一块长方形草地，长是 22米，宽是 16米，中间有两条平行四边形 大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 12 / 18 解析：(22－2)×(16－2)=280(平方米) 2. 如图，四边形 ABCD是一块长方形草坪，长 20米，宽 15米，中间有一条宽 2米的曲折小路，求小路的面积。 解析：20×15－(20－2)×(15－2)=66(平方米) 3. 如图所示，若阴影部分的面积是 54，则小正方形的面积是多少? 解析：54÷6=9 【奥数拓展四】锯齿模型。 如图所示，平行四边形 ABCD的底是 18厘米，高是 12厘米，线段 EF与 AD平 行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 解析：18×12÷2=216÷2=108(平方厘米) 【专项训练】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是 30厘米，对应的高是 10厘米，那么阴影 部分的面积是多少平方厘米? 13 / 18 解析：30×10÷2=150(平方厘米) 2. 如图所示，长方形的长是 10厘米，宽是 6厘米，A、B是宽的中点，求长方 形内阴影部分的面积。 解析：10×6÷ 2÷2=15(平方厘米) 3. 如图，ABFE和 CDEF都是平行四边形，AB的长是 8厘米，平行四边形 ABCD 中 AB边上的高是 6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：6×8÷2=24(平方厘米) 【奥数拓展五】等高模型（一）。 如图所示，BE的长是 3，EC的长是 6，那么，三角形 AEC的面积是三角形 ABE 的多少倍? 解析： 我们知道，三角形 AEC 的面积=6×AD÷2，三角形 ABE 的面积=3×AD÷2，因为 EC的长 6是 BE 的长 3 的 2倍，所以，三角形 AEC 的面积是三角形 ABE 的 2 倍。 【专项训练】 如图，BE的长是 1.5，EC的长是 4.5，那么，三角形 AEC的面积是三角形 ABE 14 / 18 的多少倍? 解析：3倍。 【奥数拓展六】等高模型（二）。 如图所示，三角形 ABC的面积是 2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形 BDE 的面积。 解析： 根据题意，BE=2AB，因此，连结 CE，如图，分别以 AB、BE作为三角形 ABC 和三角形 BCE的底，不难知道三角形 ABC和三角形 BCE是两个等高的三角形， 因此三角形 BCE的面积是三角形 ABC的 2倍；同样道理，BC=CD，三角形 CDE 的底和高与三角形 BCE的底和高分别相等，也就是说三角形 CDE的面积与三角 形 BCE相等，所以，三角形 BDE的面积是三角形 ABC面积的 2+2=4倍，所以， 三角形 BDE的面积是 2×4=8(平方厘米)。 【专项训练】 1. 如图所示，三角形 ABC 的面积是 60，D 是 BC 的中点，AE 长是 ED 长的 2 倍，那么，三角形 CDE的面积是多少? 15 / 18 解析：60÷2= 30；30÷(1+2)=10 2. 如图，在三角形 ABC 中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE 的面积是 20平方厘 米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 解析： 因为 AC=4AE，所以△ACD的面积是△ADE的 4倍，也就是 20×4=80(平方厘米)， 那么△EDC 的面积是 80－20=60(平方厘米)；因为 CD=2BD，所以△ACD 的面 积是△ABD 的 2 倍，△ABD 的面积也就是 80÷2=40(平方厘米)，60+40=100(平 方厘米) ，所以，△ABD与△EDC的面积之和是 100平方厘米。 3. 如图所示，四边形 ABCD的面积为 60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点 G、H分别是 BE、DF的中点，那么阴影四边形 EGFH的面积为多 少平方厘米? 解析： 连结 BD，由 ED=2AE，BF=2FC，有 S△BDE = 2S△ABE，S△BDF=2S△CDF， 因此，四边形 BEDF的面积是 60÷(2+1)×2=40(平方厘米)；再连结 EF，由 BG=EG， HF=HD，得阴影四边形 EGFH 的面积是四边形 BEDF 面积的一半，40÷2=20(平 方厘米)，所以，阴影四边形 EGFH的面积为 20平方厘米。 【奥数拓展七】容斥原理（一）。 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位： 16 / 18 厘米)。 解析： 如果想直接求阴影部分的面积，显然有很大的困难，我们不妨利用转化的方法， 因为三角形 ABC和三角形 DEF完全相同，而它们的重叠部分是△COD，那么， 甲的面积等于乙的面积，可以先求出乙的面积，因为 EF=9厘米，那么 BC=9厘 米，而 BO=3厘米，所以 OC=9－3=6(厘米)，即乙的面积是(6+9)× 2÷2=15(平方 厘米)，所以，甲的面积等于 15平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：(20-5+20)×8÷2=35×4=140(平方厘米) 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：[(8－3)+8]×5÷2=32.5(平方厘米) 3. 