（篇五）第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 11 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 11 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主，其中包括五种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 ......................................... 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 ......................................... 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 ......................................... 6 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 ............................................. 7 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 ...................9 3 / 11 【第三篇】典型例题篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 如图，四边形 ABCD 中，AC和 BD相交于 O点，三角形 ADO的面积是 5，三 角形 DOC的面积是 4，三角形 AOB的面积是 15，求三角形 BOC的面积是多少？ 4 / 11 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD分成四个部分，△AOB 面积为 1平方千米，△BOC面积为 2平方千米，△COD的面积为 3平方千米， 公园由陆地面积 6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是 52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形， 其中两个小三角形的面积分别是 6公顷和 7公顷，求四个三角形中最大的一个的 面积。 5 / 11 【对应练习 1】 如图的四边形土地的总面积是 18公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形土 地，其中 2个小三角形土地的面积分别是 8公顷和 4公顷。那么最大的一个三角 形土地的面积是多少公顷？ 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD被分成四个三角形，四边形 ABCD的面积是 42平方厘米，其 中两个小三角形的面积分别是 3平方厘米和 4平方厘米，那么最大的一个三角形 的面积是多少平方厘米？ 6 / 11 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O 点，如果三角形 ABD 的面积是 30平方厘米，三角形 ABC 的面积是 48平方厘米，三角形 BCD的面积是 50平 方厘米。请问：三角形 BOC的面积是多少？ 7 / 11 【对应练习】 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO＝1，并且 5:3: CBDABD SS △△ ，那么 OC的长是多少？（单位：厘米） A B C D O 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分 成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即： 42 SS  ； （2） ababbaSSSS :::::: 224231  ； （3）梯形 S的对应份数为  2ba  。 【典型例题】 如图，梯形 ABCD 的 AB平行于 CD，对角线 AC、BD 交于 O，已知△AOB与 △BOC的面积分别为 25平方厘米与 40平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是多 少平方厘米？ 8 / 11 【对应练习 1】 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知△AOB 与△BOC的面积分别为 25平方厘米与 35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 多少平方厘米？ 35 25 O A B CD 【对应练习 2】 如图：梯形 ABCD中，已知三角形 CDO面积是 12平方厘米，且 BO＝2DO，梯 形 ABCD的面积是( )平方厘米。 9 / 11 【对应练习 3】 如下图，在梯形 ABCD中，三角形 ABE的面积等于 30平方厘米，BD＝4ED， 梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？ 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建 蝴蝶模型。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分 成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即： 42 SS  ； （2） ababbaSSSS :::::: 224231  ； （3）梯形 S的对应份数为  2ba  。 【典型例题】 如图所示，已知正方形 ABCD的边长是 12厘米，E是 CD边上的中点，连接对 角线 AC，交 BE于点 O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 10 / 11 【对应练习 1】 如图所示，BD、CF将长方形 ABCD分成 4块，△DEF的面积是 4cm²，△CED 的面积 6cm²。问：三角形 BEC的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 如图，已知长方形 ABCD的面积为 120平方厘米，且 AE∶ED＝1∶2，那么 S 阴 ＝( )平方厘米。 11 / 11 【对应练习 3】 如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少平方厘米． 1 / 14 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 14 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主，其中包括五种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 ......................................... 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 ......................................... 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 ......................................... 7 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 ............................................. 8 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 .................11 3 / 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 如图，四边形 ABCD 中，AC和 BD相交于 O点，三角形 ADO的面积是 5，三 角形 DOC的面积是 4，三角形 AOB的面积是 15，求三角形 BOC的面积是多少？ 