（篇三）第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型【六大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 14 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 14 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型 专题内容 本专题以一半模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型 ............................................................................3 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型 ............................................................................5 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型 ................................................. 7 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型 ..................................................... 9 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型 ................................................... 11 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖 .............................................................. 13 3 / 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4 / 14 【对应练习 1】 如图，在长方形 ABCD中，试比较三角形 BCE和三角形 CDF的面积的大小。 B C A DE F 【对应练习 2】 如图，这个平行四边形的底是 8厘米，面积是 40平方厘米，它的高是( ) 厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习 3】 如图所示：平行四边形的面积是 24cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 5 / 14 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，四边形 ABFE 和四边形 CDEF都是长方形，AB的长是 8厘米，BC 的长 是 5厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ BA E F CD 6 / 14 【对应练习 1】 如图，ABCD是平行四边形，EF与 AD平行，BC长 16厘米，阴影部分面积是 80平方厘米，那么 BC上的高是( )厘米。 【对应练习 2】 如下图，已知长方形 ABCD的面积是 180cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【对应练习 3】 如图，四边形 AEFD和 EFCB都是长方形，AD的长是 10分米，AB的长是 6分 米，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 7 / 14 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，正方形 ABCD 的边长为 12厘米，长方形 EFGD 的长 DG为 16厘米，那 么长方形的宽 DE为多少厘米？ 8 / 14 【对应练习 1】 如图，已知四边形 ABCD是一个长方形，四边形 AEFG 是梯形，B是 GF的中点， 已知长方形 ABCD的面积是 40，求梯形 AEFG 的面积。 【对应练习 2】 长方形 ABCD的面积是 70平方厘米，梯形 AFGE的顶点 F在 BC上，D是腰 EG的中点，试求梯形 AFGE的面积。 【对应练习 3】 如图，平行四边形 ABCD的面积是 24平方厘米，E、F、G、H分别是 AB、BC、 CD、DA的中点，连接 EF、FG、GH、HE,那么四边形 EFGH的面积是多少平方 厘米？ 9 / 14 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 DF，BE。四边形 BEDF的面积为 6平方分米，则四边形 ABCD的面积为多少？ 10 / 14 【对应练习 1】 如图，四边形 ABCD的面积是 80平方厘米，其中 E、F分别是 AD和 BC的中 点。已知三角形 ABE的面积是 15平方厘米，那么三角形 CDF的面积是多少平 方厘米？ 【对应练习 2】 如图所示，已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AD、BC的中点，连接 DF、BE。 四边形 ABCD的面积为 10，则四边形 EDFB的面积是多少？ 【对应练习 3】 如图，正方形 ABCD的边长是 10厘米，P是正方形内的任意一点，E、F、G、 H分别是正方形四条边上的中点，连接 PE、PF、PG、PH,那么图中阴影部分的 面积是多少平方厘米？ 11 / 14 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在梯形 ABCD 中，E是 AB的中点，阴影三角形的面积是 16平方厘米， 则梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？ 