如图所示，已知四边形 ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部 分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 17 / 18 解析：C 【奥数拓展八】容斥原理（二）。 如图，正方形 ABCD的边长是 4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多 2平 方 厘米，求 DE的长度。 解析： 正方形 ABCD的面积是 4×4=16(平方厘米) 三角形 ABE的面积是 16－2=14(平方厘米) (AD+DE)×AB÷2=14，即(4+DE)×4÷2=14，所以，DE的长度是 3厘米。 【专项训练】 1. 如图，三角形 ABC和三角形 BCD是两个直角三角形，AB长 3厘米，BC长 10 厘米，DC长 6厘米.三角形 ABE比三角形 CDE的面积小多少平方厘米? 解析：10×6÷2－10×3÷2=15(平方厘米) 2. 如图，四边形 ABCD是一个长方形，三角形 ADE比三角形 CEF的面积小 10 平方厘米，CF的长是多少厘米? 18 / 18 解析： 长方形 ABCD的面积是 10×6=60(平方厘米)，三角形 ABF的面积是 60+10=70(平 方厘米)，BF的长是 70×2÷10=14(厘米)，CF的长是 14－6=8(厘米) 3. 如图，四边形 AEFG 是平行四边形，三角形 CGF是直角三角形，GF长 8厘 米， CF长 7厘米，阴影部分的面积比三角形 BCD大 12平方厘米，求 DF的长。 解析：8×7÷2=28(平方厘米)，28+12=40(平方厘米)，40÷8=5(厘米) 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 目 录 【课内精选一】平行四边形的面积（一） 3 【课内精选二】平行四边形的面积（二） 4 【课内精选三】三角形的面积（一） 5 【课内精选四】三角形的面积（二） 5 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形 7 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积 7 【奥数拓展三】利用平移法求面积 8 【奥数拓展四】锯齿模型 9 【奥数拓展五】等高模型（一） 10 【奥数拓展六】等高模型（二） 11 【奥数拓展七】容斥原理（一） 12 【奥数拓展八】容斥原理（二） 13 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行四边形的面积（一）。 一个平行四边形一条边的长度是5厘米，高分别是4厘米和6厘米，这个平行四边形的面积是多少? 【专项训练】 1. 一个平行四边形一条边的长度是10厘米，高分别是9厘米和11厘米，这个平行四边形的面积是多少? 2. 如图，将平行四边形相邻两边的长各增加原边长的一倍，所得的平行四边形面积是原平行四边形的多少倍? 3. 一个平行四边形的底是另一个平行四边形的1.5倍，高是另一个平行四边形的2.5倍，那么，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的几倍? 【课内精选二】平行四边形的面积（二）。 一块平行四边形的棉花地，底是120米，高150米。用计算器计算下面的问题。 （1）这块棉花地的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果平均每公顷地可产棉花1500千克，这块地一共可产棉花多少千克？ 【专项训练】 1．一块平行四边形试验田，底是120米，高是75米，每公顷可收水稻8吨，这块试验田一共可收水稻多少吨？ 2．一块平行四边形的菜地，底是25米，高是14米，每平方米收青菜4千克。这块地共收青菜多少千克？ 3．有一块平行四边形果园，它的底为800米，高比底短250米，整个果园占地多少公顷？ 【课内精选三】三角形的面积（一）。 如图，三角形ABC的面积是20平方厘米，底BC长8厘米；平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，底BC长10厘米，求三角形的高AD是平行四边形的高AE的几倍。 【专项训练】 1. 如图，AB=BC=EG=DG，平行四边形ACDE的面积是三角形ABF的多少倍? 2. 如图所示，已知平行四边形的面积是32平方厘米，求阴影部分的面积。 【课内精选四】三角形的面积（二）。 一块三角形钢板，底长6米，高4米，每平方米钢板质量重35千克，这块钢板共重多少？ 【专项训练】 1．一张长方形纸长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？ 2．妙想家在一块底是5米，高是4.6米的三角形空地上种满了鲜花。如果每平方米土地的鲜花卖300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 3．一块三角形的菜地，底32米，高20.5米，这块菜地的面积是多少平方米？如果平均每平方米收萝卜1.5千克，这块地一共收萝卜多少千克？ 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形。 如图所示，平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点.已知四边形ABCD的面积为120平方厘米，则三角形PQT的面积为多少平方厘米? 【专项训练】 如图所示，平行四边形的面积是72平方厘米，点E、F分别是AD、AB的中点，求阴影部分的面积。 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积。 如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形BECF的面积. 【专项训练】 1. 