解析：4×15÷5=12。 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD分成四个部分，△AOB 面积为 1平方千米，△BOC面积为 2平方千米，△COD的面积为 3平方千米， 公园由陆地面积 6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 4 / 14 O D C B A 解析： 根据风筝模型求得 3 1 2 1.5AODS    △ 平方千米，公园四边形 ABCD的面积是 1 2 3 1.5 7.5    平方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58  平方千米。 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是 52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形， 其中两个小三角形的面积分别是 6公顷和 7公顷，求四个三角形中最大的一个的 面积。 5 / 14 解析： △ABE和△ADE的高相等，所以它们的面积之比是底之比，且它们的面积和是： 52-6-7=39公顷。 △ABE的面积：39÷（6+7）×6=18（公顷） △ADE的面积：39÷（6+7）×7=21（公顷） 因此△ADE的面积最大。 【对应练习 1】 如图的四边形土地的总面积是 18公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形土 地，其中 2个小三角形土地的面积分别是 8公顷和 4公顷。那么最大的一个三角 形土地的面积是多少公顷？ 【答案】8公顷 【分析】三角形 BOC和三角形 DOC是等高不等底的两个三角形，所以这两个 三角形的面积比就等于这两个三角形底的比。即 OB∶OD＝8∶4＝2∶1。同理三 角形 AOB和三角形 AOD也是等高不同底的两个三角形，则三角形 AOB的面积∶ 三角形 AOD＝OB∶OD＝2∶1。且这两个三角形的和＝四边形的面积－三角形 BOC面积－三角形 DOC面积，按比例分配求出另外两个小三角形的面积，对比 四个三角形的面积，找出最大的三角形面积。 【详解】三角形 AOB和三角形 AOD面积和：18－8－4＝6（公顷） : 8 : 4 2 :1OB OD   6 / 14 三角形 AOB面积：6× 22 1 ＝4（公顷） 三角形 AOD面积：6× 12 1 ＝2（公顷） 8＞4＞2 答：最大的一个三角形土地的面积是 8公顷。 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD被分成四个三角形，四边形 ABCD的面积是 42平方厘米，其 中两个小三角形的面积分别是 3平方厘米和 4平方厘米，那么最大的一个三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】 DEC 和 CEB 等高，所以 DE∶EB＝S DEC ∶S CEB ＝3∶4。同理 AED 和 AEB 等高，所以S AED ∶S AEB ＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角 形的面积得到 AED 和 AEB 的面积和，再根据S AED ∶S AEB ＝3∶4，那么S AED 和S AEB 分别是把面积和平均分成 3＋4＝7份中的 3份和 4份，求出一份的面积再乘最大 的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为 1S ah 2 ＝ ，并且 DEC 和 CEB 等高，所以 DE∶EB＝S DEC ∶S CEB ＝3∶4。 因为 AED 和 AEB 等高，所以S AED ∶S AEB ＝DE∶EB＝3∶4。 因为S AED ＋S AEB ＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以S AED  35 3 4 3 35 7 3 15        （平方厘米） S AEB ＝35－15＝20（平方厘米） 因为 3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是 20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是 20平方厘米。 【点睛】本题考查对三角形高的认识、三角形面积的灵活计算及按比分配问题。 7 / 14 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了 4个三角形，由 于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘， 乘积相等，�� × �� = �� × ��。 【典型例题】 图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O 点，如果三角形 ABD 的面积是 30平方厘米，三角形 ABC 的面积是 48平方厘米，三角形 BCD的面积是 50平 方厘米。请问：三角形 BOC的面积是多少？ 解析： 设△BOC、△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S ,因为 1S : 2S =CO:OA， 4S : 3S =CO:OA，所以 ( 1S + 4S ):( 2S + 3S )=CO:OA，即 30:50::  OACOSS ABDBCD △△ 3:5 。 【对应练习】 8 / 14 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO＝1，并且 5:3: CBDABD SS △△ ，那么 OC的长是多少？（单位：厘米） A B C D O 解析：AO:OC= 5:3: CBDABD SS △△ ，所以 OC=1÷3×5= 3 5 （厘米）。 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分 成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即： 42 SS  ； （2） ababbaSSSS :::::: 224231  ； （3）梯形 S的对应份数为  2ba  。 【典型例题】 如图，梯形 ABCD 的 AB平行于 CD，对角线 AC、BD 交于 O，已知△AOB与 △BOC的面积分别为 25平方厘米与 40平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是多 少平方厘米？ 9 / 14 解析：AO:OC= BOCAOB SS △△ : =25:40=5:8，所以△COD的面积是：40÷5×8=64（平 方厘米）。 【对应练习 1】 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知△AOB 与△BOC的面积分别为 25平方厘米与 35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 多少平方厘米？ 35 25 O A B CD 解析：△AOD的面积与△BOC的面积相等为 35平方厘米，AO:OC=25:35=5:7， △COD 的面积是：35÷5×7=49（平方厘米），因此梯形 ABCD 的面积是 25+35+35+49=144（平方厘米）。 【对应练习 2】 如图：梯形 ABCD中，已知三角形 CDO面积是 12平方厘米，且 BO＝2DO，梯 形 ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】三角形 BCO和三角形 CDO等高，BO＝2DO，三角形 BCO是三角形 10 / 14 CDO面积的 2倍；三角形 ABO和三角形 ADO等高，三角形 ABO是三角形 ADO 面积的 2倍，三角形 ABO的面积＝三角形 CDO的面积，据此求出梯形 ABCD 中 4个小三角形的面积和即可。 