12 / 14 【对应练习 1】 如图所示，四边形 ABCD是直角梯形，面积是 400，E是 DC的中点，求阴影部 分的面积。 【对应练习 2】 如图，在梯形 ABCD中，E是 AD的中点，F是 BC的中点。S1和 S2的面积分别 是 15和 35，求梯形 ABCD的面积。 【对应练习 3】 如图，在梯形 ABCD中，E 、F 分别是 AB、CD的中点，S1和 S2的面积分别 是 5和 15，求梯形 ABCD的面积。（单位：厘米） 提示：过点 0作垂线MN。 13 / 14 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在长方形中有 3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。 A.10 B.11 C.12 D.13 14 / 14 【对应练习 1】 如图，四边形 ABCD中，E，F分别是 AD和 BC的中点，三角形 ABG的面积是 15，三角形 DHC的面积是 21，求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD，其中 E，F分别是 CD和 AB的中点，三角形 ABE的面积 是 12平方厘米，三角形 CDF的面积为 15平方厘米，四边形 ABCD的面积是多 少平方厘米？ 【对应练习 3】 如图所示，长方形 ABCD中，三角形 APD的面积是 25，三角形 BQC的面积为 35，则阴影部分面积为多少？ 1 / 19 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 19 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型 专题内容 本专题以一半模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型 ............................................................................3 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型 ............................................................................5 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型 ................................................. 7 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型 ................................................... 10 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型 ................................................... 13 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖 .............................................................. 16 3 / 19 【第三篇】典型例题篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析：50÷2=25 【对应练习 1】 如图，在长方形 ABCD中，试比较三角形 BCE和三角形 CDF的面积的大小。 4 / 19 B C A DE F 解析：两个三角形都等于长方形 ABCD面积的一半。 【对应练习 2】 如图，这个平行四边形的底是 8厘米，面积是 40平方厘米，它的高是( ) 厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 5 20 【分析】根据“平行四边形的面积＝底×高”，可得平行四边形的高＝面积÷底，代 入数值即可求出平行四边形的高；阴影部分是一个三角形且与平行四边形同底等 高，根据“三角形的面积＝底×高÷2”，代入数值即可求出阴影部分的面积。 【详解】40÷8＝5（厘米） 8 5 2     20 平方厘米 所以这个平行四边形的底是 8厘米，面积是 40平方厘米，它的高是 5厘米，阴 影部分的面积是 20平方厘米。 【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 【对应练习 3】 如图所示：平行四边形的面积是 24cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】12 【分析】因为阴影部分与平行四边形等底等高，所以阴影部分的面积是平行四边 形面积的一半，用平行四边形的面积除以 2即可。 【详解】24÷2＝12（cm2） 5 / 19 阴影部分的面积是 12cm2。 【点睛】此题解答关键是明确：等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的 2 倍。 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，四边形 ABFE 和四边形 CDEF都是长方形，AB的长是 8厘米，BC 的长 是 5厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ BA E F CD 6 / 19 解析：8×5÷2＝20（平方厘米） 【对应练习 1】 如图，ABCD是平行四边形，EF与 AD平行，BC长 16厘米，阴影部分面积是 80平方厘米，那么 BC上的高是( )厘米。 【答案】10 【分析】根据图示，在平行四边形 ADFE中，3个阴影三角形面积与平行四边形 ADFE等底等高，则 3个阴影三角形面积和是平行四边形 ADFE面积的一半。