如图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，那么，平行四边形BDEF的面积是多少? 2. 如图，已知平行四边形ABCD的底CD为25厘米，CD边上的高为15厘米，求平行四边形AEFG的面积。 3. 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么，长方形的宽DE是多少厘米? 【奥数拓展三】利用平移法求面积。 如图是一块长方形的草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，都是平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 【专项训练】 如图所示，有一块长方形草地，长是22米，宽是16米，中间有两条平行四边形大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形草坪，长20米，宽15米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积。 3. 如图所示，若阴影部分的面积是54，则小正方形的面积是多少? 【奥数拓展四】锯齿模型。 如图所示，平行四边形ABCD的底是18厘米，高是12厘米，线段EF与AD平行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 【专项训练】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是30厘米，对应的高是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，A、B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 3. 如图，ABFE和CDEF都是平行四边形，AB的长是8厘米，平行四边形ABCD 中AB边上的高是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 【奥数拓展五】等高模型（一）。 如图所示，BE的长是3，EC的长是6，那么，三角形 AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 【专项训练】 如图，BE的长是1.5，EC的长是4.5，那么，三角形AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 【奥数拓展六】等高模型（二）。 如图所示，三角形ABC的面积是2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形BDE的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，三角形ABC的面积是60，D是BC的中点，AE长是ED长的2倍，那么，三角形CDE的面积是多少? 2. 如图，在三角形ABC中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE的面积是20平方厘米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 3. 如图所示，四边形ABCD的面积为60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点G、H分别是BE、DF的中点，那么阴影四边形EGFH的面积为多少平方厘米? 【奥数拓展七】容斥原理（一）。 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 【专项训练】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 3. 如图所示，已知四边形ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 【奥数拓展八】容斥原理（二）。 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多2平 方厘米，求DE的长度。 【专项训练】 1. 如图，三角形ABC和三角形BCD是两个直角三角形，AB长3厘米，BC长10 厘米，DC长6厘米.三角形ABE比三角形CDE的面积小多少平方厘米? 2. 如图，四边形ABCD是一个长方形，三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方厘米，CF的长是多少厘米? 3. 如图，四边形AEFG是平行四边形，三角形CGF是直角三角形，GF长8厘米， CF长7厘米，阴影部分的面积比三角形BCD大12平方厘米，求DF的长。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 目 录 【课内精选一】平行四边形的面积（一） 3 【课内精选二】平行四边形的面积（二） 4 【课内精选三】三角形的面积（一） 5 【课内精选四】三角形的面积（二） 6 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形 9 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积 9 【奥数拓展三】利用平移法求面积 11 【奥数拓展四】锯齿模型 12 【奥数拓展五】等高模型（一） 13 【奥数拓展六】等高模型（二） 14 【奥数拓展七】容斥原理（一） 15 【奥数拓展八】容斥原理（二） 17 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行四边形的面积（一）。 一个平行四边形一条边的长度是5厘米，高分别是4厘米和6厘米，这个平行四边形的面积是多少? 