（篇四）第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 14 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 14 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用 ............................................................................3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 ............................................................................4 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） .............................. 5 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） ...............8 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） ................................10 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 ........................................12 3 / 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，BD长 12厘米，DC长 4厘米，B、C和 D在同一条直线长，三角形 ABC 底边 BC边上的高 AE长 9厘米。 （1）求三角形 ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍？ （2）求三角形 ABC的面积是三角形 ADC面积的多少倍？ 4 / 14 【对应练习】 如图，求三角形 ABD的面积是三角形 ADC面积的几倍？三角形 ABC的面积是 三角形 ADC面积的几倍？ 【考点二】等高模型问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 5 / 14 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求 S△ABC。 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知 S△ABD=12cm2，求 S△ABC。 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 6 / 14 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知 S△ABC=12cm2，求 S△DEC 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知 S△ABC=8cm2，求 S△ADE 7 / 14 【对应练习 2】 如图，在△ABC中，D、E分别是 BC、AC的中点，已知 S△BDE=8cm2， 求 S△ABC. 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求 S△ADE. 8 / 14 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三 等分点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知 S△ABC=144cm2，求 S△BDE. 9 / 14 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知 S△BDE=24cm2，求 S△ABC. 【对应练习 2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知 S△ABC=48cm2，求 S△BDE. 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知 S△ADE=6cm2，求 S△ABC. 10 / 14 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 已知三角形 ABC的面积为 60平方厘米，D为 BC中点，AE＝2ED，F为 EC的 四等分点中靠近 C的一点，那么阴影三角形 AEF的面积是多少平方厘米？ 11 / 14 【对应练习 1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【对应练习 2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、 （2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【对应练习 3】 如图，在三角形 ABC中，D是边 AB的中点，可知 AD＝BD，则三角形 BCD与 三角形 ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形 ABC中，D、E分别是 AB和 AC两边的中点。已知三角形 ADE的面积是 2cm2，则三角形 ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形 ABC中，把 AB边三等分、AC边四等分。已知三角形 ADE 的面积是 2cm2，则三角形 ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形 ABCD中，把 AB边五等分、AD边六等分。已知平行 四边形 ABCD的面积是 15cm2，则三角形 AEF的面积是( )cm2。 12 / 14 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知 AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积 相等的 6个三角形，求出 AG+AH。 13 / 14 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成 4个面积相等 4小 三角形，求 BE+BF。 【对应练习 2】 如图，在△ABC的边长都是 24cm，用折线把△ABC分割成 4个面积相等 4小三 角形，求 BE+AF。 14 / 14 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，已知 AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的 5个 三角形，求出 BF+BG。 1 / 17 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 17 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用 ............................................................................3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 ............................................................................4 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） .............................. 5 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） ...............7 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） ..................................9 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 ........................................14 3 / 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，BD长 12厘米，DC长 4厘米，B、C和 D在同一条直线长，三角形 ABC 底边 BC边上的高 AE长 9厘米。 （1）求三角形 ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍？ （2）求三角形 ABC的面积是三角形 ADC面积的多少倍？ 4 / 17 解析： BD的长度是 CD的 3倍，而对于△ABD 与△ADC高相等，所以△ABD的面积 是△ADC的 3倍。同理 BC的长度是 CD的 4倍，所以△ABC的面积是△ADC 的 4倍。 【对应练习】 如图，求三角形 ABD的面积是三角形 ADC面积的几倍？三角形 ABC的面积是 三角形 ADC面积的几倍？ 解析： BD是 CD的 3倍。所以 S△ABD=3S△ADC； BC是 CD的 4倍。所以 S△ABC=4S△ADC 【考点二】等高模型问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 5 / 17 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求 S△ABC。 解析：S△ABC=20×（1+2）=6（cm2） 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知 S△ABD=12cm2，求 S△ABC。 解析：S△ABC=12÷2×（2+3）=30（cm2） 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 6 / 17 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知 S△ABC=12cm2，求 S△DEC 解析：S△CDE=12÷2÷2=3（cm2） 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知 S△ABC=8cm2，求 S△ADE 解析：S△ADE=8÷2÷2=2（cm2） 【对应练习 2】 7 / 17 如图，在△ABC中，D、E分别是 BC、AC的中点，已知 S△BDE=8cm2， 求 S△ABC. 解析：S△ACD=8×2×2=32（cm2） 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求 S△ADE. 解析： S△ABD=36÷2=18（cm2） BE=DE=18×2÷9=4（cm） S△ADE=（9-4）×4÷2=10（cm2） 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三 等分点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 8 / 17 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知 S△ABC=144cm2，求 S△BDE. 解析：S△BDE=144÷2÷（1+3）=18（cm2） 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知 S△BDE=24cm2，求 S△ABC. 解析：S△ABC=24÷3×（1+3）×2=64（cm2） 【对应练习 2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知 S△ABC=48cm2，求 S△BDE. 9 / 17 解析：S△BDE=48÷（1+3）×3÷（1+3）=9（cm2） 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知 S△ADE=6cm2，求 S△ABC. 解析：S△ABC=6×（1+3）÷2×（1+2）=36（cm2） 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 10 / 17 【典型例题】 已知三角形 ABC的面积为 60平方厘米，D为 BC中点，AE＝2ED，F为 EC的 四等分点中靠近 C的一点，那么阴影三角形 AEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】15平方厘米 【分析】三角形 ABC和三角形 ACD的高是相等的，且 D是 BC的中点，因此 CD＝ 1 2 BC，所以三角形 ACD的面积等于三角形 ABC面积的 1 2 ；又因为三角形 ACD和三角形 ACE的高相等，且 AE＝2ED，所以 AE＝ 2 3 AD，因此三角形 ACE 的面积等于三角形 ACD面积的 2 3 ；三角形 ACE和三角形 AEF的高相等，且 F 为 EC的四等分点中靠近 C的一点，因此 EF＝ 3 4 CE，所以阴影三角形 AEF的面 积等于三角形 ACE面积的 3 4 ，据此解答。 【详解】由分析得： 三角形 ACD的面积： 1 60 30 2   （平方厘米） 三角形 ACE的面积： 2 30 20 3   （平方厘米） 三角形 AEF的面积： 3 20 15 4   （平方厘米） 答：阴影三角形 AEF的面积是 15平方厘米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，两个三角形的高相同时，一个三角形 的底是另一个三角形底的几分之几，这个三角形的面积就是另一个三角形面积的 几分之几。 11 / 17 【对应练习 1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【答案】 【详解】试题分析：将任意一条边四等分，利用等底等高的三角形面积相等可以 解决；还可以利用线段的中点去做． 解：如图 方法 1：在已知△ABC的任意一边（假设 BC边）上取三个四等分点 D，E，F， 顺次连接 AD，AE，AF，这样就将△ABC分成了面积相等的四个小三角形，如 上面第一幅图． 方法 2：在已知△ABC的任意一边（假设 BC边）上取三个四等分点 D，E，F， 12 / 17 用实线连接 AD，AE（或 AD，AF或 AE，AF），用虚线连接 AF（或 AE或 AD）， 然后在 AF（或 AE或 AD）上取中点 G，用实线连 GE，GC（或 GD，GF或 GB， GE），这样△ABC中的实线将其分成了四个面积相等的图形，如上面第二幅图． 点评：此题主要考查：①等底等高的三角形的面积相等；②等量加等量和相等． 【对应练习 2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、 （2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【答案】见详解 【分析】利用等底等高的三角形面积相等，可以将三角形的一条边或三角形上的 其他连线五等分，再与相对的顶点相连即可。 【详解】由分析可知，如图所示： 【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等。 【对应练习 3】 如图，在三角形 ABC中，D是边 AB的中点，可知 AD＝BD，则三角形 BCD与 三角形 ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形 ABC中，D、E分别是 AB和 AC两边的中点。已知三角形 ADE的面积是 2cm2，则三角形 ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形 ABC中，把 AB边三等分、AC边四等分。已知三角形 ADE 的面积是 2cm2，则三角形 ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形 ABCD中，把 AB边五等分、AD边六等分。已知平行 13 / 17 四边形 ABCD的面积是 15cm2，则三角形 AEF的面积是( )cm2。 【答案】(1)8 (2)24 (3)0.25 【分析】（1）根据题意，推理出因为 E是 AC边的中点，所以三角形 ADE的面 积等于三角形 CDE的面积。又因为 D是 AB边的中点，所以三角形 BCD与三 角形 ACD的面积相等。那么用三角形 ADE的面积乘 2，先求出三角形 ACD的 面积。