在 平行四边形 EFCB中，阴影部分三角形面积与平行四边形 EFBC等底等高，则三 角形阴影面积是平行四边形 EFCB面积的一半。综上所述，阴影部分面积是平行 四边形 ABCD的面积的一半，平行四边形 ABCD的面积就是 160平方厘米，平 行四边形底 BC＝16厘米，根据平行四边形的高＝面积÷底，求出 BC上的高。 【详解】80×2＝160（平方厘米） 160÷16＝10（厘米） BC上的高是 10厘米。 【对应练习 2】 如下图，已知长方形 ABCD的面积是 180cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】90 【分析】根据题意可知，长方形 ABCD中的阴影部分是四个三角形的面积，四 个三角形的底的和与长方形的长相等，四个三角形的高与长方形的宽相等，所以 长方形 ABCD中阴影部分的面积是长方形面积的一半，据此解答。 【详解】180÷2＝90（cm2） 7 / 19 如下图，已知长方形 ABCD的面积是 180cm2，阴影部分的面积是 90cm2。 【点睛】明确等底等高的三角形面积与长方形面积之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习 3】 如图，四边形 AEFD和 EFCB都是长方形，AD的长是 10分米，AB的长是 6分 米，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 解析： 10×6÷2＝30（平方分米） 答：图中阴影部分的面积是 30平方分米。 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 8 / 19 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，正方形 ABCD 的边长为 12厘米，长方形 EFGD 的长 DG为 16厘米，那 么长方形的宽 DE为多少厘米？ 解析： 连结 AG，△ADG是正方形 ABCD和长方形 EFGD 的共同部分，△ADG既是正 方形 ABCD 面积的一半，也是长方形 EFGD 面积的一半，所以长方形 EFGD 的 面积等于正方形 ABCD的面积。 正方形面积：12×12＝144（平方厘米） 长方形的宽：DE＝144÷16＝9（厘米）。 【对应练习 1】 如图，已知四边形 ABCD是一个长方形，四边形 AEFG 是梯形，B是 GF的中点， 已知长方形 ABCD的面积是 40，求梯形 AEFG 的面积。 【答案】40 【分析】如图，连接 BE，三角形 ABE的底等于长方形的长，三角形 ABE的高 9 / 19 等于长方形的长，根据三角形面积公式：三角形的面积＝底×高÷2＝长×宽÷2， 因此可得三角形 ABE的面积是长方形 ABCD面积的一半；根据在梯形存在的性 质：由梯形的一个腰和另外一个腰的中点组成的三角形的面积是梯形面积的一半。 可得三角形 ABE的面积是梯形 AEFG的面积的一半，即梯形 AEFG的面积是三 角形 ABE的面积 2倍，据此解答。 【详解】40÷2×2＝40 答：梯形 AEFG的面积是 40。 【对应练习 2】 长方形 ABCD的面积是 70平方厘米，梯形 AFGE的顶点 F在 BC上，D是腰 EG的中点，试求梯形 AFGE的面积。 【答案】70平方厘米 【分析】根据题意可连接 DF，三角形 ADF和长方形 ABCD是同底等高的，因 此可知三角形 ADF的面积是长方形 ABCD面积的一半，因为点 D是 EG的中点， AE平行与 FG，所以三角形 ADF也是梯形 AFGE面积的一半，因为点 D是线段 EG的中点，所以三角形 ADE和三角形 DGF的面积和就为梯形 AFGE面积的一 半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可。 【详解】三角形 ADF＝70÷2＝35（平方厘米） 因为点 D为 EG的中点，所以三角形 AED＋三角形 DFG＝35（平方厘米） 梯形 AFGE的面积：35＋35＝70（平方厘米） 答：梯形 AFGE的面积是 70平方厘米。 10 / 19 【点睛】解答此题的主要依据是三角形的面积是与其等底等高的平行四边形的面 积的一半。 【对应练习 3】 如图，平行四边形 ABCD的面积是 24平方厘米，E、F、G、H分别是 AB、BC、 CD、DA的中点，连接 EF、FG、GH、HE,那么四边形 EFGH的面积是多少平方 厘米？ 解析：连结 EG，则三角形 HEG的面积是平行四边形 AEGD的一半，三角形 FEG 的面积是平行四边形 BCGE 的一半，所以四边形 EFGH 的面积是平行四边形 ABCD面积的一半。 24÷2＝12（平方厘米） 答：四边形 EFGH的面积是 12平方厘米。 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 11 / 19 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 DF，BE。四边形 BEDF的面积为 6平方分米，则四边形 ABCD的面积为多少？ 解析： 连结 BD，则三角形 ABE和三角形 BDE相等，三角形 BDF和三角形 CDF相等， 三角形 BDE的面积和三角形 BDF的面积加在一起等于四边形 BEDF的面积，即 6 平方分米，三角形 ABD 的面积和三角形 BCD 的面积加在一起等于四边形 ABCD的面积，也就是四边形 BEDF面积的 2倍，所以四边形 ABCD的面积为 12平方分米。 【对应练习 1】 如图，四边形 ABCD的面积是 80平方厘米，其中 E、F分别是 AD和 BC的中 点。已知三角形 ABE的面积是 15平方厘米，那么三角形 CDF的面积是多少平 方厘米？ 【答案】25平方厘米 【分析】 三角形面积＝底×高÷2，等底等高的三角形面积相等，如图 ， 12 / 19 连接 BD，三角形 ABD 的面积是三角形 ABE面积的 2倍，用四边形 ABCD的面 积减去三角形 ABD 的面积，得到三角形 BCD 的面积，再除以 2，求出三角形 CDF的面积。 