解析：5×6=30(平方厘米) 答：这个平行四边形的面积是30平方厘米。 【专项训练】 1. 一个平行四边形一条边的长度是10厘米，高分别是9厘米和11厘米，这个平行四边形的面积是多少? 解析：10×11=110(平方厘米)，所以，这个平行四边形的面积是110平方厘米。 2. 如图，将平行四边形相邻两边的长各增加原边长的一倍，所得的平行四边形面积是原平行四边形的多少倍? 解析：新的平行四边形可由4个原来的平行四边形拼成，故面积是原来的4倍。 3. 一个平行四边形的底是另一个平行四边形的1.5倍，高是另一个平行四边形的2.5倍，那么，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的几倍? 解析：设一个底是a，则另一个底是1.5a；同理，一个高是 b，则另一个高是2.5b，所以，(1.5a×2.5b)÷(a× b)=3.75，这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的3.75倍。 【课内精选二】平行四边形的面积（二）。 一块平行四边形的棉花地，底是120米，高150米。用计算器计算下面的问题。 （1）这块棉花地的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果平均每公顷地可产棉花1500千克，这块地一共可产棉花多少千克？ 【答案】（1）18000平方米；合1.8公顷； （2）2700千克 【分析】（1）根据平行四边形的面积＝底×高及求出面积，再根据1公顷＝10000平方米变换单位； （2）根据（1）得出的公顷数再乘1500就求出这块地一共可产棉量。 【详解】（1）120×150 ＝18000（平方米） ＝1.8（公顷） 答：这块棉花地的面积是18000平方米，合1.8公顷。 （2）1.8×1500＝2700（千克） 答：这块地一共可产棉花2700千克。 【点睛】此题考查的是平行四边形的面积公式的应用，根据平行四边形面积公式求出这块地的面积是解题关键。 【专项训练】 1．一块平行四边形试验田，底是120米，高是75米，每公顷可收水稻8吨，这块试验田一共可收水稻多少吨？ 【答案】7.2吨 【分析】这个平行四边形的底边是120米，高是75米，根据平行四边形的面积＝底×高，求出这块稻田的面积，然后根据10000平方米＝1公顷，求出这块地一共有多少公顷，再用单产量乘这块田的公顷数就是总产量。 【详解】120×75＝9000（平方米） 9000平方米＝0.9公顷 8×0.9＝7.2（吨） 答：这块田可收7.2吨稻谷。 【点睛】解决本题先根据平行四边形的面积公式求出这块地的面积，再换算单位，然后根据乘法的意义求解。 2．一块平行四边形的菜地，底是25米，高是14米，每平方米收青菜4千克。这块地共收青菜多少千克？ 【答案】1400千克 【分析】用25×14求出平行四边形的面积，再乘每平方米收青菜的质量即可。 【详解】25×14×4 ＝350×4 ＝1400（千克）； 答：这块地共收青菜1400千克。 【点睛】先求出平行四边形的面积是解答本题的关键。 3．有一块平行四边形果园，它的底为800米，高比底短250米，整个果园占地多少公顷？ 【答案】44公顷 【分析】800减去250等于平行四边形的高，再根据底乘高等于平行四边形的面积即可求出果园的面积，最后把单位换算成公顷。 【详解】800×（800－250） ＝800×550 ＝440000（平方米） ＝44公顷 答：整个果园占地44公顷。 【点睛】先计算出平行四边果园的高，再作进一步解答。 【课内精选三】三角形的面积（一）。 如图，三角形ABC的面积是20平方厘米，底BC长8厘米；平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，底BC长10厘米，求三角形的高AD是平行四边形的高AE的几倍。 解析： 通过两个图形的面积和底，我们先分别求出这两个图形对应的高，再计算多少倍。因此三角形的高AD是20×2÷ 8=5(厘米)；平行四边形的高AE是40÷10=4(厘米)；5÷4=1.25，所以，三角形的高AD是平行四边形的高AE的1.25倍。 【专项训练】 1. 如图，AB=BC=EG=DG，平行四边形ACDE的面积是三角形ABF的多少倍? 解析：4倍。 2. 如图所示，已知平行四边形的面积是32平方厘米，求阴影部分的面积。 解析：32÷4=8(厘米)，(8－6)×4÷2=4(平方厘米)。 【课内精选四】三角形的面积（二）。 一块三角形钢板，底长6米，高4米，每平方米钢板质量重35千克，这块钢板共重多少？ 【答案】420千克 【分析】三角形面积＝底×高÷2，据此先求出三角形钢板的面积，再将面积乘35千克，求出这块钢板共重多少千克。 【详解】（6×4÷2）×35 ＝12×35 ＝420（千克） 答：这块钢板共重420千克。 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题关键是熟记面积公式。 【专项训练】 1．一张长方形纸长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？ 【答案】34面 【分析】根据长方形的面积公式求出长方形纸的面积，然后再根据三角形面积公式求出直角三角形的面积，最后根据除法的意义，用长方形纸的面积除以一个直角三角形的面积，即可求出最多可以剪多少个面。 【详解】17×12＝204（平方厘米） 3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 204÷6＝34（面） 答：最多可以剪34面。 【点睛】本题考查了长方形面积公式和三角形面积公式的灵活应用。 2．妙想家在一块底是5米，高是4.6米的三角形空地上种满了鲜花。