（篇三）第四单元多边形的面积·三角形篇【十三大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 19 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 19 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·三角形篇【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·三角形篇 专题内容 本专题以三角形的面积及实际应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，其中部分考点难度较大， 可选择性讲解。 考点数量 十三个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理 .................................................................... 3 【考点二】三角形面积的基本应用其一 ............................................................................6 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高 ..................................8 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高 .............................. 8 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题 ......................................... 9 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式 ................................10 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型 ................ 11 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四 ...........................................................12 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题 ................................................... 13 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题 ................................................... 14 【考点十一】三角形面积的实际应用其一 ...................................................................... 14 3 / 19 【考点十二】三角形面积的实际应用其二 ...............................................15 【考点十三】三角形中的平移运动问题 ＊ .............................................. 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理。 【方法点拨】 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三 角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一 步推导，下面介绍几种比较常见的推导方法。 推导方法一： 如图，如果三角形是一个直角三角形，可以再将一个一样的直角三角形和原图拼 接成一个长方形，长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高， 而长方形面积则等于两个三角形的面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高 ÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法二： 如图，如果三角形是非直角三角形，可以将两个完全一样的三角形一正一反地组 成平行四边形，转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的 底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角 形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积，由此推导出一个三角形的 面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法三： 4 / 19 如图，把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后整体补充成长方形，那左边 的直角三角形面积等于左边的长方形的一半，右边的直角三角形面积等于右边的 长方形的一半，所以原来的三角形的面积就等于大的长方形的一半，由此推导出 一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法四： 如图，先把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后取左边直角三角形的底边 的中点，右边直角三角形的底边的中点，再画一个长方形，于是原来的三角形割 补成这样一个大的长方形，长是相当于三角形的高，宽是相当于三角形底的一半， 由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法五： 如图，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的小三 角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高 ÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法六： 如图，同方法五一样，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折 痕将上面的两个小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三 角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 5 / 19 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平 行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的 ( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为 S＝ ( )。 【对应练习 1】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折 痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是 a、高是 h，那 么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的 平行四边形面积＝ 。 【对应练习 2】 我们在探究“三角形面积公式”时，也可以把一个三角形沿虚线剪开，上半部分绕 点 A顺时针旋转和下半部分拼成平行四边形。平行四边形的底等于三角形的 ( )，平行四边形的高等于三角形的( )。如果平行四边形的面积 是 30平方厘米，那原三角形的面积是( )平方厘米。 6 / 19 【对应练习 3】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。如图所示，三角 形 ABC的底为 a，高为 h（D、E分别为 AB、AC边上的中点），转化后的长方 形的长是( )，宽是( )，所以三角形的面积是 S＝( )。 【考点二】三角形面积的基本应用其一。 【方法点拨】 三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 【典型例题 1】问题一。 一个三角形的底是 12m，高是 9m，它的面积是( )m2。 【对应练习 1】 一个三角形的三条边的长分别是 3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是 ( )cm2。 【对应练习 2】 一个直角三角形的三条边分别是 21厘米、28厘米和 35厘米，这个三角形的面 积是( )平方厘米。 7 / 19 【对应练习 3】 一个等腰直角三角形的一条腰长 12dm，这个三角形的面积是( )dm2。 【典型例题 2】问题二。 求下面图形的面积。（单位：dm） 【对应练习 1】 测量并计算图形的面积。 【对应练习 2】 找准所需条件，计算下列图形的面积。（单位：米） 【对应练习 3】 计算下列图形的面积。 8 / 19 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据 a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据 h=2S÷a计算。 【典型例题 1】反求底。 一块三角形菜地的面积是 180平方米，量得底边上的高 20米，这块地的底边长 是( )米。 【对应练习 1】 一个高是 4 cm的三角形与另一个边长是 4 cm的正方形面积相等。那么三角形的 底是( )cm。 【对应练习 2】 一个三角形的面积是 25cm2，高是 5cm，它对应的底是( )cm。 【对应练习 3】 一个面积是 16cm2的三角形，它的高是 4cm，这个三角形的底是( )cm。 【典型例题 2】反求高。 三角形的面积是 24平方米，底是 8米，高是( )米。 【对应练习 1】 一个三角形的面积是 60平方米，底边长 12米，高是( )米。 【对应练习 2】 三角形的面积是 15平方厘米，底是 6厘米，高是( )厘米。 【对应练习 3】 三角形草坪的面积是 20m，如果底是 5m，那么高是( )m。 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或 高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据 a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据 h=2S÷a计算。 【典型例题】 9 / 19 一个直角三角形，直角所对的边的长是 10cm，其余两边分别是 8cm和 6cm。直 角所对边上的高是( )cm。 【对应练习 1】 有一个直角三角形指示牌的斜边长 15cm，两条直角边的长分别为 9cm和 12cm。 该指示牌斜边上的高是( )cm。 【对应练习 2】 一个直角三角形的三条边分别是 3cm、4cm和 5cm，它的面积是( )cm2， 它的斜边上的高是( )cm，与它等底等高的平行四边形的面积是 ( )cm2。 【对应练习 3】 一个直角三角形的三条边分别是 5cm、12cm、13cm，这个三角形的面积是 ( )cm2，斜边上的高是( )cm。（“四舍五入”精确到个位） 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题。 【方法点拨】 1.平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2.三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 一个三角形的底是 10厘米，高是 4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是 ( )平方厘米。 【对应练习 1】 一个平行四边形的的底和高都是 4m，它的面积是( )m2；和它等底等高 的三角形的面积是( )m2。 【对应练习 2】 一个三角形的底是 50cm，高是 12cm，它的面积是( )cm2，和它等底等 高的平行四边形的面积是( )cm2。 【对应练习 3】 一个三角形的底是 8厘米，高是 2厘米，面积是( )平方厘米；与它等底 等高的平行四边形面积是( )平方厘米。 10 / 19 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3. 变式： （1）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三 角形的高的一半。 （2）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角 形底的一半。 【典型例题 1】问题一。 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是 5厘米，那么 平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是 5厘米，那么三角形 的高是( )厘米。 【典型例题 2】问题二。 一个三角形的面积是 15平方厘米，底边长 2分米，高是( )厘米；与它 面积相等，高也相等的平行四边形的底边长( )厘米。 【对应练习 1】 如果一个平行四边形与三角形底相等，面积相等，三角形的高是 4厘米，那么平 行四边形的高是( )厘米。 【对应练习 2】 等面积等高的三角形和平行四边形，若三角形的底是 6cm，则平行四边形的底是 ( )cm。 【对应练习 3】 一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是 10cm， 平行四边形的底是( )cm。 11 / 19 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中平行四边形底边上的中点是 P，它的面积是 60cm2，则涂色的三角形面积 是( )cm2。 【对应练习 1】 在下图平行四边形中，涂色三角形的面积是 27平方厘米，这个平行四边形的面 积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 在下图中，点 A为所在边的中点，阴影部分的面积为 48cm2，平行四边形的面积 是( )cm2。 【对应练习 3】 下面图形底边的中点是A，涂色部分的面积是 212cm ，平行四边形的面积是 ( )。 12 / 19 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中△ABC的面积是 30平方厘米，是平行四边形 CDEF面积的 2倍，图中阴 影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 如图，长方形 ABCD内有等边三角形 BCE，如果等边三角形 BCE的面积是 4平 方厘米，那么长方形 ABCD的面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 如图，平行四边形的面积是 20平方厘米，乙和丙的面积相等。则乙三角形的面 积为( )平方分米。 13 / 19 【对应练习 3】 下图中平行四边形的面积是 98cm2，丙三角形的面积是甲三角形的( )， 阴影部分的面积是( )cm2。 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题。 【方法点拨】 对于延长图形中的某一条边导致面积增加的问题，可通过画图来帮助解题，分析 出图形中的不变量，先根据增加的面积求出公共的高，然后计算出要求的三角形 面积。 