【详解】15×2＝30（平方厘米） （80－30）÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 答：三角形 CDF的面积是 25平方厘米。 【对应练习 2】 如图所示，已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AD、BC的中点，连接 DF、BE。 四边形 ABCD的面积为 10，则四边形 EDFB的面积是多少？ 【答案】5 【分析】如图，连接 BD △BED是△ABD面积的一半，△BDF是△BDC面积的一半，那么 1 1 2 2BED BFD BAD BCD S S S S      ，可推出 1 2EDFB ABCD S S ，据此解答即可。 【详解】10÷2＝5 答：四边形 EDFB的面积是 5。 【对应练习 3】 如图，正方形 ABCD的边长是 10厘米，P是正方形内的任意一点，E、F、G、 H分别是正方形四条边上的中点，连接 PE、PF、PG、PH,那么图中阴影部分的 面积是多少平方厘米？ 13 / 19 解析：连结 PA、PB、PC、PD，因为 E、F、G、H 分别是正方形四条边上的中 点，可构造出三角形的一半模型。从而得到阴影部分的面积等于正方形面积的一 半。 10×10÷2＝50（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是 50平方厘米。 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 14 / 19 如图，在梯形 ABCD 中，E是 AB的中点，阴影三角形的面积是 16平方厘米， 则梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：如下图所示，再画出一个与题中图形相同的图形，最终得到一个平行四边 形，由一半模型可以得到阴影部分图形的面积是平行四边形面积的一半，那么梯 形面积就是阴影三角形面积的 2倍，所以梯形的面积是 16×2=32（平方厘米）。 【对应练习 1】 如图所示，四边形 ABCD是直角梯形，面积是 400，E是 DC的中点，求阴影部 分的面积。 【答案】200 【分析】取 AB的中点 F，连接 E、F作辅助线，如图所示： 假设梯形的上底为 a，下底为 d，高为 h，根据三角形和梯形面积公式：三角形 面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出空白部分、阴影部分 与梯形的面积关系，即可解答。 15 / 19 【详解】取 AB的中点 F，连接 E、F作辅助线，如图所示： 假设梯形的上底为 a，下底为 d，高为 h。 空白部分面积＝三角形 ADE面积＋三角形 BCE面积 a×（h÷2）÷2＋d×（h÷2）÷2 ＝ah÷2÷2＋dh÷2÷2 ＝（ah＋dh）÷2÷2 ＝（a＋d）h÷2÷2 梯形的面积＝（a＋d）h÷2 所以，空白部分的面积是梯形面积的一半，则阴影部分的面积也是梯形面积的一 半。 400÷2＝200 答：阴影部分的面积是 200。 【对应练习 2】 如图，在梯形 ABCD中，E是 AD的中点，F是 BC的中点。S1和 S2的面积分别 是 15和 35，求梯形 ABCD的面积。 【答案】200 【分析】观察图形可知，三角形 S1和 S3等底等高，则它们的面积相等。同理 S2 和 S4面积相等。S1＋S2＝S3＋S4＝15＋35＝50，所有空白部分面积与阴影部分面 积相等，梯形 ABCD的面积是 50×2×2＝200。 【详解】15＋35＝50 50×2×2 ＝100×2 ＝200 16 / 19 答：梯形 ABCD的面积是 200。 【对应练习 3】 如图，在梯形 ABCD中，E 、F 分别是 AB、CD的中点，S1和 S2的面积分别 是 5和 15，求梯形 ABCD的面积。（单位：厘米） 提示：过点 0作垂线MN。 解析： 过点 O 做如图辅助线，则梯形 ABCD 被分成梯形 ABNM 和 CDMN，根据这两 个梯形的一半模型可求得。 5×2×2＋15×2×2＝80（平方厘米） 答：梯形 ABCD的面积是 80平方厘米。 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面 积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然， 通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样 子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它 们的面积之和等于长方形面积的一半。 17 / 19 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在长方形中有 3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。 A.10 B.11 C.12 D.13 解析： 通过观察图形发现，已知三角形的面积和阴影部分图形的面积没有直接的联系， 那不妨换个角度，在这个长方形中有两个长方形一半的三角形，那么这两个三角 形的面积相加应该等于长方形面积，但是由于有重叠部分，两个三角形没有占满 整个长方形，那么空出来的部分其实就和重叠部分面积相同，即重叠等于未覆盖。 阴影面积=5＋3＋4=12，选 C。 【对应练习 1】 如图，四边形 ABCD中，E，F分别是 AD和 BC的中点，三角形 ABG的面积是 15，三角形 DHC的面积是 21，求阴影部分的面积。 【答案】36 【分析】因为 E，F分别是 AD和 BC的中点，那么四边形 AECF的面积是四边 形 ABCD的面积的一半，四边形 DEBF的面积是四边形 ABCD面积的一半。设 四边形 ABCD面积为 S，各部分面积如图， 1 6 4 2S S S S    ， 2 6 3 2S S S S    ， 即 1 6 4 2 6 3 1 2 3 4 5 6 7S S S S S S S S S S S S S S             ，所以 6 5 7S S S  ，据此解答。 