再将三角形 ACD的面积乘 2，即可求出三角形 ABC的面积； （2）同理（1）可推出，把 AC边四等分，那么三角形 ADE的面积是三角形 ACD 面积的四分之一。把 AB边三等分，那么三角形 ACD是三角形 ABC的三分之一。 据此，将三角形 ADE的面积先乘 4，求出三角形 ACD的面积。再将三角形 ACD 的面积乘 3，求出三角形 ABC的面积； （3）将平行四边形的面积除以 2，先求出三角形 ABD的面积。再将三角形 ABD 面积除以 5，求出三角形 ADE的面积。最后再将三角形 ADE的面积除以 6，即 可求出三角形 AEF的面积。 【详解】（1）2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 所以，此时三角形 ABC的面积是 8cm2。 （2）2×4×3 ＝8×3 ＝24（cm2） 所以，此时三角形 ABC的面积是 24cm2。 （3）15÷2÷5÷6 ＝7.5÷5÷6 ＝1.5÷6 ＝0.25（cm2） 所以，此时三角形 AEF的面积是 0.25cm2。 14 / 17 【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应用 新方法去求三角形的面积。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因 此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三 角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果 DC＝2BD，则三角形 ADC的面积等于三角形 ABD的 2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知 AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积 相等的 6个三角形，求出 AG+AH。 15 / 17 解析： BD=12÷6=2（cm） AD=12-2=10（cm） CE=15÷5=3（cm） AE=15-3=12（cm） DF=10÷4=2.5（cm） AF=10-2.5=7.5（cm） GE=12÷3=4（cm） AG=12-4=8（cm） AH=FH=7.5÷2=3.75（cm） AG+AH=8+3.75=11.75（cm） 【对应练习 1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成 4个面积相等 4小 三角形，求 BE+BF。 解析： BD=12÷4×3=9（cm） BE=12÷3×2=8（cm） 16 / 17 BF=9÷2=4.5（cm） BE+BF=8+4.5=12.5（cm） 【对应练习 2】 如图，在△ABC的边长都是 24cm，用折线把△ABC分割成 4个面积相等 4小三 角形，求 BE+AF。 解析： AD=24÷4=6（cm） BD=24÷4×3=18（cm） BE=24÷3×2=16（cm） DF=18÷2=9（cm） AF=6+9=15（cm） BE+AF=16+15=31（cm） 【对应练习 3】 如图，在△ABC中，已知 AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的 5个 三角形，求出 BF+BG。 解析： BD= 48 5 460  （cm） 17 / 17 BE= 45 4 360  （cm） BF= 32 3 248  （cm） BG= 5.22 2 145  （cm） BF+BG=32+22.5=54.5（cm） 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用 3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 4 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 5 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 8 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 10 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 12 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上的高AE长9厘米。 （1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的几倍？ 【考点二】等高模型问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求S△ABC。 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知S△ABD=12cm2，求S△ABC。 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=12cm2，求S△DEC 【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=8cm2，求S△ADE 【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm2， 求S△ABC. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求S△ADE. 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知S△ABC=144cm2，求S△BDE. 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知S△BDE=24cm2，求S△ABC. 【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知S△ABC=48cm2，求S△BDE. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知S△ADE=6cm2，求S△ABC. 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE＝2ED，F为EC的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积相等的6个三角形，求出AG+AH。 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+BF。 【对应练习2】 如图，在△ABC的边长都是24cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+AF。 【对应练习3】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的5个三角形，求出BF+BG。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用 3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 4 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 5 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 7 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 9 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上的高AE长9厘米。 （1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 解析： BD的长度是CD的3倍，而对于△ABD与△ADC高相等，所以△ABD的面积是△ADC的3倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以△ABC的面积是△ADC的4倍。 【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的几倍？ 解析： BD是CD的3倍。所以S△ABD=3S△ADC； BC是CD的4倍。