【典型例题】 一个三角形的底长是 5m，如果底边延长 1m，那么面积就增加 2m²，请你求出原 来三角形的面积是( )平方米。 【对应练习 1】 张爷爷有一块三角形的菜地，底是 12米，如果高不变，把底延长 4米，那么新 三角形菜地面积就比原来增加 16平方米，原来三角形菜地的面积是多少平方 米？ 【对应练习 2】 一个三角形的底是 6dm，如果将它延长 1dm，那么三角形的面积就增加 2dm2。 原三角形的面积是( )dm2。 14 / 19 【对应练习 3】 一个三角形的底长是 8m，如果底边延长 2m，那么面积就增加 4m2，原来三角形 的面积是( )平方米。 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题。 【方法点拨】 三角形的高不变时，底扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍； 三角形的底不变时，高扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍。 【典型例题】 1．一个三角形，如果把它的底和高都同时扩大 4倍，面积就扩大( )倍。 2．一个三角形的底不变，高扩大 2倍，面积会( )，如果高扩大 5倍， 底缩小 5倍，它的面积( )。 3．如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的 2倍，那么面积将扩大( ) 倍；如果三角形的底不变，高缩小原来的 那么面积将( )。 【对应练习 1】 一个三角形的底扩大 2倍，高扩大 4倍，面积扩大( )倍。 【对应练习 2】 一个三角形的底不变，高扩大 3倍，则它的面积将( )。 【对应练习 3】 一个三角形高不变，要使面积扩大 2倍，底要扩大( )倍。 【考点十一】三角形面积的实际应用其一。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是 14cm，做 100面这样的小 红旗，要用多少平方米的纸？ 15 / 19 【对应练习 1】 一块三角形地，底是 500米，高是 1440米，这块地的面积是多少？如果用拖拉 机每天耕 18公顷，这块地几天才能耕完？ 【对应练习 2】 一块三角形果园地，底 30米，高 16米。现在在这个果园里栽上梨树，已知每棵 梨树的占地面积是 4平方米，这块果园最多可以栽梨树多少棵？ 【对应练习 3】 如图是一个等边三角形的交通停车标志，底边长 6分米，高是 5分米。每平方分 米用油漆 8克，两面都刷油漆，一共需要多少克油漆？ 【考点十二】三角形面积的实际应用其二。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。 下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用 3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 16 / 19 【对应练习 1】 随着科学技术的发展进步，城市建设也融入了许多先进、智能的元素。郑州市地 铁在部分站点设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请根据图中的数 据算一算，B出口的投影导向图的面积是多少？ 【对应练习 2】 一块某地由两部分组成（如图），长方形部分种黄瓜，等腰三角形部分种豆角。 黄瓜地的面积是 180平方米，豆角地的面积是多少平方米？ 17 / 19 【对应练习 3】 一块指示牌的形状是如图所示的组合图形，求它的面积。 【考点十三】三角形中的平移运动问题。 ＊ 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如下图，同一直线上的直角梯形和长方形相距 10cm。直角梯形上底 2cm，下底 4cm，高 6cm。长方形长 26cm，宽 6cm。现在直角梯形按每秒 2cm匀速向右平 移。 （1）画出直角梯形平移 6秒钟后的位置，并算一算这时它与长方形重叠部分的 面积是多少平方厘米？ （2）想一想，算一算，在直角梯形平移过程中，整个直角梯形与长方形完全重 叠的时间维持了几秒？ 18 / 19 【对应练习 1】 如图，甲、乙是两个完全相同的直角三角形。甲三角形沿着一条直线向乙三角形 平移，速度是 5厘米/秒。 （1）第几秒时，两个三角形完全重合？ （2）第 7秒时，两个三角形重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 正方形 ABCD的边长是 8厘米，等腰直角三角形 EFG 的斜边 FG长为 26厘米。 正方形与三角形放在同一条直线上，如下图，CF＝10厘米。正方形以每秒 2厘 米的速度向右沿直线运动。 （1）第 8秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）第几秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是 56平方厘米？ 19 / 19 【对应练习 3】 如图在长方形 ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点 P从顶点 A出发， 逆时针沿长方形的边以每秒 2厘米的速度运动回到 A点，（1）P点从 A 点出发 经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 1 / 37 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 37 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·三角形篇【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·三角形篇 专题内容 本专题以三角形的面积及实际应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，其中部分考点难度较大， 可选择性讲解。 考点数量 十三个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理 .................................................................... 3 【考点二】三角形面积的基本应用其一 ............................................................................7 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高 ................................11 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高 ............................ 14 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题 ........................................16 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式 ................................18 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型 ................ 21 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四 ...........................................................22 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题 ................................................... 24 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题 ................................................... 26 【考点十一】三角形面积的实际应用其一 ...................................................................... 28 3 / 37 【考点十二】三角形面积的实际应用其二 ...............................................30 【考点十三】三角形中的平移运动问题 ＊ .............................................. 33 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理。 【方法点拨】 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三 角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一 步推导，下面介绍几种比较常见的推导方法。 推导方法一： 如图，如果三角形是一个直角三角形，可以再将一个一样的直角三角形和原图拼 接成一个长方形，长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高， 而长方形面积则等于两个三角形的面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高 ÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法二： 如图，如果三角形是非直角三角形，可以将两个完全一样的三角形一正一反地组 成平行四边形，转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的 底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角 形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积，由此推导出一个三角形的 面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法三： 4 / 37 如图，把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后整体补充成长方形，那左边 的直角三角形面积等于左边的长方形的一半，右边的直角三角形面积等于右边的 长方形的一半，所以原来的三角形的面积就等于大的长方形的一半，由此推导出 一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法四： 如图，先把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后取左边直角三角形的底边 的中点，右边直角三角形的底边的中点，再画一个长方形，于是原来的三角形割 补成这样一个大的长方形，长是相当于三角形的高，宽是相当于三角形底的一半， 由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法五： 如图，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的小三 角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高 ÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 推导方法六： 如图，同方法五一样，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折 痕将上面的两个小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三 角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 5 / 37 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平 行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的 ( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为 S＝ ( )。 【答案】 相等 一半 底×高÷2 ah÷2 【分析】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，那么三角形的底等 于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高；三角形的面积等于平行四 边形面积的一半；由“平行四边形的面积＝底×高”可推出三角形的面积公式。 【详解】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与 平行四边形的底和高分别相等；三角形的面积是平行四边形面积的一半。所以三 角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为 S＝ah÷2。 【点睛】本题考查三角形面积公式的推导过程及应用，掌握平行四边形的面积公 式，以及两个相同的三角形拼成一个平行四边形，找出三角形的底、高与平行四 边形的底、高之间的关系是解题的关键。 【对应练习 1】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折 痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是 a、高是 h，那 么操作后会发现： 6 / 37 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的 平行四边形面积＝ 。 【答案】 a h÷2 ah÷2 【分析】观察图形发现，拼成的平行四边形的底相当于的三角形的底，平行四边 形的高相当于三角形的高的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面 积＝底×高，可知原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝三角形的底×三角形 的高÷2。据此解答。 【详解】拼成的平行四边形的底是 a，高是 h÷2。原三角形面积＝拼成的平行四 边形面积＝ah÷2。 【点睛】本题考查了三角形面积公式的推导过程。 【对应练习 2】 我们在探究“三角形面积公式”时，也可以把一个三角形沿虚线剪开，上半部分绕 点 A顺时针旋转和下半部分拼成平行四边形。平行四边形的底等于三角形的 ( )，平行四边形的高等于三角形的( )。如果平行四边形的面积 是 30平方厘米，那原三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 底 高÷2 30 【分析】通过观察图形发现：平行四边形的底 a＝三角形的底 a，平行四边形的 高＝三角形的高 h的一半，拼成的平行四边形的面积＝三角形的面积。据此求出 三角形的面积。 【详解】拼成的平行四边形的底是三角形的底，即平行四边形的底等于三角形的 底； 拼成的平行四边形的高是三角形高的一半，即平行四边形的高等于三角形的高÷2； 因为拼成的平行四边形的面积＝三角形的面积，所以如果平行四边形的面积是 30平方厘米，那原三角形的面积是 30平方厘米。 【点睛】通过观察图形，明确平行四边形和三角形底、高的关系是解决此题的关 7 / 37 键。 【对应练习 3】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。如图所示，三角 形 ABC的底为 a，高为 h（D、E分别为 AB、AC边上的中点），转化后的长方 形的长是( )，宽是( )，所以三角形的面积是 S＝( )。 