18 / 19 【详解】15 21 36  答：阴影部分的面积是 36。 【点睛】解决本题时应仔细观察各个部分面积的关系，关键是明确阴影部分的面 积等于三角形 ABG与三角形 DHC的面积和。 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD，其中 E，F分别是 CD和 AB的中点，三角形 ABE的面积 是 12平方厘米，三角形 CDF的面积为 15平方厘米，四边形 ABCD的面积是多 少平方厘米？ 【答案】27平方厘米 【分析】 如上图，分别作三角形 ADE的高 h1、三角形 CDF的高 h、三角形 BCE的高 h2， 将四边形 BGHF绕点 F旋转 180°，可以拼成一个长方形。而长方形对边相等， 所以 h1＋h2＝h×2，即 （h1＋h2）÷2 ＝h。又由题干可知，E是 CD的中点， 所以 DE＝CE＝CD÷2。 三角形 ADE的面积＝DE×h1÷2＝ （CD÷2） ×h1÷2 19 / 19 三角形 BCE的面积＝CE×h2÷2＝ （CD÷2） ×h2÷2 那么三角形ADE的面积＋三角形BCE的面积＝（CD÷2）×h1÷2＋（CD÷2）×h2÷2 ＝（CD÷2） ×（h1＋h2）÷2＝CD×h÷2，CD×h÷2恰好是三角形 CDF的面积。 所以三角形 ADE的面积＋三角形 BCE的面积＝三角形 CDF的面积。 由此可得出四边形 ABCD的面积＝三角形 ABE的面积＋三角形 ADE的面积＋ 三角形 BCE的面积三角形＝三角形 ABE的面积＋三角形 CDF的面积。 【详解】根据分析可得： 12＋15＝27（平方厘米） 答：四边形 ABCD的面积是 27平方厘米。 【点睛】理解三角形 ADE的面积＋三角形 BCE的面积＝三角形 CDF的面积是 解此题的关键。 【对应练习 3】 如图所示，长方形 ABCD中，三角形 APD的面积是 25，三角形 BQC的面积为 35，则阴影部分面积为多少？ 解析： 重叠等于未覆盖：三角形 CDE与三角形 ABF均为长方形的一半，它们重叠的面 积（阴影部分）等于长方形未被覆盖的面积，所以阴影部分的面积为 25＋35=60。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型 专题内容 本专题以一半模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型 3 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型 5 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型 7 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型 9 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型 11 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖 13 【第三篇】典型例题篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如图，在长方形ABCD中，试比较三角形BCE和三角形CDF的面积的大小。 B C A D E F 【对应练习2】 如图，这个平行四边形的底是8厘米，面积是40平方厘米，它的高是( )厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。    【对应练习3】 如图所示：平行四边形的面积是24cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，四边形ABFE和四边形CDEF都是长方形，AB的长是8厘米，BC的长是5厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ B A E F C D 【对应练习1】 如图，ABCD是平行四边形，EF与AD平行，BC长16厘米，阴影部分面积是80平方厘米，那么BC上的高是( )厘米。 【对应练习2】 如下图，已知长方形的面积是180cm2，阴影部分的面积是( )cm2。    【对应练习3】 如图，四边形AEFD和EFCB都是长方形，AD的长是10分米，AB的长是6分米，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，正方形ABCD的边长为12厘米，长方形EFGD的长DG为16厘米，那么长方形的宽DE为多少厘米？ 【对应练习1】 如图，已知四边形ABCD是一个长方形，四边形AEFG是梯形，B是GF的中点，已知长方形ABCD的面积是40，求梯形AEFG的面积。 【对应练习2】 长方形ABCD的面积是70平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点，试求梯形AFGE的面积。 【对应练习3】 如图，平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE,那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米？ 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF，BE。四边形BEDF的面积为6平方分米，则四边形ABCD的面积为多少？ 【对应练习1】 如图，四边形ABCD的面积是80平方厘米，其中E、F分别是AD和BC的中点。已知三角形ABE的面积是15平方厘米，那么三角形CDF的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图所示，已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF、BE。四边形ABCD的面积为10，则四边形EDFB的面积是多少？ 