如果每平方米土地的鲜花卖300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 【答案】3450元 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形空地的面积，再乘每平方米土地上鲜花的价格，即可求出这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元。 【详解】5×4.6÷2×300 ＝23÷2×300 ＝11.5×300 ＝3450（元） 答：这块三角形空地上的鲜花可以卖3450元。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式求解。 3．一块三角形的菜地，底32米，高20.5米，这块菜地的面积是多少平方米？如果平均每平方米收萝卜1.5千克，这块地一共收萝卜多少千克？ 【答案】328平方米；492千克 【分析】根据“三角形的面积＝底×高÷2”先求出三角形菜地的面积；再根据“单位面积的产量×面积＝总产量”求出一共收的萝卜的质量。 【详解】32×20.5÷2 ＝656÷2 ＝328（平方米） 答：这块菜地的面积是328平方米。 328×1.5＝492（千克） 答：这块地一共收萝卜492千克。 【点睛】明确三角形的面积计算公式是解决此题的关键，利用公式计算三角形面积时，底乘高后不要忘记除以2。 【奥数拓展一】平行四边形中的中点四边形。 如图所示，平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点.已知四边形ABCD的面积为120平方厘米，则三角形PQT的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结PS、QR,因为点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA的中点，所以，平行四边形PQRS的面积是平行四边形 ABCD的一半，即120÷2=60(平方厘米)；很明显，三角形PQT的面积又是平行四边形PQRS的一半，60÷2=30(平方厘米)，所以，三角形PQT的面积为30平方厘米。 【专项训练】 如图所示，平行四边形的面积是72平方厘米，点E、F分别是AD、AB的中点，求阴影部分的面积。 解析：27 【奥数拓展二】利用三角形推算平行四边形的面积。 如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形BECF的面积. 解析： 根据题意，10厘米和5厘米是平行四边形ABCD对应的底和高，因此，它的面积是10×5=50(平方厘米)，而三角形 BCE是平行四边形ABCD的一半，又是平行四边形BECF的一半，所以，平行四边形BECF的面积与平行四边形ABCD的面积相等，均为50平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，那么，平行四边形BDEF的面积是多少? 解析：12×8=96(平方厘米) 2. 如图，已知平行四边形ABCD的底CD为25厘米，CD边上的高为15厘米，求平行四边形AEFG的面积。 解析：连结BG，25×15=375(平方厘米) 3. 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么，长方形的宽DE是多少厘米? 解析：连结AG，三角形ADG的面积分别是正方形ABCD和长方形DEFG的一半，因此，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，长方形DEFG的面积是 4×4=16(平方厘米)，所以，长方形的宽DE是16÷5=3.2(厘米)。 【奥数拓展三】利用平移法求面积。 如图是一块长方形的草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，都是平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 解析： 我们知道，两个平行四边形的面积与10×2、16×2的长方形的面积相等，把两个平行四边形换成10×2、16×2的长方形，然后将横、竖两条道路都移至边上，如图，草地部分(阴影部分)的面积还是与原来一样大小 (16－2)×(10-2)= 112(平方米)。 答：草地部分的面积是112平方米。 【专项训练】 如图所示，有一块长方形草地，长是22米，宽是16米，中间有两条平行四边形大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 解析：(22－2)×(16－2)=280(平方米) 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形草坪，长20米，宽15米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积。 解析：20×15－(20－2)×(15－2)=66(平方米) 3. 如图所示，若阴影部分的面积是54，则小正方形的面积是多少? 解析：54÷6=9 【奥数拓展四】锯齿模型。 如图所示，平行四边形ABCD的底是18厘米，高是12厘米，线段EF与AD平行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 解析：18×12÷2=216÷2=108(平方厘米) 【专项训练】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是30厘米，对应的高是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：30×10÷2=150(平方厘米) 2. 如图所示，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，A、B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 解析：10×6÷ 2÷2=15(平方厘米) 3. 