【答案】 a h÷2 ah÷2 【分析】根据题意，把一个三角形剪拼成一个长方形，那么三角形的面积等于长 方形的面积。 观察图形可知，三角形 ABC的底为 a，高为 h，转化后长方形的长与三角形的底 相等，宽等于三角形高的一半；根据长方形的面积＝长×宽，把字母代入公式中， 据此得出三角形的面积公式。 【详解】转化后的长方形的长是 a，宽是 h÷2； 长方形的面积＝长×宽 所以三角形的面积是 S＝ah÷2。 【点睛】本题考查转化思想在数学中的应用，掌握图形转换和面积公式推导的过 程是解题的关键。 【考点二】三角形面积的基本应用其一。 【方法点拨】 三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=ah÷2。 【典型例题 1】问题一。 一个三角形的底是 12m，高是 9m，它的面积是( )m2。 8 / 37 【答案】54 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此代入数值进行计算即可求出三 角形的面积。 【详解】12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（m2） 它的面积是 54m2。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键。 【对应练习 1】 一个三角形的三条边的长分别是 3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是 ( )cm2。 【答案】6 【分析】根据三角形中三条边的关系，判断此三角形是一个直角三角形，直角三 角形中斜边最长，从而确定出两条直角边的长度，再依据三角形的面积公式＝面 积×高÷2，即可求出这个三角形的面积。 【详解】因为 5＞4＞3，所以这个三角形的两条直角边分别为 3cm和 4cm。 三角形的面积：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 所以，这个三角形的面积是 6 cm2。 【点睛】本题考查三角形的面积，关键是判断出三角形中两条直角边的长度，再 利用三角形的面积公式解决问题。 【对应练习 2】 一个直角三角形的三条边分别是 21厘米、28厘米和 35厘米，这个三角形的面 积是( )平方厘米。 【答案】294 【分析】直角三角形的三条边分别是 21厘米、28厘米和 35厘米，已知直角三 角形的斜边大于其他两条边，所以直角三角形的两条直角边是21厘米和28厘米， 也就是直角三角形的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，用 21×28÷2即可求 9 / 37 出三角形的面积。 【详解】21＜28＜35 直角三角形的两条直角边是 21厘米和 28厘米，也就是直角三角形的底和高， 21×28÷2 ＝588÷2 ＝294（平方厘米） 三角形的面积是 294平方厘米。 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用。 【对应练习 3】 一个等腰直角三角形的一条腰长 12dm，这个三角形的面积是( )dm2。 【答案】72 【分析】根据“等腰三角形的两条腰长度相等”可知，等腰直角三角形的一条腰长 12dm，即这个直角三角形的两条直角边都是 12dm，也就是这个三角形的底和高 等于 12dm；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出这个三角形的 面积。 【详解】12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（dm2） 这个三角形的面积是 72dm2。 【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，运用等腰直角三角形的特征，确定三 角形的底和高是解题的关键。 【典型例题 2】问题二。 求下面图形的面积。（单位：dm） 【答案】45 2dm 【分析】观察三角形，高为 5dm，它对应的底边长是 18dm，再根据三角形的面 积公式：面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积。 【详解】18×5÷2＝45（dm2） 10 / 37 即图形的面积是 45dm2。 【对应练习 1】 测量并计算图形的面积。 【答案】3平方厘米 【分析】测量可知，三角形的底为 3厘米，高为 2厘米，根据三角形面积＝底× 高÷2，列式计算即可。 【详解】3×2÷2＝3（平方厘米） 即三角形的面积是 3平方厘米。 【对应练习 2】 找准所需条件，计算下列图形的面积。（单位：米） 【答案】6平方米 【分析】根据直角三角形的特征，可把直角三角形的两条直角边当作底和高，底 取 4米，高取 3米，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出图形的 面积。 【详解】3×4÷2＝6（平方米） 即图形的面积是 6平方米。 【对应练习 3】 计算下列图形的面积。 【答案】120；36；30 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 11 / 37 【详解】（1）20×12÷2 ＝240÷2 ＝120 （2）12×6÷2 ＝72÷2 ＝36 （3）12×5÷2 ＝60÷2 ＝30 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据 a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据 h=2S÷a计算。 【典型例题 1】反求底。 一块三角形菜地的面积是 180平方米，量得底边上的高 20米，这块地的底边长 是( )米。 【答案】18 【分析】已知三角形菜地的面积和高，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角 形的底＝面积×2÷高，代入数据计算，即可求出这块地的底边长。 【详解】180×2÷20 ＝360÷20 ＝18（米） 这块地的底边长是 18米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的灵活运用。 【对应练习 1】 一个高是 4 cm的三角形与另一个边长是 4 cm的正方形面积相等。那么三角形的 底是( )cm。 【答案】8 【分析】正方形面积＝边长×边长，据此求出正方形面积，即三角形面积，再根 12 / 37 据三角形的底＝面积×2÷高，列式计算即可。 【详解】4×4＝16（cm2） 16×2÷4＝8（cm） 三角形的底是 8 cm。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方形和三角形面积公式。 【对应练习 2】 一个三角形的面积是 25cm2，高是 5cm，它对应的底是( )cm。 【答案】10 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，代入数 据计算即可。 【详解】25×2÷5 ＝50÷5 ＝10（cm） 与这条高对应的底是 10cm。 【点睛】本题考查三角形面积公式的灵活运用。 【对应练习 3】 一个面积是 16cm2的三角形，它的高是 4cm，这个三角形的底是( )cm。 【答案】8 【分析】由三角形的面积计算公式可知，底＝三角形的面积×2÷三角形的高，据 此解答。 【详解】16×2÷4 ＝32÷4 ＝8（cm） 这个三角形的底是 8cm。 【点睛】掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题 2】反求高。 三角形的面积是 24平方米，底是 8米，高是( )米。 【答案】6 【分析】三角形面积＝底×高÷2，那么三角形的高＝面积×2÷底，据此列式计算 13 / 37 求出高即可。 【详解】24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（米） 所以，这个三角形的高是 6米。 【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记并灵活运用三角形的面积公式是解题的 关键。 【对应练习 1】 一个三角形的面积是 60平方米，底边长 12米，高是( )米。 【答案】10 【分析】根据三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。 【详解】60×2÷12＝10（米） 高是 10米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式。 【对应练习 2】 三角形的面积是 15平方厘米，底是 6厘米，高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。 【详解】15×2÷6＝5（厘米） 高是 5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式。 【对应练习 3】 三角形草坪的面积是 20m，如果底是 5m，那么高是( )m。 【答案】8 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，已知三角形草坪的面积是 20m，底是 5m， 所以高＝三角形的面积×2÷底，代入数据即可得解。 【详解】20×2÷5 ＝40÷5 ＝8（m） 14 / 37 那么高是 8m。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式求解。 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或 高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据 a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据 h=2S÷a计算。 【典型例题】 一个直角三角形，直角所对的边的长是 10cm，其余两边分别是 8cm和 6cm。直 角所对边上的高是( )cm。 【答案】4.8 【分析】根据：三角形的面积＝底×高÷2，先用 8cm和 6cm求出三角形的面积， 再根据：高＝三角形的面积×2÷底，求 10cm为底的高，解答此题即可。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 所以，直角所对边上的高是 4.8cm。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式，是解答此题的关键。 【对应练习 1】 有一个直角三角形指示牌的斜边长 15cm，两条直角边的长分别为 9cm和 12cm。 该指示牌斜边上的高是( )cm。 【答案】7.2 【分析】根据三角形面积公式：底×高÷2，因为是直角三角形，一条直角边可以 当做底，底是 9cm，另一条直角边可以当做高，高是 12cm，代入数据，求出三 角形面积；由于三角形面积不变，已知斜边是 15cm，求斜边对应的高，代入三 15 / 37 角形面积公式，即可解答。 【详解】9×12÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 54×2÷15 ＝108÷15 ＝7.2（cm） 即该指示牌斜边上的高是 7.2cm。 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。 【对应练习 2】 一个直角三角形的三条边分别是 3cm、4cm和 5cm，它的面积是( )cm2， 它的斜边上的高是( )cm，与它等底等高的平行四边形的面积是 ( )cm2。 【答案】 6 2.4 12 【分析】直角三角形中最长的边是斜边，直角三角形的两条直角边互为彼此的底 和高，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个直角三角形的面积，再根据“高＝ 三角形的面积×2÷底”求出斜边上的高，当三角形和平行四边形等底等高时，三角 形的面积是平行四边形面积的一半，平行四边形的面积是三角形面积的 2倍，据 此解答。 【详解】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（cm） 6×2＝12（cm2） 所以，这个直角三角形的面积是 6cm2，它的斜边上的高是 2.4cm，与它等底等高 的平行四边形的面积是 12cm2。 【点睛】灵活运用三角形的面积计算公式，并掌握等底等高的三角形和平行四边 形的面积关系是解答题目的关键。 16 / 37 【对应练习 3】 一个直角三角形的三条边分别是 5cm、12cm、13cm，这个三角形的面积是 ( )cm2，斜边上的高是( )cm。（“四舍五入”精确到个位） 【答案】 30 5 【分析】直角三角形中斜边最长，两条直角边互为彼此的底和高，利用“三角形 的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，最后根据“高＝三角形的面积×2÷底” 求出斜边上的高，据此解答。 【详解】分析可知，这个直角三角形的两条直角边分别是 5cm和 12cm，斜边是 13cm。 5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 30×2÷13 ＝60÷13 ≈5（cm） 所以，这个三角形的面积是 30cm2，斜边上的高是 5cm。 【点睛】掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题。 【方法点拨】 1.平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2.三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 一个三角形的底是 10厘米，高是 4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是 ( )平方厘米。 【答案】40 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，用 10×4即 可求出和三角形等底等高的平行四边形的面积。 【详解】10×4＝40（平方厘米） 一个三角形的底是 10厘米，高是 4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是 17 / 37 40平方厘米。 【点睛】本题考查了三角形和平行四边形的面积公式的灵活应用。 【对应练习 1】 一个平行四边形的的底和高都是 4m，它的面积是( )m2；和它等底等高的 三角形的面积是( )m2。 【答案】 16 8 【分析】平行四边形的面积底高，等底等高的三角形的面积是平行四边形面 积的一半，据此解答即可。 【详解】平行四边形的面积：4 4 16  （m2） 三角形面积：16 2 8  （m2） 【点睛】本题考查平行四边形、三角形的面积，解答本题的关键是掌握平行四边 形、三角形的面积的计算公式。 【对应练习 2】 一个三角形的底是 50cm，高是 12cm，它的面积是( )cm2，和它等底等 高的平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】 300 600 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2即可求出这个三角形的面积，与它等底等高 的平行四边形面积是这个三角形面积的 2倍，据此可求出与它等底等高的平行四 边形的面积。 【详解】50×12÷2 ＝600÷2 ＝300（cm2） 300×2＝600（cm2） 它的面积是 300cm2，与它等底等高的平行四边形的面积是 600cm2。 【点睛】此题重点考查三角形面积的求法及与它等底等高的平行四边形面积的关 系。 【对应练习 3】 一个三角形的底是 8厘米，高是 2厘米，面积是( )平方厘米；与它等底 等高的平行四边形面积是( )平方厘米。 