【对应练习3】 如图，正方形ABCD的边长是10厘米，P是正方形内的任意一点，E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，连接PE、PF、PG、PH,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点，阴影三角形的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如图所示，四边形ABCD是直角梯形，面积是400，E是DC的中点，求阴影部分的面积。 【对应练习2】 如图，在梯形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点。S1和S2的面积分别是15和35，求梯形ABCD的面积。 【对应练习3】 如图，在梯形ABCD中，E 、F 分别是 AB、CD的中点，S1和S2的面积分别是5和15，求梯形ABCD的面积。（单位：厘米） 提示：过点0作垂线MN。 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。 A.10 B.11 C.12 D.13 【对应练习1】 如图，四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，三角形ABG的面积是15，三角形DHC的面积是21，求阴影部分的面积。 【对应练习2】 如图，四边形ABCD，其中E，F分别是CD和AB的中点，三角形ABE的面积是12平方厘米，三角形CDF的面积为15平方厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积是25，三角形BQC的面积为35，则阴影部分面积为多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·一半模型 专题内容 本专题以一半模型为主，其中包括六种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型 3 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型 5 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型 7 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型 10 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型 13 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】一半模型问题一：犬齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析：50÷2=25 【对应练习1】 如图，在长方形ABCD中，试比较三角形BCE和三角形CDF的面积的大小。 B C A D E F 解析：两个三角形都等于长方形ABCD面积的一半。 【对应练习2】 如图，这个平行四边形的底是8厘米，面积是40平方厘米，它的高是( )厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。    【答案】 5 20 【分析】根据“平行四边形的面积＝底×高”，可得平行四边形的高＝面积÷底，代入数值即可求出平行四边形的高；阴影部分是一个三角形且与平行四边形同底等高，根据“三角形的面积＝底×高÷2”，代入数值即可求出阴影部分的面积。 【详解】40÷8＝5（厘米） 所以这个平行四边形的底是8厘米，面积是40平方厘米，它的高是5厘米，阴影部分的面积是20平方厘米。 【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 【对应练习3】 如图所示：平行四边形的面积是24cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】12 【分析】因为阴影部分与平行四边形等底等高，所以阴影部分的面积是平行四边形面积的一半，用平行四边形的面积除以2即可。 【详解】24÷2＝12（cm2） 阴影部分的面积是12cm2。 【点睛】此题解答关键是明确：等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。 【考点二】一半模型问题二：锯齿模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，四边形ABFE和四边形CDEF都是长方形，AB的长是8厘米，BC的长是5厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ B A E F C D 解析：8×5÷2＝20（平方厘米） 【对应练习1】 如图，ABCD是平行四边形，EF与AD平行，BC长16厘米，阴影部分面积是80平方厘米，那么BC上的高是( )厘米。 【答案】10 【分析】根据图示，在平行四边形ADFE中，3个阴影三角形面积与平行四边形ADFE等底等高，则3个阴影三角形面积和是平行四边形ADFE面积的一半。在平行四边形EFCB中，阴影部分三角形面积与平行四边形EFBC等底等高，则三角形阴影面积是平行四边形EFCB面积的一半。综上所述，阴影部分面积是平行四边形ABCD的面积的一半，平行四边形ABCD的面积就是160平方厘米，平行四边形底BC＝16厘米，根据平行四边形的高＝面积÷底，求出BC上的高。 【详解】80×2＝160（平方厘米） 160÷16＝10（厘米） BC上的高是10厘米。 【对应练习2】 如下图，已知长方形的面积是180cm2，阴影部分的面积是( )cm2。    【答案】90 【分析】根据题意可知，长方形ABCD中的阴影部分是四个三角形的面积，四个三角形的底的和与长方形的长相等，四个三角形的高与长方形的宽相等，所以长方形ABCD中阴影部分的面积是长方形面积的一半，据此解答。 【详解】180÷2＝90（cm2） 如下图，已知长方形ABCD的面积是180cm2，阴影部分的面积是90cm2。    