所以S△ABC=4S△ADC 【考点二】等高模型问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求S△ABC。 解析：S△ABC=20×（1+2）=6（cm2） 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知S△ABD=12cm2，求S△ABC。 解析：S△ABC=12÷2×（2+3）=30（cm2） 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=12cm2，求S△DEC 解析：S△CDE=12÷2÷2=3（cm2） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=8cm2，求S△ADE 解析：S△ADE=8÷2÷2=2（cm2） 【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm2， 求S△ABC. 解析：S△ACD=8×2×2=32（cm2） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求S△ADE. 解析： S△ABD=36÷2=18（cm2） BE=DE=18×2÷9=4（cm） S△ADE=（9-4）×4÷2=10（cm2） 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知S△ABC=144cm2，求S△BDE. 解析：S△BDE=144÷2÷（1+3）=18（cm2） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知S△BDE=24cm2，求S△ABC. 解析：S△ABC=24÷3×（1+3）×2=64（cm2） 【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知S△ABC=48cm2，求S△BDE. 解析：S△BDE=48÷（1+3）×3÷（1+3）=9（cm2） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知S△ADE=6cm2，求S△ABC. 解析：S△ABC=6×（1+3）÷2×（1+2）=36（cm2） 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE＝2ED，F为EC的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】15平方厘米 【分析】三角形ABC和三角形ACD的高是相等的，且D是BC的中点，因此CD＝BC，所以三角形ACD的面积等于三角形ABC面积的；又因为三角形ACD和三角形ACE的高相等，且AE＝2ED，所以AE＝AD，因此三角形ACE的面积等于三角形ACD面积的；三角形ACE和三角形AEF的高相等，且F为EC的四等分点中靠近C的一点，因此EF＝CE，所以阴影三角形AEF的面积等于三角形ACE面积的，据此解答。 【详解】由分析得： 三角形ACD的面积：（平方厘米） 三角形ACE的面积：（平方厘米） 三角形AEF的面积：（平方厘米） 答：阴影三角形AEF的面积是15平方厘米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，两个三角形的高相同时，一个三角形的底是另一个三角形底的几分之几，这个三角形的面积就是另一个三角形面积的几分之几。 【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【答案】 【详解】试题分析：将任意一条边四等分，利用等底等高的三角形面积相等可以解决；还可以利用线段的中点去做． 解：如图 方法1：在已知△ABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D，E，F，顺次连接AD，AE，AF，这样就将△ABC分成了面积相等的四个小三角形，如上面第一幅图． 方法2：在已知△ABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D，E，F，用实线连接AD，AE（或AD，AF或AE，AF），用虚线连接AF（或AE或AD），然后在AF（或AE或AD）上取中点G，用实线连GE，GC（或GD，GF或GB，GE），这样△ABC中的实线将其分成了四个面积相等的图形，如上面第二幅图． 点评：此题主要考查：①等底等高的三角形的面积相等；②等量加等量和相等． 【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【答案】见详解 【分析】利用等底等高的三角形面积相等，可以将三角形的一条边或三角形上的其他连线五等分，再与相对的顶点相连即可。 【详解】由分析可知，如图所示： 【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等。 【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。 【答案】(1)8 (2)24 (3)0.25 【分析】（1）根据题意，推理出因为E是AC边的中点，所以三角形ADE的面积等于三角形CDE的面积。又因为D是AB边的中点，所以三角形BCD与三角形ACD的面积相等。那么用三角形ADE的面积乘2，先求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘2，即可求出三角形ABC的面积； （2）同理（1）可推出，把AC边四等分，那么三角形ADE的面积是三角形ACD面积的四分之一。把AB边三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三分之一。据此，将三角形ADE的面积先乘4，求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘3，求出三角形ABC的面积； （3）将平行四边形的面积除以2，先求出三角形ABD的面积。再将三角形ABD面积除以5，求出三角形ADE的面积。最后再将三角形ADE的面积除以6，即可求出三角形AEF的面积。 【详解】（1）2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是8cm2。 （2）2×4×3 ＝8×3 ＝24（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是24cm2。 （3）15÷2÷5÷6 ＝7.5÷5÷6 ＝1.5÷6 ＝0.25（cm2） 所以，此时三角形AEF的面积是0.25cm2。 【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应用新方法去求三角形的面积。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积相等的6个三角形，求出AG+AH。 解析： BD=12÷6=2（cm） AD=12-2=10（cm） CE=15÷5=3（cm） AE=15-3=12（cm） DF=10÷4=2.5（cm） AF=10-2.5=7.5（cm） GE=12÷3=4（cm） AG=12-4=8（cm） AH=FH=7.5÷2=3.75（cm） AG+AH=8+3.75=11.75（cm） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+BF。 解析： BD=12÷4×3=9（cm） BE=12÷3×2=8（cm） BF=9÷2=4.5（cm） BE+BF=8+4.5=12.5（cm） 【对应练习2】 如图，在△ABC的边长都是24cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+AF。 解析： AD=24÷4=6（cm） BD=24÷4×3=18（cm） BE=24÷3×2=16（cm） DF=18÷2=9（cm） AF=6+9=15（cm） BE+AF=16+15=31（cm） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的5个三角形，求出BF+BG。 解析： BD=（cm） BE=（cm） BF= （cm） BG= （cm） BF+BG=32+22.5=54.5（cm） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$