18 / 37 【答案】 8 16 【分析】利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，当三角形和平 行四边形等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的 2倍，据此解答。 【详解】8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 所以，这个三角形的面积是 8平方厘米，与它等底等高的平行四边形面积是 16 平方厘米。 【点睛】熟记三角形的面积计算公式并掌握等底等高的三角形和平行四边形的面 积关系是解答题目的关键。 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3. 变式： （1）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三 角形的高的一半。 （2）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角 形底的一半。 【典型例题 1】问题一。 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是 5厘米，那么 平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是 5厘米，那么三角形 的高是( )厘米。 【答案】2.5、10 【详解】试题分析：根据平行四边形的面积公式S=ah及三角形的面积公式S=ah÷2， 推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系， 再列式解答即可。 解：平行四边形的面积是：S=ah1 19 / 37 三角形的面积是：S=ah2÷2 所以 ah1=ah2÷2 h1=h2÷2 平行四边形的高是：5÷2=2.5（厘米） 三角形的高是：5×2=10（厘米） 答：平行四边形的高是 2.5厘米，三角形的高是 10厘米。 故答案为 2.5、10 点评：本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一 个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角 形的高的一半。 【典型例题 2】问题二。 一个三角形的面积是 15平方厘米，底边长 2分米，高是( )厘米；与它 面积相等，高也相等的平行四边形的底边长( )厘米。 【答案】 1.5 10 【分析】由题意可知，根据 1分米＝10厘米，则 2分米＝20厘米，再根据三角 形的面积公式：S＝ah÷2，用 15乘 2再除以 20即可；再根据平行四边形的面积 公式：S＝ab，据此可求出平行四边形的底边长。 【详解】2分米＝20厘米 15×2÷20 ＝30÷20 ＝1.5（厘米） 15÷1.5＝10（厘米） 则个三角形的面积是 15平方厘米，底边长 2分米，高是 1.5厘米；与它面积相 等，高也相等的平行四边形的底边长 10厘米。 【点睛】本题考查三角形和平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 1】 如果一个平行四边形与三角形底相等，面积相等，三角形的高是 4厘米，那么平 行四边形的高是( )厘米。 【答案】2 20 / 37 【分析】根据平行四边形的面积公式 S＝ah及三角形的面积公式 S＝ah÷2，推导 出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列 式解答即可。 【详解】平行四边形的面积是：S＝ah1， 三角形的面积是：S＝ah2÷2， 所以 ah1＝ah2÷2， h1＝h2÷2， 平行四边形的高是：4÷2＝2（厘米） 平行四边形的高是 2厘米。 【点睛】本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导： 一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，三角形的高是平行四 边形的高的 2倍。 【对应练习 2】 等面积等高的三角形和平行四边形，若三角形的底是 6cm，则平行四边形的底是 ( )cm。 【答案】3 【分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的 2倍，所以当平行四 边形和三角形的面积相等，平行四边形的底是三角形底的一半，据此解答． 【详解】6÷2＝3（cm） 平行四边形的高是 3cm。 【点睛】此题主要考查等底等高的平行四边形与三角形面积之间关系的灵活运用。 【对应练习 3】 一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是 10cm， 平行四边形的底是( )cm。 【答案】5 【分析】等面积等高的平行四边形和三角形，三角形的底是平行四边形底的 2 倍，三角形的底÷2＝平行四边形的底，据此列式计算。 【详解】10÷2＝5（cm） 平行四边形的底是 5cm。 21 / 37 【点睛】关键是掌握并灵活运用平行四边形和三角形面积公式。 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中平行四边形底边上的中点是 P，它的面积是 60cm2，则涂色的三角形面积 是( )cm2。 解析： 60÷4＝15（平方厘米） 【对应练习 1】 在下图平行四边形中，涂色三角形的面积是 27平方厘米，这个平行四边形的面 积是( )平方厘米。 解析： 27×4＝108（平方厘米） 【对应练习 2】 在下图中，点 A为所在边的中点，阴影部分的面积为 48cm2，平行四边形的面积 是( )cm2。 22 / 37 解析： 48×2×2 ＝96×2 ＝192（平方厘米） 【对应练习 3】 下面图形底边的中点是A，涂色部分的面积是 212cm ，平行四边形的面积是 ( )。 解析： 248cm 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中△ABC的面积是 30平方厘米，是平行四边形 CDEF面积的 2倍，图中阴 影部分的面积是( )平方厘米。 解析： 30÷2÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 23 / 37 【对应练习 1】 如图，长方形 ABCD内有等边三角形 BCE，如果等边三角形 BCE的面积是 4平 方厘米，那么长方形 ABCD的面积是( )平方厘米。 解析：4×2＝8（平方厘米） 【对应练习 2】 如图，平行四边形的面积是 20平方厘米，乙和丙的面积相等。则乙三角形的面 积为( )平方分米。 解析： 20平方厘米＝0.2平方分米 0.2÷4＝0.05（平方分米） 【对应练习 3】 下图中平行四边形的面积是 98cm2，丙三角形的面积是甲三角形的( )， 阴影部分的面积是( )cm2。 解析： 平行四边形的高＝98÷（6＋8）＝7（cm） 甲的面积＝98÷2＝49（cm2） 丙的面积＝底×高÷2＝8×7÷2＝28（cm2） 28÷49＝ 47 乙的面积＝底×高÷2＝6×7÷2＝21（cm2） 24 / 37 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题。 【方法点拨】 对于延长图形中的某一条边导致面积增加的问题，可通过画图来帮助解题，分析 出图形中的不变量，先根据增加的面积求出公共的高，然后计算出要求的三角形 面积。 【典型例题】 一个三角形的底长是 5m，如果底边延长 1m，那么面积就增加 2m²，请你求出原 来三角形的面积是( )平方米。 解析： 原三角形的高∶2×2÷1=4（米） 原三角形的面积∶5×4÷2=10（平方米） 【对应练习 1】 张爷爷有一块三角形的菜地，底是 12米，如果高不变，把底延长 4米，那么新 三角形菜地面积就比原来增加 16平方米，原来三角形菜地的面积是多少平方 米？ 解析： 16×2÷4 ＝32÷4 ＝8（米） 12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 答：原来三角形菜地的面积是 48平方米。 【对应练习 2】 一个三角形的底是 6dm，如果将它延长 1dm，那么三角形的面积就增加 2dm2。 25 / 37 原三角形的面积是( )dm2。 【答案】12 【分析】由“如果底边延长 1米，那么面积就增加 2平方米”可以根据三角形的面 积公式 S＝ah÷2，得出 h＝2S÷a，由此求出三角形的高，原三角形的底已知，根 据三角形的面积公式 S＝ah÷2进而可以求其面积。 【详解】原三角形的高：2×2÷1 ＝4÷1 ＝4（分米） 原三角形的面积：6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方分米） 则原来三角形的面积是 12平方分米。 【点睛】解答此题的关键是先求出三角形的高，再利用三角形的面积公式解答。 【对应练习 3】 一个三角形的底长是 8m，如果底边延长 2m，那么面积就增加 4m2，原来三角形 的面积是( )平方米。 【答案】16 【分析】由题意知：底边延长 2m，面积增加 4平方米，用面积乘 2除以 2，得 到三角形的高，再利用底乘高除以 2，得原三角形的面积。据此解答。 【详解】三角形的高： 4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 原三角形的面积： 8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 【点睛】灵活运用三角形面积公式求得三角形的高是解答本题的关键。 26 / 37 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题。 【方法点拨】 三角形的高不变时，底扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍； 三角形的底不变时，高扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍。 【典型例题】 1．一个三角形，如果把它的底和高都同时扩大 4倍，面积就扩大( )倍。 【答案】16 【分析】三角形面积＝底×高÷2，根据积的变化规律，两个因数同时扩大到原来 的 4倍，积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。 【详解】4×4＝16 【点睛】关键是掌握三角形面积公式，熟悉积的变化规律。 2．一个三角形的底不变，高扩大 2倍，面积会( )，如果高扩大 5倍， 底缩小 5倍，它的面积( )。 【答案】 扩大 2倍 不变 【分析】根据三角形的面积计算公式“s= ah”，进行推导，进而得出结论。 【详解】（1）S1= ah，底不变，如果高扩大 2倍 即 S2= a×（h×2） =ah S2÷S1=ah÷（ ah）=2 （2）因为三角形的面积 S= ah 所以 S′= ×5a× h= ah=S 故答案为扩大 2倍，不变。 3．如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的 2倍，那么面积将扩大( ) 倍；如果三角形的底不变，高缩小原来的 那么面积将( )。 【答案】2，缩小原来的 27 / 37 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式“s= ah”，进行推导，进而得出 结论。 解：因为三角形的面积 S= ah 所以 S′= ×2×a×h=ah=2S 所以面积将扩大 2倍 S1= ah，底不变，如果高缩小原来的 即 S2= a×（h× ） = ah S2÷S1= ah÷ ah= 所以面积将缩小原来的 故答案为 2，缩小原来的 点评：解答此题的关键是根据三角形的面积公式 S= ah与积的变化规律解决问 题。 【对应练习 1】 一个三角形的底扩大 2倍，高扩大 4倍，面积扩大( )倍。 【答案】8 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高÷2，如果高扩大 10倍，底也扩大 10 倍，根据积的变化规律，可知面积扩大 10×10=100倍；据此进行选择。 解：一个三角形的底扩大 2倍，高扩大 4倍，面积扩大 2×4=8倍； 故答案为 8． 点评：此题考查积的变化规律的灵活运用：一个因数扩大（或缩小）几倍，另一 个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）两个因数扩大（或缩小）倍数 的乘积倍。 【对应练习 2】 一个三角形的底不变，高扩大 3倍，则它的面积将( )。 【答案】扩大 3倍 28 / 37 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式“s= ah”，进行推导，进而得出 结论． 解：S1= ah，底不变，如果高扩大 3倍， 即 S2= a×（h×3）， = ah； S2÷S1= ah÷ ah=3倍． 故一个三角形的底不变，高扩大 3倍，面积扩大 3倍． 故答案为扩大 3倍． 点评：解答此题应结合题意，根据三角形的计算公式进行推导，进而得出结论。 【对应练习 3】 一个三角形高不变，要使面积扩大 2倍，底要扩大( )倍。 【答案】2 【详解】因为三角形的面积＝底×高÷2， 若高不变，要使面积扩大 2倍，底要 扩大 2倍。 【考点十一】三角形面积的实际应用其一。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是 14cm，做 100面这样的小 红旗，要用多少平方米的纸？ 【答案】0.98平方米 【分析】直角三角形的面积＝底×高÷2。这面小红旗的两条直角边长度都是 14 厘米，所以一面小红旗的面积为 14×14÷2＝98平方厘米。要做 100面这样的小 红旗，总面积就是一面小红旗面积乘 100，据此解答。 【详解】一面小红旗的面积：14×14÷2＝98（平方厘米）； 100面小红旗的总面积：98×100＝9800（平方厘米）； 因为 1平方米＝10000平方厘米，所以 9800平方厘米＝0.98平方米； 29 / 37 答：做 100面这样的小红旗，要用 0.98平方米的纸。 【对应练习 1】 一块三角形地，底是 500米，高是 1440米，这块地的面积是多少？如果用拖拉 机每天耕 18公顷，这块地几天才能耕完？ 【答案】2天 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形菜地的面积是多少 平方米，再根据 1公顷＝10000平方米，把平方米化成公顷，再根据除法的意义， 用三角形的面积除以拖拉机每天耕地的公顷数即可解答。 【详解】500×1440÷2 ＝720000÷2 ＝360000（平方米） 360000平方米＝36公顷 36÷18＝2（天） 答：这块地 2天才能耕完。 【对应练习 2】 一块三角形果园地，底 30米，高 16米。现在在这个果园里栽上梨树，已知每棵 梨树的占地面积是 4平方米，这块果园最多可以栽梨树多少棵？ 【答案】60棵 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，先求出果园面积，果园面积 4每棵梨树占 地面积＝可以栽的梨树棵数，据此列式解答。 【详解】30×16÷2 ＝480÷2 ＝240（平方米） 240÷4＝60（棵） 答：这块果园最多可以栽梨树 60棵。 【对应练习 3】 如图是一个等边三角形的交通停车标志，底边长 6分米，高是 5分米。每平方分 米用油漆 8克，两面都刷油漆，一共需要多少克油漆？ 30 / 37 【答案】240克 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出交通停车标志的面积，用 它的面积乘每平方分米用油漆的重量，再乘 2即可。 【详解】6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（平方分米） 15×8×2 ＝120×2 ＝240（克） 答：一共需要 240克油漆。 【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。 