【点睛】明确等底等高的三角形面积与长方形面积之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习3】 如图，四边形AEFD和EFCB都是长方形，AD的长是10分米，AB的长是6分米，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 解析： 10×6÷2＝30（平方分米） 答：图中阴影部分的面积是30平方分米。 【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，正方形ABCD的边长为12厘米，长方形EFGD的长DG为16厘米，那么长方形的宽DE为多少厘米？ 解析： 连结AG，△ADG是正方形ABCD和长方形EFGD的共同部分，△ADG既是正方形ABCD面积的一半，也是长方形EFGD面积的一半，所以长方形EFGD的面积等于正方形ABCD的面积。 正方形面积：12×12＝144（平方厘米） 长方形的宽：DE＝144÷16＝9（厘米）。 【对应练习1】 如图，已知四边形ABCD是一个长方形，四边形AEFG是梯形，B是GF的中点，已知长方形ABCD的面积是40，求梯形AEFG的面积。 【答案】40 【分析】如图，连接BE，三角形ABE的底等于长方形的长，三角形ABE的高等于长方形的长，根据三角形面积公式：三角形的面积＝底×高÷2＝长×宽÷2，因此可得三角形ABE的面积是长方形ABCD面积的一半；根据在梯形存在的性质：由梯形的一个腰和另外一个腰的中点组成的三角形的面积是梯形面积的一半。可得三角形ABE的面积是梯形AEFG的面积的一半，即梯形AEFG的面积是三角形ABE的面积2倍，据此解答。 【详解】40÷2×2＝40 答：梯形AEFG的面积是40。 【对应练习2】 长方形ABCD的面积是70平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点，试求梯形AFGE的面积。 【答案】70平方厘米 【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积和就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可。 【详解】三角形ADF＝70÷2＝35（平方厘米） 因为点D为EG的中点，所以三角形AED＋三角形DFG＝35（平方厘米） 梯形AFGE的面积：35＋35＝70（平方厘米） 答：梯形AFGE的面积是70平方厘米。 【点睛】解答此题的主要依据是三角形的面积是与其等底等高的平行四边形的面积的一半。 【对应练习3】 如图，平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE,那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米？ 解析：连结EG，则三角形HEG的面积是平行四边形AEGD的一半，三角形FEG的面积是平行四边形BCGE的一半，所以四边形EFGH的面积是平行四边形ABCD面积的一半。 24÷2＝12（平方厘米） 答：四边形EFGH的面积是12平方厘米。 【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF，BE。四边形BEDF的面积为6平方分米，则四边形ABCD的面积为多少？ 解析： 连结BD，则三角形ABE和三角形BDE相等，三角形BDF和三角形CDF相等，三角形BDE的面积和三角形BDF的面积加在一起等于四边形BEDF的面积，即6平方分米，三角形ABD的面积和三角形BCD的面积加在一起等于四边形ABCD的面积，也就是四边形BEDF面积的2倍，所以四边形ABCD的面积为12平方分米。 【对应练习1】 如图，四边形ABCD的面积是80平方厘米，其中E、F分别是AD和BC的中点。已知三角形ABE的面积是15平方厘米，那么三角形CDF的面积是多少平方厘米？ 【答案】25平方厘米 【分析】 三角形面积＝底×高÷2，等底等高的三角形面积相等，如图，连接BD，三角形ABD的面积是三角形ABE面积的2倍，用四边形ABCD的面积减去三角形ABD的面积，得到三角形BCD的面积，再除以2，求出三角形CDF的面积。 【详解】15×2＝30（平方厘米） （80－30）÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 答：三角形CDF的面积是25平方厘米。 【对应练习2】 如图所示，已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF、BE。四边形ABCD的面积为10，则四边形EDFB的面积是多少？ 【答案】5 【分析】如图，连接BD △BED是△ABD面积的一半，△BDF是△BDC面积的一半，那么，可推出，据此解答即可。 【详解】10÷2＝5 答：四边形EDFB的面积是5。 【对应练习3】 如图，正方形ABCD的边长是10厘米，P是正方形内的任意一点，E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，连接PE、PF、PG、PH,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析：连结PA、PB、PC、PD，因为E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，可构造出三角形的一半模型。从而得到阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 10×10÷2＝50（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是50平方厘米。 【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点，阴影三角形的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：如下图所示，再画出一个与题中图形相同的图形，最终得到一个平行四边形，由一半模型可以得到阴影部分图形的面积是平行四边形面积的一半，那么梯形面积就是阴影三角形面积的2倍，所以梯形的面积是16×2=32（平方厘米）。 