如图，ABFE和CDEF都是平行四边形，AB的长是8厘米，平行四边形ABCD 中AB边上的高是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：6×8÷2=24(平方厘米) 【奥数拓展五】等高模型（一）。 如图所示，BE的长是3，EC的长是6，那么，三角形 AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 解析： 我们知道，三角形AEC的面积=6×AD÷2，三角形ABE的面积=3×AD÷2，因为EC的长6是BE的长3的2倍，所以，三角形AEC的面积是三角形ABE的2倍。 【专项训练】 如图，BE的长是1.5，EC的长是4.5，那么，三角形AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 解析：3倍。 【奥数拓展六】等高模型（二）。 如图所示，三角形ABC的面积是2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形BDE的面积。 解析： 根据题意，BE=2AB，因此，连结CE，如图，分别以AB、BE作为三角形ABC和三角形BCE的底，不难知道三角形ABC和三角形BCE是两个等高的三角形，因此三角形BCE的面积是三角形ABC的2倍；同样道理，BC=CD，三角形 CDE的底和高与三角形BCE的底和高分别相等，也就是说三角形CDE的面积与三角形BCE相等，所以，三角形BDE的面积是三角形ABC面积的2+2=4倍，所以， 三角形BDE的面积是2×4=8(平方厘米)。 【专项训练】 1. 如图所示，三角形ABC的面积是60，D是BC的中点，AE长是ED长的2倍，那么，三角形CDE的面积是多少? 解析：60÷2= 30；30÷(1+2)=10 2. 如图，在三角形ABC中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE的面积是20平方厘米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 解析： 因为AC=4AE，所以△ACD的面积是△ADE的4倍，也就是20×4=80(平方厘米)，那么△EDC的面积是80－20=60(平方厘米)；因为CD=2BD，所以△ACD的面积是△ABD的2倍，△ABD的面积也就是80÷2=40(平方厘米)，60+40=100(平方厘米) ，所以，△ABD与△EDC的面积之和是100平方厘米。 3. 如图所示，四边形ABCD的面积为60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点G、H分别是BE、DF的中点，那么阴影四边形EGFH的面积为多少平方厘米? 解析： 连结BD，由ED=2AE，BF=2FC，有S△BDE = 2S△ABE，S△BDF=2S△CDF，因此，四边形BEDF的面积是60÷(2+1)×2=40(平方厘米)；再连结EF，由BG=EG，HF=HD，得阴影四边形EGFH的面积是四边形BEDF面积的一半，40÷2=20(平方厘米)，所以，阴影四边形EGFH的面积为20平方厘米。 【奥数拓展七】容斥原理（一）。 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析： 如果想直接求阴影部分的面积，显然有很大的困难，我们不妨利用转化的方法，因为三角形ABC和三角形DEF完全相同，而它们的重叠部分是△COD，那么，甲的面积等于乙的面积，可以先求出乙的面积，因为EF=9厘米，那么BC=9厘米，而BO=3厘米，所以OC=9－3=6(厘米)，即乙的面积是(6+9)× 2÷2=15(平方厘米)，所以，甲的面积等于15平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：(20-5+20)×8÷2=35×4=140(平方厘米) 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：[(8－3)+8]×5÷2=32.5(平方厘米) 3. 如图所示，已知四边形ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 解析：C 【奥数拓展八】容斥原理（二）。 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多2平 方厘米，求DE的长度。 解析： 正方形ABCD的面积是4×4=16(平方厘米) 三角形ABE的面积是16－2=14(平方厘米) (AD+DE)×AB÷2=14，即(4+DE)×4÷2=14，所以，DE的长度是3厘米。 【专项训练】 1. 如图，三角形ABC和三角形BCD是两个直角三角形，AB长3厘米，BC长10 厘米，DC长6厘米.三角形ABE比三角形CDE的面积小多少平方厘米? 解析：10×6÷2－10×3÷2=15(平方厘米) 2. 如图，四边形ABCD是一个长方形，三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方厘米，CF的长是多少厘米? 解析： 长方形ABCD的面积是10×6=60(平方厘米)，三角形ABF的面积是60+10=70(平方厘米)，BF的长是70×2÷10=14(厘米)，CF的长是14－6=8(厘米) 3. 如图，四边形AEFG是平行四边形，三角形CGF是直角三角形，GF长8厘米， CF长7厘米，阴影部分的面积比三角形BCD大12平方厘米，求DF的长。 解析：8×7÷2=28(平方厘米)，28+12=40(平方厘米)，40÷8=5(厘米) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$