【考点十二】三角形面积的实际应用其二。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。 下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用 3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 【答案】69千克 【分析】这面墙的上部是一个底是 50分米，高是 12分米的三角形，下部是一个 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·三角形篇【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·三角形篇 专题内容 本专题以三角形的面积及实际应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，其中部分考点难度较大，可选择性讲解。 考点数量 十三个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理 3 【考点二】三角形面积的基本应用其一 6 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高 8 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高 8 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题 9 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式 10 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型 11 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四 12 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题 13 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题 14 【考点十一】三角形面积的实际应用其一 14 【考点十二】三角形面积的实际应用其二 15 【考点十三】三角形中的平移运动问题＊ 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理。 【方法点拨】 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一步推导，下面介绍几种比较常见的推导方法。 推导方法一： 如图，如果三角形是一个直角三角形，可以再将一个一样的直角三角形和原图拼接成一个长方形，长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角形的面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法二： 如图，如果三角形是非直角三角形，可以将两个完全一样的三角形一正一反地组成平行四边形，转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法三： 如图，把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后整体补充成长方形，那左边的直角三角形面积等于左边的长方形的一半，右边的直角三角形面积等于右边的长方形的一半，所以原来的三角形的面积就等于大的长方形的一半，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法四： 如图，先把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后取左边直角三角形的底边的中点，右边直角三角形的底边的中点，再画一个长方形，于是原来的三角形割补成这样一个大的长方形，长是相当于三角形的高，宽是相当于三角形底的一半，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法五： 如图，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法六： 如图，同方法五一样，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的两个小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为S＝( )。 【对应练习1】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是a、高是h，那么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝ 。 【对应练习2】 我们在探究“三角形面积公式”时，也可以把一个三角形沿虚线剪开，上半部分绕点A顺时针旋转和下半部分拼成平行四边形。平行四边形的底等于三角形的( )，平行四边形的高等于三角形的( )。如果平行四边形的面积是30平方厘米，那原三角形的面积是( )平方厘米。    【对应练习3】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。如图所示，三角形ABC的底为a，高为h（D、E分别为AB、AC边上的中点），转化后的长方形的长是( )，宽是( )，所以三角形的面积是S＝( )。 【考点二】三角形面积的基本应用其一。 【方法点拨】 三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 【典型例题1】问题一。 一个三角形的底是12m，高是9m，它的面积是( )m2。 【对应练习1】 一个三角形的三条边的长分别是3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是( )cm2。 【对应练习2】 一个直角三角形的三条边分别是21厘米、28厘米和35厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 一个等腰直角三角形的一条腰长12dm，这个三角形的面积是( )dm2。 【典型例题2】问题二。 求下面图形的面积。（单位：dm） 【对应练习1】 测量并计算图形的面积。 【对应练习2】 找准所需条件，计算下列图形的面积。（单位：米） 【对应练习3】 计算下列图形的面积。 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据h=2S÷a计算。 【典型例题1】反求底。 一块三角形菜地的面积是180平方米，量得底边上的高20米，这块地的底边长是( )米。 【对应练习1】 一个高是4的三角形与另一个边长是4的正方形面积相等。那么三角形的底是( )。 【对应练习2】 一个三角形的面积是25cm2，高是5cm，它对应的底是( )cm。 【对应练习3】 一个面积是16cm2的三角形，它的高是4cm，这个三角形的底是( )cm。 【典型例题2】反求高。 三角形的面积是24平方米，底是8米，高是( )米。 【对应练习1】 一个三角形的面积是60平方米，底边长12米，高是( )米。 【对应练习2】 三角形的面积是15平方厘米，底是6厘米，高是( )厘米。 【对应练习3】 三角形草坪的面积是20m，如果底是5m，那么高是( )m。 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据h=2S÷a计算。 【典型例题】 一个直角三角形，直角所对的边的长是10cm，其余两边分别是8cm和6cm。直角所对边上的高是( )cm。 【对应练习1】 有一个直角三角形指示牌的斜边长15cm，两条直角边的长分别为9cm和12cm。该指示牌斜边上的高是( )cm。 【对应练习2】 一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，它的面积是( )cm2，它的斜边上的高是( )cm，与它等底等高的平行四边形的面积是( )cm2。 【对应练习3】 一个直角三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形的面积是( )cm2，斜边上的高是( )cm。（“四舍五入”精确到个位） 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题。 【方法点拨】 1.平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2.三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一个平行四边形的的底和高都是4m，它的面积是( )m2；和它等底等高的三角形的面积是( )m2。 【对应练习2】 一个三角形的底是50cm，高是12cm，它的面积是( )cm2，和它等底等高的平行四边形的面积是( )cm2。 【对应练习3】 一个三角形的底是8厘米，高是2厘米，面积是( )平方厘米；与它等底等高的平行四边形面积是( )平方厘米。 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3. 变式： （1）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 （2）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角形底的一半。 【典型例题1】问题一。 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是5厘米，那么平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是5厘米，那么三角形的高是( )厘米。 【典型例题2】问题二。 一个三角形的面积是15平方厘米，底边长2分米，高是( )厘米；与它面积相等，高也相等的平行四边形的底边长( )厘米。 【对应练习1】 如果一个平行四边形与三角形底相等，面积相等，三角形的高是4厘米，那么平行四边形的高是( )厘米。 【对应练习2】 等面积等高的三角形和平行四边形，若三角形的底是6cm，则平行四边形的底是( )cm。 【对应练习3】 一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是10cm，平行四边形的底是( )cm。 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中平行四边形底边上的中点是P，它的面积是60cm2，则涂色的三角形面积是( )cm2。 【对应练习1】 在下图平行四边形中，涂色三角形的面积是27平方厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 在下图中，点A为所在边的中点，阴影部分的面积为48cm2，平行四边形的面积是( )cm2。 【对应练习3】 下面图形底边的中点是，涂色部分的面积是，平行四边形的面积是( )。 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中△ABC的面积是30平方厘米，是平行四边形CDEF面积的2倍，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 如图，长方形ABCD内有等边三角形BCE，如果等边三角形BCE的面积是4平方厘米，那么长方形ABCD的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 如图，平行四边形的面积是20平方厘米，乙和丙的面积相等。则乙三角形的面积为( )平方分米。 【对应练习3】 下图中平行四边形的面积是98cm2，丙三角形的面积是甲三角形的( )，阴影部分的面积是( )cm2。 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题。 【方法点拨】 对于延长图形中的某一条边导致面积增加的问题，可通过画图来帮助解题，分析出图形中的不变量，先根据增加的面积求出公共的高，然后计算出要求的三角形面积。 【典型例题】 一个三角形的底长是5m，如果底边延长1m，那么面积就增加2m²，请你求出原来三角形的面积是( )平方米。 【对应练习1】 张爷爷有一块三角形的菜地，底是12米，如果高不变，把底延长4米，那么新三角形菜地面积就比原来增加16平方米，原来三角形菜地的面积是多少平方米？ 【对应练习2】 一个三角形的底是6dm，如果将它延长1dm，那么三角形的面积就增加2dm2。原三角形的面积是( )dm2。 【对应练习3】 一个三角形的底长是8m，如果底边延长2m，那么面积就增加4m2，原来三角形的面积是( )平方米。 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题。 【方法点拨】 三角形的高不变时，底扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍； 三角形的底不变时，高扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍。 【典型例题】 1．一个三角形，如果把它的底和高都同时扩大4倍，面积就扩大( )倍。 2．一个三角形的底不变，高扩大2倍，面积会( )，如果高扩大5倍，底缩小5倍，它的面积( )。 3．如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的2倍，那么面积将扩大( )倍；如果三角形的底不变，高缩小原来的那么面积将( )。 【对应练习1】 一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大( )倍。 【对应练习2】 一个三角形的底不变，高扩大3倍，则它的面积将( )。 【对应练习3】 一个三角形高不变，要使面积扩大2倍，底要扩大( )倍。 【考点十一】三角形面积的实际应用其一。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是14cm，做100面这样的小红旗，要用多少平方米的纸？ 【对应练习1】 一块三角形地，底是500米，高是1440米，这块地的面积是多少？如果用拖拉机每天耕18公顷，这块地几天才能耕完？ 【对应练习2】 一块三角形果园地，底30米，高16米。现在在这个果园里栽上梨树，已知每棵梨树的占地面积是4平方米，这块果园最多可以栽梨树多少棵？ 【对应练习3】 如图是一个等边三角形的交通停车标志，底边长6分米，高是5分米。每平方分米用油漆8克，两面都刷油漆，一共需要多少克油漆？    【考点十二】三角形面积的实际应用其二。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 【对应练习1】 随着科学技术的发展进步，城市建设也融入了许多先进、智能的元素。郑州市地铁在部分站点设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积是多少？ 【对应练习2】 一块某地由两部分组成（如图），长方形部分种黄瓜，等腰三角形部分种豆角。黄瓜地的面积是180平方米，豆角地的面积是多少平方米？    【对应练习3】 一块指示牌的形状是如图所示的组合图形，求它的面积。 【考点十三】三角形中的平移运动问题。＊ 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如下图，同一直线上的直角梯形和长方形相距10cm。直角梯形上底2cm，下底4cm，高6cm。长方形长26cm，宽6cm。现在直角梯形按每秒2cm匀速向右平移。 （1）画出直角梯形平移6秒钟后的位置，并算一算这时它与长方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）想一想，算一算，在直角梯形平移过程中，整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒？ 【对应练习1】 如图，甲、乙是两个完全相同的直角三角形。甲三角形沿着一条直线向乙三角形平移，速度是5厘米/秒。 （1）第几秒时，两个三角形完全重合？ （2）第7秒时，两个三角形重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 正方形ABCD的边长是8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边FG长为26厘米。正方形与三角形放在同一条直线上，如下图，CF＝10厘米。正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动。 （1）第8秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）第几秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米？ 【对应练习3】 如图在长方形ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动回到A点，（1）P点从A 点出发经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·三角形篇【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·三角形篇 专题内容 本专题以三角形的面积及实际应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，其中部分考点难度较大，可选择性讲解。 考点数量 十三个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理 3 【考点二】三角形面积的基本应用其一 7 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高 11 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高 14 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题 16 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式 18 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型 21 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四 22 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题 24 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题 26 【考点十一】三角形面积的实际应用其一 28 【考点十二】三角形面积的实际应用其二 30 【考点十三】三角形中的平移运动问题＊ 33 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三角形面积公式的主要推导原理。 【方法点拨】 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一步推导，下面介绍几种比较常见的推导方法。 推导方法一： 如图，如果三角形是一个直角三角形，可以再将一个一样的直角三角形和原图拼接成一个长方形，长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角形的面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法二： 如图，如果三角形是非直角三角形，可以将两个完全一样的三角形一正一反地组成平行四边形，转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法三： 如图，把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后整体补充成长方形，那左边的直角三角形面积等于左边的长方形的一半，右边的直角三角形面积等于右边的长方形的一半，所以原来的三角形的面积就等于大的长方形的一半，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法四： 如图，先把三角形从中间切割成两个直角三角形，然后取左边直角三角形的底边的中点，右边直角三角形的底边的中点，再画一个长方形，于是原来的三角形割补成这样一个大的长方形，长是相当于三角形的高，宽是相当于三角形底的一半，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法五： 如图，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 推导方法六： 如图，同方法五一样，先沿高线对折三角形，使顶点和垂足重合再展开，再沿折痕将上面的两个小三角形剪下，最后再拼成一个平行四边形，由此推导出一个三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为S＝( )。 【答案】 相等 一半 底×高÷2 ah÷2 【分析】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，那么三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高；三角形的面积等于平行四边形面积的一半；由“平行四边形的面积＝底×高”可推出三角形的面积公式。 【详解】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别相等；三角形的面积是平行四边形面积的一半。所以三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2。 【点睛】本题考查三角形面积公式的推导过程及应用，掌握平行四边形的面积公式，以及两个相同的三角形拼成一个平行四边形，找出三角形的底、高与平行四边形的底、高之间的关系是解题的关键。 【对应练习1】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是a、高是h，那么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝ 。 【答案】 a h÷2 ah÷2 【分析】观察图形发现，拼成的平行四边形的底相当于的三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，可知原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝三角形的底×三角形的高÷2。据此解答。 【详解】拼成的平行四边形的底是a，高是h÷2。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝ah÷2。 【点睛】本题考查了三角形面积公式的推导过程。 【对应练习2】 我们在探究“三角形面积公式”时，也可以把一个三角形沿虚线剪开，上半部分绕点A顺时针旋转和下半部分拼成平行四边形。平行四边形的底等于三角形的( )，平行四边形的高等于三角形的( )。如果平行四边形的面积是30平方厘米，那原三角形的面积是( )平方厘米。    【答案】 底 高÷2 30 【分析】通过观察图形发现：平行四边形的底a＝三角形的底a，平行四边形的高＝三角形的高h的一半，拼成的平行四边形的面积＝三角形的面积。据此求出三角形的面积。 【详解】拼成的平行四边形的底是三角形的底，即平行四边形的底等于三角形的底； 拼成的平行四边形的高是三角形高的一半，即平行四边形的高等于三角形的高÷2； 因为拼成的平行四边形的面积＝三角形的面积，所以如果平行四边形的面积是30平方厘米，那原三角形的面积是30平方厘米。 【点睛】通过观察图形，明确平行四边形和三角形底、高的关系是解决此题的关键。 【对应练习3】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。如图所示，三角形ABC的底为a，高为h（D、E分别为AB、AC边上的中点），转化后的长方形的长是( )，宽是( )，所以三角形的面积是S＝( )。 【答案】 a h÷2 ah÷2 【分析】根据题意，把一个三角形剪拼成一个长方形，那么三角形的面积等于长方形的面积。 观察图形可知，三角形ABC的底为a，高为h，转化后长方形的长与三角形的底相等，宽等于三角形高的一半；根据长方形的面积＝长×宽，把字母代入公式中，据此得出三角形的面积公式。 【详解】转化后的长方形的长是a，宽是h÷2； 长方形的面积＝长×宽 所以三角形的面积是S＝ah÷2。 【点睛】本题考查转化思想在数学中的应用，掌握图形转换和面积公式推导的过程是解题的关键。 【考点二】三角形面积的基本应用其一。 【方法点拨】 三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。 【典型例题1】问题一。 一个三角形的底是12m，高是9m，它的面积是( )m2。 【答案】54 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此代入数值进行计算即可求出三角形的面积。 【详解】12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（m2） 它的面积是54m2。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键。 【对应练习1】 一个三角形的三条边的长分别是3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】6 【分析】根据三角形中三条边的关系，判断此三角形是一个直角三角形，直角三角形中斜边最长，从而确定出两条直角边的长度，再依据三角形的面积公式＝面积×高÷2，即可求出这个三角形的面积。 【详解】因为5＞4＞3，所以这个三角形的两条直角边分别为3cm和4cm。 三角形的面积：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 所以，这个三角形的面积是6 cm2。 【点睛】本题考查三角形的面积，关键是判断出三角形中两条直角边的长度，再利用三角形的面积公式解决问题。 【对应练习2】 一个直角三角形的三条边分别是21厘米、28厘米和35厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】294 【分析】直角三角形的三条边分别是21厘米、28厘米和35厘米，已知直角三角形的斜边大于其他两条边，所以直角三角形的两条直角边是21厘米和28厘米，也就是直角三角形的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，用21×28÷2即可求出三角形的面积。 【详解】21＜28＜35 直角三角形的两条直角边是21厘米和28厘米，也就是直角三角形的底和高， 21×28÷2 ＝588÷2 ＝294（平方厘米） 三角形的面积是294平方厘米。 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用。 【对应练习3】 一个等腰直角三角形的一条腰长12dm，这个三角形的面积是( )dm2。 【答案】72 【分析】根据“等腰三角形的两条腰长度相等”可知，等腰直角三角形的一条腰长12dm，即这个直角三角形的两条直角边都是12dm，也就是这个三角形的底和高等于12dm；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出这个三角形的面积。 【详解】12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（dm2） 这个三角形的面积是72dm2。 【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，运用等腰直角三角形的特征，确定三角形的底和高是解题的关键。 【典型例题2】问题二。 求下面图形的面积。（单位：dm） 【答案】45 【分析】观察三角形，高为5dm，它对应的底边长是18dm，再根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积。 【详解】18×5÷2＝45（dm2） 即图形的面积是45dm2。 【对应练习1】 测量并计算图形的面积。 【答案】3平方厘米 【分析】测量可知，三角形的底为3厘米，高为2厘米，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】3×2÷2＝3（平方厘米） 即三角形的面积是3平方厘米。 【对应练习2】 找准所需条件，计算下列图形的面积。（单位：米） 【答案】6平方米 【分析】根据直角三角形的特征，可把直角三角形的两条直角边当作底和高，底取4米，高取3米，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出图形的面积。 【详解】3×4÷2＝6（平方米） 即图形的面积是6平方米。 【对应练习3】 计算下列图形的面积。 【答案】120；36；30 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（1）20×12÷2 ＝240÷2 ＝120 （2）12×6÷2 ＝72÷2 ＝36 （3）12×5÷2 ＝60÷2 ＝30 【考点三】三角形面积的基本应用其二：已知面积，反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据h=2S÷a计算。 【典型例题1】反求底。 一块三角形菜地的面积是180平方米，量得底边上的高20米，这块地的底边长是( )米。 【答案】18 【分析】已知三角形菜地的面积和高，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，代入数据计算，即可求出这块地的底边长。 【详解】180×2÷20 ＝360÷20 ＝18（米） 这块地的底边长是18米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的灵活运用。 【对应练习1】 一个高是4的三角形与另一个边长是4的正方形面积相等。那么三角形的底是( )。 【答案】8 【分析】正方形面积＝边长×边长，据此求出正方形面积，即三角形面积，再根据三角形的底＝面积×2÷高，列式计算即可。 【详解】4×4＝16（cm2） 16×2÷4＝8（cm） 三角形的底是8。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方形和三角形面积公式。 【对应练习2】 一个三角形的面积是25cm2，高是5cm，它对应的底是( )cm。 【答案】10 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，代入数据计算即可。 【详解】25×2÷5 ＝50÷5 ＝10（cm） 与这条高对应的底是10cm。 【点睛】本题考查三角形面积公式的灵活运用。 【对应练习3】 一个面积是16cm2的三角形，它的高是4cm，这个三角形的底是( )cm。 【答案】8 【分析】由三角形的面积计算公式可知，底＝三角形的面积×2÷三角形的高，据此解答。 【详解】16×2÷4 ＝32÷4 ＝8（cm） 这个三角形的底是8cm。 【点睛】掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题2】反求高。 三角形的面积是24平方米，底是8米，高是( )米。 【答案】6 【分析】三角形面积＝底×高÷2，那么三角形的高＝面积×2÷底，据此列式计算求出高即可。 【详解】24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（米） 所以，这个三角形的高是6米。 