【对应练习1】 如图所示，四边形ABCD是直角梯形，面积是400，E是DC的中点，求阴影部分的面积。 【答案】200 【分析】取AB的中点F，连接E、F作辅助线，如图所示： 假设梯形的上底为a，下底为d，高为h，根据三角形和梯形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出空白部分、阴影部分与梯形的面积关系，即可解答。 【详解】取AB的中点F，连接E、F作辅助线，如图所示： 假设梯形的上底为a，下底为d，高为h。 空白部分面积＝三角形ADE面积＋三角形BCE面积 a×（h÷2）÷2＋d×（h÷2）÷2 ＝ah÷2÷2＋dh÷2÷2 ＝（ah＋dh）÷2÷2 ＝（a＋d）h÷2÷2 梯形的面积＝（a＋d）h÷2 所以，空白部分的面积是梯形面积的一半，则阴影部分的面积也是梯形面积的一半。 400÷2＝200 答：阴影部分的面积是200。 【对应练习2】 如图，在梯形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点。S1和S2的面积分别是15和35，求梯形ABCD的面积。 【答案】200 【分析】观察图形可知，三角形S1和S3等底等高，则它们的面积相等。同理S2和S4面积相等。S1＋S2＝S3＋S4＝15＋35＝50，所有空白部分面积与阴影部分面积相等，梯形ABCD的面积是50×2×2＝200。 【详解】15＋35＝50 50×2×2 ＝100×2 ＝200 答：梯形ABCD的面积是200。 【对应练习3】 如图，在梯形ABCD中，E 、F 分别是 AB、CD的中点，S1和S2的面积分别是5和15，求梯形ABCD的面积。（单位：厘米） 提示：过点0作垂线MN。 解析： 过点O做如图辅助线，则梯形ABCD被分成梯形ABNM和CDMN，根据这两个梯形的一半模型可求得。 5×2×2＋15×2×2＝80（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是80平方厘米。 【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖。 【方法点拨】 1. 一半模型。 对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形） 2. 解题方法。 （1）三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （2）锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它们的面积之和等于长方形面积的一半。 （3）作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。 （4）辅助线构造任意四边形的一半模型。 【典型例题】 如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。 A.10 B.11 C.12 D.13 解析： 通过观察图形发现，已知三角形的面积和阴影部分图形的面积没有直接的联系，那不妨换个角度，在这个长方形中有两个长方形一半的三角形，那么这两个三角形的面积相加应该等于长方形面积，但是由于有重叠部分，两个三角形没有占满整个长方形，那么空出来的部分其实就和重叠部分面积相同，即重叠等于未覆盖。阴影面积=5＋3＋4=12，选C。 【对应练习1】 如图，四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，三角形ABG的面积是15，三角形DHC的面积是21，求阴影部分的面积。 【答案】36 【分析】因为E，F分别是AD和BC的中点，那么四边形AECF的面积是四边形ABCD的面积的一半，四边形DEBF的面积是四边形ABCD面积的一半。设四边形ABCD面积为S，各部分面积如图，，，即，所以，据此解答。 【详解】 答：阴影部分的面积是36。 【点睛】解决本题时应仔细观察各个部分面积的关系，关键是明确阴影部分的面积等于三角形ABG与三角形DHC的面积和。 【对应练习2】 如图，四边形ABCD，其中E，F分别是CD和AB的中点，三角形ABE的面积是12平方厘米，三角形CDF的面积为15平方厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】27平方厘米 【分析】 如上图，分别作三角形ADE的高h1、三角形CDF的高h、三角形BCE的高h2，将四边形BGHF绕点F旋转180°，可以拼成一个长方形。而长方形对边相等，所以h1＋h2＝h×2，即 （h1＋h2）÷2 ＝h。又由题干可知，E是CD的中点，所以DE＝CE＝CD÷2。 三角形ADE的面积＝DE×h1÷2＝ （CD÷2） ×h1÷2 三角形BCE的面积＝CE×h2÷2＝ （CD÷2） ×h2÷2 那么三角形ADE的面积＋三角形BCE的面积＝（CD÷2） ×h1÷2＋（CD÷2） ×h2÷2＝（CD÷2） ×（h1＋h2）÷2＝CD×h÷2，CD×h÷2恰好是三角形CDF的面积。所以三角形ADE的面积＋三角形BCE的面积＝三角形CDF的面积。 由此可得出四边形ABCD的面积＝三角形ABE的面积＋三角形ADE的面积＋三角形BCE的面积三角形＝三角形ABE的面积＋三角形CDF的面积。 【详解】根据分析可得： 12＋15＝27（平方厘米） 答：四边形ABCD的面积是27平方厘米。 【点睛】理解三角形ADE的面积＋三角形BCE的面积＝三角形CDF的面积是解此题的关键。 【对应练习3】 如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积是25，三角形BQC的面积为35，则阴影部分面积为多少？ 解析： 重叠等于未覆盖：三角形CDE与三角形ABF均为长方形的一半，它们重叠的面积（阴影部分）等于长方形未被覆盖的面积，所以阴影部分的面积为25＋35=60。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$