【详解】12×2＋12×2＋12÷2 ＝24＋24＋6 ＝54（平方厘米） 【点睛】关键是掌握三角形面积求法，等高，底是 2倍关系的两个三角形，面积 也是 2倍关系。 【对应练习 3】 如下图，在梯形 ABCD中，三角形 ABE的面积等于 30平方厘米，BD＝4ED， 梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】因为三角形 ABD 与三角形 ACD同底等高，所以三角形 ABD与三角形 ACD的面积相等，同时减去三角形 ADE，三角形 ABE与三角形 CDE的面积相 等，都等于 30平方厘米；因为三角形 ABE与三角形 ADE同高，BD＝4ED，即 BE＝3ED，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形 ADE的面积是 30÷3＝10（平 方厘米），三角形 ACD的面积是 10＋30＝40（平方厘米）；因为三角形 CDE 与三角形 BCE同高，BD＝4ED，所以三角形 BCE的面积是 30×3＝90（平方厘 米）；此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的 面积相加，30＋10＋30＋90＝160（平方厘米）就是梯形的面积；据此解答。 【详解】因为三角形 ABE与三角形 CDE的面积相等，所以三角形 CDE的面积 是 30平方厘米 因为 BD＝4ED，即 BE＝3ED，所以三角形 ADE的面积是：30÷3＝10（平方厘 米） 三角形 BCE的面积是：30×3＝90（平方厘米） 梯形 ABCD的面积是：30＋30＋10＋90＝160（平方厘米） 11 / 14 答：梯形 ABCD的面积是 160平方厘米。 【点睛】注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积；本 题把梯形转化成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建 蝴蝶模型。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分 成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即： 42 SS  ； （2） ababbaSSSS :::::: 224231  ； （3）梯形 S的对应份数为  2ba  。 【典型例题】 如图所示，已知正方形 ABCD的边长是 12厘米，E是 CD边上的中点，连接对 角线 AC，交 BE于点 O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 解析： 梯形 ABCE 的面积=正方形的面积-△ADE 的面积=12×12-12×6÷2=108（平方厘 12 / 14 米），梯形共被分了(6+12)²份，△AOB 的面积占了 12²份，所以它的面积是： 108÷18²×12²=48（平方厘米）。 【对应练习 1】 如图所示，BD、CF将长方形 ABCD分成 4块，△DEF的面积是 4cm²，△CED 的面积 6cm²。问：三角形 BEC的面积是多少平方厘米？ 解析：连接BF，△BEF的面积与△CDE的面积相等为6平方厘米，FE:EC=4:6=2:3， 所以△BEC的面积是：6÷2×3=9（平方厘米）。 【对应练习 2】 如图，已知长方形 ABCD的面积为 120平方厘米，且 AE∶ED＝1∶2，那么 S 阴 ＝( )平方厘米。 13 / 14 【答案】44 【分析】长方形对边平行，可以作为梯形的上、下底，不妨连接 BE.得到梯形 BCDE，上底与下底之比为 2∶3，然后使用蝴蝶定理。 【详解】连接 BE，如下图标记面积。 阴影四边形 ABFE的面积为 120× 1130＝ 44（平方厘米）。 所以，S 阴＝44平方厘米。 【点睛】如果一个图形本身不是一个梯形，要善于在平行四边形，特别是长方形 和正方形中构造出梯形，然后利用蝴蝶定理解题。 【对应练习 3】 如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少平方厘米． 【答案】9平方厘米 14 / 14 【详解】 连接��、��．四边形EDCF为梯形，所以 EOD FOCS S   ， 又根据蝴蝶定理， EOD FOC EOF CODS S S S      ， 所以 2 8 16EOD FOC EOF CODS S S S         ． 所以 4EODS  (平方厘米)， 4 8 12ECDS    (平方厘米)． 那么长方形 ABCD的面积为12 2 24  平方厘米． 四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9    (平方厘米)． 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主，其中包括五种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 6 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 7 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 9 【第三篇】典型例题篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 【对应练习1】 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 【对应练习2】 如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 【对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO＝1，并且，那么OC的长是多少？（单位：厘米） 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 【典型例题】 如图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO＝2DO，梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD＝4ED，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 【典型例题】 如图所示，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm²，△CED的面积6cm²。问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，且AE∶ED＝1∶2，那么S阴＝( )平方厘米。 【对应练习3】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主，其中包括五种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 7 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 8 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 11 【第三篇】典型例题篇 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ 解析：4×15÷5=12。 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 解析： 根据风筝模型求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米。 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 解析： △ABE和△ADE的高相等，所以它们的面积之比是底之比，且它们的面积和是：52-6-7=39公顷。 △ABE的面积：39÷（6+7）×6=18（公顷） △ADE的面积：39÷（6+7）×7=21（公顷） 因此△ADE的面积最大。 【对应练习1】 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 【答案】8公顷 【分析】三角形BOC和三角形DOC是等高不等底的两个三角形，所以这两个三角形的面积比就等于这两个三角形底的比。即OB∶OD＝8∶4＝2∶1。同理三角形AOB和三角形AOD也是等高不同底的两个三角形，则三角形AOB的面积∶三角形AOD＝OB∶OD＝2∶1。且这两个三角形的和＝四边形的面积－三角形BOC面积－三角形DOC面积，按比例分配求出另外两个小三角形的面积，对比四个三角形的面积，找出最大的三角形面积。 【详解】三角形AOB和三角形AOD面积和：18－8－4＝6（公顷） 三角形AOB面积：6×＝4（公顷） 三角形AOD面积：6×＝2（公顷） 8＞4＞2 答：最大的一个三角形土地的面积是8公顷。 【对应练习2】 如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。同理和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到和的面积和，再根据∶＝3∶4，那么和分别是把面积和平均分成3＋4＝7份中的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为，并且和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。 因为和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。 因为＋＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以（平方厘米） ＝35－15＝20（平方厘米） 因为3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 【点睛】本题考查对三角形高的认识、三角形面积的灵活计算及按比分配问题。 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用。 【方法点拨】 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 解析： 设△BOC、△AOB、△AOD、△COD的面积分别为、、、,因为:=CO:OA，:=CO:OA，所以(+):(+)=CO:OA，即 。 【对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO＝1，并且，那么OC的长是多少？（单位：厘米） 解析：AO:OC=，所以OC=1÷3×5=（厘米）。 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 【典型例题】 如图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：AO:OC==25:40=5:8，所以△COD的面积是：40÷5×8=64（平方厘米）。 【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：△AOD的面积与△BOC的面积相等为35平方厘米，AO:OC=25:35=5:7，△COD的面积是：35÷5×7=49（平方厘米），因此梯形ABCD的面积是25+35+35+49=144（平方厘米）。 【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO＝2DO，梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】三角形BCO和三角形CDO等高，BO＝2DO，三角形BCO是三角形CDO面积的2倍；三角形ABO和三角形ADO等高，三角形ABO是三角形ADO面积的2倍，三角形ABO的面积＝三角形CDO的面积，据此求出梯形ABCD中4个小三角形的面积和即可。 【详解】12×2＋12×2＋12÷2 ＝24＋24＋6 ＝54（平方厘米） 【点睛】关键是掌握三角形面积求法，等高，底是2倍关系的两个三角形，面积也是2倍关系。 【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD＝4ED，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】因为三角形ABD与三角形ACD同底等高，所以三角形ABD与三角形ACD的面积相等，同时减去三角形ADE，三角形ABE与三角形CDE的面积相等，都等于30平方厘米；因为三角形ABE与三角形ADE同高，BD＝4ED，即BE＝3ED，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形ADE的面积是30÷3＝10（平方厘米），三角形ACD的面积是10＋30＝40（平方厘米）；因为三角形CDE与三角形BCE同高，BD＝4ED，所以三角形BCE的面积是30×3＝90（平方厘米）；此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的面积相加，30＋10＋30＋90＝160（平方厘米）就是梯形的面积；据此解答。 【详解】因为三角形ABE与三角形CDE的面积相等，所以三角形CDE的面积是30平方厘米 因为BD＝4ED，即BE＝3ED，所以三角形ADE的面积是：30÷3＝10（平方厘米） 三角形BCE的面积是：30×3＝90（平方厘米） 梯形ABCD的面积是：30＋30＋10＋90＝160（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是160平方厘米。 【点睛】注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积；本题把梯形转化成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型。 【方法点拨】 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 【典型例题】 如图所示，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 解析： 梯形ABCE的面积=正方形的面积-△ADE的面积=12×12-12×6÷2=108（平方厘米），梯形共被分了(6+12)²份，△AOB的面积占了12²份，所以它的面积是：108÷18²×12²=48（平方厘米）。 【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm²，△CED的面积6cm²。问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ 解析：连接BF，△BEF的面积与△CDE的面积相等为6平方厘米，FE:EC=4:6=2:3，所以△BEC的面积是：6÷2×3=9（平方厘米）。 【对应练习2】 如图，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，且AE∶ED＝1∶2，那么S阴＝( )平方厘米。 【答案】44 【分析】长方形对边平行，可以作为梯形的上、下底，不妨连接BE.得到梯形BCDE，上底与下底之比为2∶3，然后使用蝴蝶定理。 【详解】连接BE，如下图标记面积。 阴影四边形ABFE的面积为120×＝ 44（平方厘米）。 所以，S阴＝44平方厘米。 【点睛】如果一个图形本身不是一个梯形，要善于在平行四边形，特别是长方形和正方形中构造出梯形，然后利用蝴蝶定理解题。 【对应练习3】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 【答案】9平方厘米 【详解】 连接、．四边形为梯形，所以， 又根据蝴蝶定理，， 所以． 所以(平方厘米)，(平方厘米)． 那么长方形的面积为平方厘米． 四边形的面积为(平方厘米)． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$