【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记并灵活运用三角形的面积公式是解题的关键。 【对应练习1】 一个三角形的面积是60平方米，底边长12米，高是( )米。 【答案】10 【分析】根据三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。 【详解】60×2÷12＝10（米） 高是10米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式。 【对应练习2】 三角形的面积是15平方厘米，底是6厘米，高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。 【详解】15×2÷6＝5（厘米） 高是5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式。 【对应练习3】 三角形草坪的面积是20m，如果底是5m，那么高是( )m。 【答案】8 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，已知三角形草坪的面积是20m，底是5m，所以高＝三角形的面积×2÷底，代入数据即可得解。 【详解】20×2÷5 ＝40÷5 ＝8（m） 那么高是8m。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式求解。 【考点四】三角形面积的基本应用其三：先求面积，再反求底或高。 【方法点拨】 1. 已知三角形的面积和高，求底，可以根据a=2S÷h计算； 2. 已知三角形的面积和底，求高，可以根据h=2S÷a计算。 【典型例题】 一个直角三角形，直角所对的边的长是10cm，其余两边分别是8cm和6cm。直角所对边上的高是( )cm。 【答案】4.8 【分析】根据：三角形的面积＝底×高÷2，先用8cm和6cm求出三角形的面积，再根据：高＝三角形的面积×2÷底，求10cm为底的高，解答此题即可。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 所以，直角所对边上的高是4.8cm。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式，是解答此题的关键。 【对应练习1】 有一个直角三角形指示牌的斜边长15cm，两条直角边的长分别为9cm和12cm。该指示牌斜边上的高是( )cm。 【答案】7.2 【分析】根据三角形面积公式：底×高÷2，因为是直角三角形，一条直角边可以当做底，底是9cm，另一条直角边可以当做高，高是12cm，代入数据，求出三角形面积；由于三角形面积不变，已知斜边是15cm，求斜边对应的高，代入三角形面积公式，即可解答。 【详解】9×12÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 54×2÷15 ＝108÷15 ＝7.2（cm） 即该指示牌斜边上的高是7.2cm。 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。 【对应练习2】 一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，它的面积是( )cm2，它的斜边上的高是( )cm，与它等底等高的平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】 6 2.4 12 【分析】直角三角形中最长的边是斜边，直角三角形的两条直角边互为彼此的底和高，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个直角三角形的面积，再根据“高＝三角形的面积×2÷底”求出斜边上的高，当三角形和平行四边形等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，据此解答。 【详解】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（cm） 6×2＝12（cm2） 所以，这个直角三角形的面积是6cm2，它的斜边上的高是2.4cm，与它等底等高的平行四边形的面积是12cm2。 【点睛】灵活运用三角形的面积计算公式，并掌握等底等高的三角形和平行四边形的面积关系是解答题目的关键。 【对应练习3】 一个直角三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形的面积是( )cm2，斜边上的高是( )cm。（“四舍五入”精确到个位） 【答案】 30 5 【分析】直角三角形中斜边最长，两条直角边互为彼此的底和高，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，最后根据“高＝三角形的面积×2÷底”求出斜边上的高，据此解答。 【详解】分析可知，这个直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，斜边是13cm。 5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 30×2÷13 ＝60÷13 ≈5（cm） 所以，这个三角形的面积是30cm2，斜边上的高是5cm。 【点睛】掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【考点五】等底等高的三角形和平行四边形其一：基本问题。 【方法点拨】 1.平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2.三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，用10×4即可求出和三角形等底等高的平行四边形的面积。 【详解】10×4＝40（平方厘米） 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是40平方厘米。 【点睛】本题考查了三角形和平行四边形的面积公式的灵活应用。 【对应练习1】 一个平行四边形的的底和高都是4m，它的面积是( )m2；和它等底等高的三角形的面积是( )m2。 【答案】 16 8 【分析】平行四边形的面积底高，等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答即可。 【详解】平行四边形的面积：（m2） 三角形面积：（m2） 【点睛】本题考查平行四边形、三角形的面积，解答本题的关键是掌握平行四边形、三角形的面积的计算公式。 【对应练习2】 一个三角形的底是50cm，高是12cm，它的面积是( )cm2，和它等底等高的平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】 300 600 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2即可求出这个三角形的面积，与它等底等高的平行四边形面积是这个三角形面积的2倍，据此可求出与它等底等高的平行四边形的面积。 【详解】50×12÷2 ＝600÷2 ＝300（cm2） 300×2＝600（cm2） 它的面积是300cm2，与它等底等高的平行四边形的面积是600cm2。 【点睛】此题重点考查三角形面积的求法及与它等底等高的平行四边形面积的关系。 【对应练习3】 一个三角形的底是8厘米，高是2厘米，面积是( )平方厘米；与它等底等高的平行四边形面积是( )平方厘米。 【答案】 8 16 【分析】利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，当三角形和平行四边形等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，据此解答。 【详解】8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 所以，这个三角形的面积是8平方厘米，与它等底等高的平行四边形面积是16平方厘米。 【点睛】熟记三角形的面积计算公式并掌握等底等高的三角形和平行四边形的面积关系是解答题目的关键。 【考点六】等底等高的三角形和平行四边形其二：底或高的变式。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3. 变式： （1）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 （2）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角形底的一半。 【典型例题1】问题一。 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是5厘米，那么平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是5厘米，那么三角形的高是( )厘米。 【答案】2.5、10 【详解】试题分析：根据平行四边形的面积公式S=ah及三角形的面积公式S=ah÷2，推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列式解答即可。 解：平行四边形的面积是：S=ah1 三角形的面积是：S=ah2÷2 所以ah1=ah2÷2 h1=h2÷2 平行四边形的高是：5÷2=2.5（厘米） 三角形的高是：5×2=10（厘米） 答：平行四边形的高是2.5厘米，三角形的高是10厘米。 故答案为2.5、10 点评：本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 【典型例题2】问题二。 一个三角形的面积是15平方厘米，底边长2分米，高是( )厘米；与它面积相等，高也相等的平行四边形的底边长( )厘米。 【答案】 1.5 10 【分析】由题意可知，根据1分米＝10厘米，则2分米＝20厘米，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，用15乘2再除以20即可；再根据平行四边形的面积公式：S＝ab，据此可求出平行四边形的底边长。 【详解】2分米＝20厘米 15×2÷20 ＝30÷20 ＝1.5（厘米） 15÷1.5＝10（厘米） 则个三角形的面积是15平方厘米，底边长2分米，高是1.5厘米；与它面积相等，高也相等的平行四边形的底边长10厘米。 【点睛】本题考查三角形和平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 如果一个平行四边形与三角形底相等，面积相等，三角形的高是4厘米，那么平行四边形的高是( )厘米。 【答案】2 【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah及三角形的面积公式S＝ah÷2，推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列式解答即可。 【详解】平行四边形的面积是：S＝ah1， 三角形的面积是：S＝ah2÷2， 所以ah1＝ah2÷2， h1＝h2÷2， 平行四边形的高是：4÷2＝2（厘米） 平行四边形的高是2厘米。 【点睛】本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍。 【对应练习2】 等面积等高的三角形和平行四边形，若三角形的底是6cm，则平行四边形的底是( )cm。 【答案】3 【分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以当平行四边形和三角形的面积相等，平行四边形的底是三角形底的一半，据此解答． 【详解】6÷2＝3（cm） 平行四边形的高是3cm。 【点睛】此题主要考查等底等高的平行四边形与三角形面积之间关系的灵活运用。 【对应练习3】 一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是10cm，平行四边形的底是( )cm。 【答案】5 【分析】等面积等高的平行四边形和三角形，三角形的底是平行四边形底的2倍，三角形的底÷2＝平行四边形的底，据此列式计算。 【详解】10÷2＝5（cm） 平行四边形的底是5cm。 【点睛】关键是掌握并灵活运用平行四边形和三角形面积公式。 【考点七】等底等高的三角形和平行四边形其三：中点模型。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中平行四边形底边上的中点是P，它的面积是60cm2，则涂色的三角形面积是( )cm2。 解析： 60÷4＝15（平方厘米） 【对应练习1】 在下图平行四边形中，涂色三角形的面积是27平方厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 解析： 27×4＝108（平方厘米） 【对应练习2】 在下图中，点A为所在边的中点，阴影部分的面积为48cm2，平行四边形的面积是( )cm2。 解析： 48×2×2 ＝96×2 ＝192（平方厘米） 【对应练习3】 下面图形底边的中点是，涂色部分的面积是，平行四边形的面积是( )。 解析： 【考点八】等底等高的三角形和平行四边形其四。 【方法点拨】 1. 平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； 2. 三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 【典型例题】 下图中△ABC的面积是30平方厘米，是平行四边形CDEF面积的2倍，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 解析： 30÷2÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 【对应练习1】 如图，长方形ABCD内有等边三角形BCE，如果等边三角形BCE的面积是4平方厘米，那么长方形ABCD的面积是( )平方厘米。 解析：4×2＝8（平方厘米） 【对应练习2】 如图，平行四边形的面积是20平方厘米，乙和丙的面积相等。则乙三角形的面积为( )平方分米。 解析： 20平方厘米＝0.2平方分米 0.2÷4＝0.05（平方分米） 【对应练习3】 下图中平行四边形的面积是98cm2，丙三角形的面积是甲三角形的( )，阴影部分的面积是( )cm2。 解析： 平行四边形的高＝98÷（6＋8）＝7（cm） 甲的面积＝98÷2＝49（cm2） 丙的面积＝底×高÷2＝8×7÷2＝28（cm2） 28÷49＝ 乙的面积＝底×高÷2＝6×7÷2＝21（cm2） 【考点九】三角形底和高的变化规律其一：增长问题。 【方法点拨】 对于延长图形中的某一条边导致面积增加的问题，可通过画图来帮助解题，分析出图形中的不变量，先根据增加的面积求出公共的高，然后计算出要求的三角形面积。 【典型例题】 一个三角形的底长是5m，如果底边延长1m，那么面积就增加2m²，请你求出原来三角形的面积是( )平方米。 解析： 原三角形的高∶2×2÷1=4（米） 原三角形的面积∶5×4÷2=10（平方米） 【对应练习1】 张爷爷有一块三角形的菜地，底是12米，如果高不变，把底延长4米，那么新三角形菜地面积就比原来增加16平方米，原来三角形菜地的面积是多少平方米？ 解析： 16×2÷4 ＝32÷4 ＝8（米） 12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 答：原来三角形菜地的面积是48平方米。 【对应练习2】 一个三角形的底是6dm，如果将它延长1dm，那么三角形的面积就增加2dm2。原三角形的面积是( )dm2。 【答案】12 【分析】由“如果底边延长1米，那么面积就增加2平方米”可以根据三角形的面积公式S＝ah÷2，得出h＝2S÷a，由此求出三角形的高，原三角形的底已知，根据三角形的面积公式S＝ah÷2进而可以求其面积。 【详解】原三角形的高：2×2÷1 ＝4÷1 ＝4（分米） 原三角形的面积：6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方分米） 则原来三角形的面积是12平方分米。 【点睛】解答此题的关键是先求出三角形的高，再利用三角形的面积公式解答。 【对应练习3】 一个三角形的底长是8m，如果底边延长2m，那么面积就增加4m2，原来三角形的面积是( )平方米。 【答案】16 【分析】由题意知：底边延长2m，面积增加4平方米，用面积乘2除以2，得到三角形的高，再利用底乘高除以2，得原三角形的面积。据此解答。 【详解】三角形的高： 4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 原三角形的面积： 8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 【点睛】灵活运用三角形面积公式求得三角形的高是解答本题的关键。 【考点十】三角形底和高的变化规律其二：扩倍问题。 【方法点拨】 三角形的高不变时，底扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍； 三角形的底不变时，高扩大到原来的几倍，面积也扩大到原来的几倍。 【典型例题】 1．一个三角形，如果把它的底和高都同时扩大4倍，面积就扩大( )倍。 【答案】16 【分析】三角形面积＝底×高÷2，根据积的变化规律，两个因数同时扩大到原来的4倍，积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。 【详解】4×4＝16 【点睛】关键是掌握三角形面积公式，熟悉积的变化规律。 2．一个三角形的底不变，高扩大2倍，面积会( )，如果高扩大5倍，底缩小5倍，它的面积( )。 【答案】 扩大2倍 不变 【分析】根据三角形的面积计算公式“s=ah”，进行推导，进而得出结论。 【详解】（1）S1=ah，底不变，如果高扩大2倍 即S2=a×（h×2） =ah S2÷S1=ah÷（ah）=2 （2）因为三角形的面积S=ah 所以S′=×5a×h=ah=S 故答案为扩大2倍，不变。 3．如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的2倍，那么面积将扩大( )倍；如果三角形的底不变，高缩小原来的那么面积将( )。 【答案】2，缩小原来的 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式“s=ah”，进行推导，进而得出结论。 解：因为三角形的面积S=ah 所以S′=×2×a×h=ah=2S 所以面积将扩大2倍 S1=ah，底不变，如果高缩小原来的 即S2=a×（h×） =ah S2÷S1=ah÷ah= 所以面积将缩小原来的 故答案为2，缩小原来的 点评：解答此题的关键是根据三角形的面积公式S=ah与积的变化规律解决问题。 【对应练习1】 一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大( )倍。 【答案】8 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高÷2，如果高扩大10倍，底也扩大10倍，根据积的变化规律，可知面积扩大10×10=100倍；据此进行选择。 解：一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大2×4=8倍； 故答案为8． 点评：此题考查积的变化规律的灵活运用：一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）两个因数扩大（或缩小）倍数的乘积倍。 【对应练习2】 一个三角形的底不变，高扩大3倍，则它的面积将( )。 【答案】扩大3倍 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式“s=ah”，进行推导，进而得出结论． 解：S1=ah，底不变，如果高扩大3倍， 即S2=a×（h×3）， =ah； S2÷S1=ah÷ah=3倍． 故一个三角形的底不变，高扩大3倍，面积扩大3倍． 故答案为扩大3倍． 点评：解答此题应结合题意，根据三角形的计算公式进行推导，进而得出结论。 【对应练习3】 一个三角形高不变，要使面积扩大2倍，底要扩大( )倍。 【答案】2 【详解】因为三角形的面积＝底×高÷2， 若高不变，要使面积扩大2倍，底要扩大2倍。 【考点十一】三角形面积的实际应用其一。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是14cm，做100面这样的小红旗，要用多少平方米的纸？ 【答案】0.98平方米 【分析】直角三角形的面积＝底×高÷2。这面小红旗的两条直角边长度都是14厘米，所以一面小红旗的面积为14×14÷2＝98平方厘米。要做100面这样的小红旗，总面积就是一面小红旗面积乘100，据此解答。 【详解】一面小红旗的面积：14×14÷2＝98（平方厘米）； 100面小红旗的总面积：98×100＝9800（平方厘米）； 因为1平方米＝10000平方厘米，所以9800平方厘米＝0.98平方米； 答：做100面这样的小红旗，要用0.98平方米的纸。 【对应练习1】 一块三角形地，底是500米，高是1440米，这块地的面积是多少？如果用拖拉机每天耕18公顷，这块地几天才能耕完？ 【答案】2天 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形菜地的面积是多少平方米，再根据1公顷＝10000平方米，把平方米化成公顷，再根据除法的意义，用三角形的面积除以拖拉机每天耕地的公顷数即可解答。 【详解】500×1440÷2 ＝720000÷2 ＝360000（平方米） 360000平方米＝36公顷 36÷18＝2（天） 答：这块地2天才能耕完。 【对应练习2】 一块三角形果园地，底30米，高16米。现在在这个果园里栽上梨树，已知每棵梨树的占地面积是4平方米，这块果园最多可以栽梨树多少棵？ 【答案】60棵 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，先求出果园面积，果园面积4每棵梨树占地面积＝可以栽的梨树棵数，据此列式解答。 【详解】30×16÷2 ＝480÷2 ＝240（平方米） 240÷4＝60（棵） 答：这块果园最多可以栽梨树60棵。 【对应练习3】 如图是一个等边三角形的交通停车标志，底边长6分米，高是5分米。每平方分米用油漆8克，两面都刷油漆，一共需要多少克油漆？    【答案】240克 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出交通停车标志的面积，用它的面积乘每平方分米用油漆的重量，再乘2即可。 【详解】6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（平方分米） 15×8×2 ＝120×2 ＝240（克） 答：一共需要240克油漆。 【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。 【考点十二】三角形面积的实际应用其二。 【方法点拨】 解决三角形面积的实际问题，熟练掌握三角形的面积计算公式是关键。 【典型例题】 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 【答案】69千克 【分析】这面墙的上部是一个底是50分米，高是12分米的三角形，下部是一个长是50分米，宽是40分米的长方形。根据三角形的面积＝底×高÷2，用50×12÷2可求出三角形的面积是300平方分米；根据长方形的面积＝长×宽，用50×40可求出长方形的面积是2000平方分米；再用三角形的面积加上长方形的面积求出这面墙的总面积是2300平方分米；2300平方分米＝23平方米，最后用每平方米用的水泥的千克数（3千克）乘这面墙的总面积（23平方米）可求出至少要准备的水泥的千克数。 【详解】50×12÷2＋50×40 ＝600÷2＋2000 ＝300＋2000 ＝2300（平方分米） 2300平方分米＝23平方米 23×3＝69（千克） 答：至少要准备69千克水泥。 【对应练习1】 随着科学技术的发展进步，城市建设也融入了许多先进、智能的元素。郑州市地铁在部分站点设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积是多少？ 【答案】130平方分米 【分析】看图可知，投影导向图可以分成一个长方形加上一个三角形，根据长方形的面积公式：长×宽；三角形的面积公式：（底×高）÷2，两者面积加起来即可求出投影导向图的面积。 【详解】长方形的面积：10×9＝90（平方分米） 三角形的面积：16×5÷2 ＝80÷2 ＝40（平方分米） 90＋40＝130（平方分米） 答：B出口的投影导向图的面积是130平方分米。 【点睛】此题考查了学生对三角形的面积公式以及长方形的面积公式的熟练掌握程度。 【对应练习2】 一块某地由两部分组成（如图），长方形部分种黄瓜，等腰三角形部分种豆角。黄瓜地的面积是180平方米，豆角地的面积是多少平方米？    【答案】72平方米 【分析】根据长方形的面积公式可知，用黄瓜地的面积180平方米除以长方形的长15米，即可求出长方形的宽为12米，根据等腰直角三角形的特征可知，这个三角形的两条直角边相等，都是12米，利用三角形的面积公式，列式：12×12÷2即可求出豆角地的面积是多少平方米。 【详解】180÷15＝12（米） 12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（平方米） 答：豆角地的面积是72平方米。 【点睛】此题主要是理解等腰直角三角形的特征，灵活运用长方形和三角形的面积公式求解。 【对应练习3】 一块指示牌的形状是如图所示的组合图形，求它的面积。 【答案】1200 【分析】由题意可知：指示牌的面积就等于长为40厘米，宽为20厘米的长方形面积加上三角形的面积，而三角形的面积又等于这个长方形面积的一半，因而指示牌的面积就等于长方形面积的，将数据代入长方形的面积公式即可求解。 【详解】40×20× ＝800× ＝1200（） 答：这块指示牌的面积是1200。 【点睛】解答此题的关键是明白：指示牌的面积就等于长为40厘米，宽为20厘米的长方形面积的，从而问题得解。 【考点十三】三角形中的平移运动问题。＊ 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如下图，同一直线上的直角梯形和长方形相距10cm。直角梯形上底2cm，下底4cm，高6cm。长方形长26cm，宽6cm。现在直角梯形按每秒2cm匀速向右平移。 （1）画出直角梯形平移6秒钟后的位置，并算一算这时它与长方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）想一想，算一算，在直角梯形平移过程中，整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒？ 【答案】（1）图见详解；6平方厘米 （2）11秒 【分析】（1）用梯形的移动速度乘移动时间，求出直角梯形向右平移了多少厘米。据此，画出平移后的直角梯形。看图，平移后的图形和长方形的重叠部分是三角形，它的底是2厘米，高是6厘米，据此利用三角形的面积公式，列式计算出重叠部分的面积。 （2）用长方形的长减去梯形的下底4厘米，再将其除以梯形的移动速度，求出整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒。 【详解】（1）2×6＝12（厘米），所以直角梯形向右平移了12厘米，平移后如下图： 重叠部分的面积：2×6÷2＝6（平方厘米） 答：重叠部分的面积是6平方厘米。 （2）（26－4）÷2 ＝22÷2 ＝11（秒） 答：整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了11秒。 【点睛】本题考查了平移和三角形的面积，三角形的面积＝底×高÷2。 【对应练习1】 如图，甲、乙是两个完全相同的直角三角形。甲三角形沿着一条直线向乙三角形平移，速度是5厘米/秒。 （1）第几秒时，两个三角形完全重合？ （2）第7秒时，两个三角形重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.2秒 （2）14.4平方厘米 【分析】（1）根据过桥问题的解决方法，用总长度厘米除以5，求重合所需时间。 （2）用7秒所行路程，减去三角形重合所行路程，求三角形重合后又向前行的路程，再根据重叠三角形与原三角形的关系，求重叠三角形的底和高，进而求其面积即可。 【详解】（1） （秒 答：第6.2秒时，两个三角形完全重合。 （2）（厘米） ＝15－10 ＝4（厘米） （厘米） ＝0.6×8 ＝4.8（厘米） ＝28.8÷2 ＝14.4（平方厘米） 答：两个三角形重叠部分的面积是14.4平方厘米。 【点睛】本题主要考查重叠问题，关键利用三角形面积公式：，计算重叠三角形的面积。 【对应练习2】 正方形ABCD的边长是8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边FG长为26厘米。正方形与三角形放在同一条直线上，如下图，CF＝10厘米。正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动。 （1）第8秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）第几秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米？ 【答案】（1）18平方厘米 （2）11秒和16秒 【分析】（1）正方形8秒移动距离2×8＝16厘米，正方形与三角形EGF重叠的一条边长16－10＝6厘米，进而根据三角形的面积公式解答； （2）正方形的面积是8×8＝64平方厘米，要使三角形和正方形重叠的面积是56平方厘米，那么有两种情况，第一种两个图形重叠后正方形的左上角还漏在外面，漏出的部分是一个面积是8平方厘米的小直角三角形；第二种情况是正方形开始离开三角形，已经漏出了正方形的右上角，漏出部分是一个面积是8平方厘米的直角三角形，求出这两种情况三角形的直角边的长度，进而求出正方形移动的距离，再根据时间＝路程÷速度求解即可。 【详解】（1）2×8＝16（厘米） 16－10＝6（厘米） 6×6÷2＝18（平方厘米） 答：三角形与正方形重叠部分的面积是18平方厘米。 （2）8×8＝64（平方厘米） 64－56＝8（平方厘米） 漏在外面的直角三角形面积都是8平方厘米， 4×4÷2＝8（平方厘米） 所以漏出部分的三角形的边长是4厘米 存在两种情况： ①正方形左上角还漏在外面： 8－4＝4（厘米） 正方形一共走了：10＋4＋8＝22（厘米） 22÷2＝11（秒） ②正方形一共走了：10＋（26－4）＝32（厘米） 32÷2＝16（秒） 答：第11秒和16秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米。 【点睛】本题考查图形移动问题，解答本题的关键是理解图形移动的规律。 【对应练习3】 如图在长方形ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动回到A点，（1）P点从A 点出发经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 【答案】8秒；12秒 【详解】试题分析：如图所示 （1）由题意可知：当三角形ABP与长方形ABCD等底等高时，则S△ABP=S长方形ABCD，此时三角形ABP的面积应最大，所以到达D点时面积最大，再用AD的长度除以点P的速度，就可以求出到达D点的时间。 （2）当点P离开点C时，面积就减小，所以保持面积最大的距离就是DC的长度，用DC的长度除以速度，就是保持面积最大需要的时间。 解：（1）16÷2=8（秒） 答：P点从A 点出发经过8秒时△ABP面积最大。 （2）24÷2=12（秒） 答：△ABP面积最大共持续12秒。 点评：解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半．且要明白：当三角形ABP与长方形ABCD等底等高时，三角形ABP的面积最大。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$