（篇二）第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型【七大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 16 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 16 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型【七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型 专题内容 本专题以等积模型为主，其中共包括七种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题） ...........3 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理 ............................................. 5 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型 .............................................................6 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题） ... 8 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） .................................................................................................................................................. 10 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） . 12 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型 ............................................... 14 3 / 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等 积变形问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，直线m n∥ ，A、B为直线 n上的两点，CP为直线m 上的两点，如果A、B 、 C 三点固定不动，点 P在m 上移动，那么无论 P 点移动到何处，则图中面积相等 的三角形有：( )。 【对应练习 1】 本学期课本的第 92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形 ABE 和三角形CDE 面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。 4 / 16 【对应练习 2】 下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？( )（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【对应练习 3】 （1）下图中，两条虚线互相平行，图中哪几对三角形的面积相等？（至少写两 对） （2）请你在图中画一个和三角形 ABC面积相等的三角形。 （3）在图中和三角形 ABC面积相等的三角形能画多少个？你有什么发现？请你 把你的发现写出一条来。 5 / 16 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，则阴影部分的面积是 ( )。（单位：厘米） 【对应练习 1】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是 ( )平方厘米。 6 / 16 【对应练习 2】 两个完全相同的直角三角形重叠在一起，如图所示，阴影部分的面积是 ( )（单位：cm） 【对应练习 3】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是( ) 平方厘米。 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 7 / 16 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如右图，在梯形 ABCD 中，AC与 BD 是对角线，其交点 O，求证：△AOD 与 △BOC面积相等。 【对应练习】 如右图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几 对？ 8 / 16 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正 方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 已知图中大正方形和小正方形的边长分别是 4厘米和 6厘米，阴影部分的面积是 多少平方厘米？ 9 / 16 【对应练习 1】 两个正方形如图放置，其中 D、C、G在同一条直线上，小正方形 ECGF的边长 为 6，连 AE、EG、AG，求图中阴影部分的面积。 【对应练习 2】 如图所示，正方形 ABCD边长为 10，正方 BEFG形边长为 6，正方形 JIHC面积 未知，求阴影部分的面积是多少？ 【对应练习 3】 如图，是长方形 ADEF和直角梯形 ABCD组成的组合图形，已知长方形 AFED 的面积是 90平方厘米，求阴影部分面积。 10 / 16 【对应练习 4】 如图，大正方形的边长是 5厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习 5】 如图，已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那 么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多 个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 11 / 16 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为 2cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 1】 如图，大小三个正方形的边长分别是 6cm、4cm、2cm，求 S 阴影部分。 12 / 16 【对应练习 2】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 3】 如图，大小三个正方形如下排列，其边长分别是 3cm、4cm、2cm，求 S 阴影部分。 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正 方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 13 / 16 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为 2cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 1】 如图，大小正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 14 / 16 【对应练习 2】 如图，大小正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 3】 如图，长方形的面积是 40cm2，BE=3cm，DF=2cm，求 S 阴影部分。 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 15 / 16 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F分别是线段 AB、BC上的点，DE⊥AC于 点 E，且 AE=5cm，BF=6cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 1】 如图，在直角△ABC中，四边形 BDEF是长方形，且 AF=8cm，CD=5cm，求 S 阴影部分。 16 / 16 【对应练习 2】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 【对应练习 3】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 1 / 23 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 29 日 2 / 23 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型【七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型 专题内容 本专题以等积模型为主，其中共包括七种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章， 其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大， 因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解 部分考点考题。 考点数量 七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题） ...........3 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理 ............................................. 6 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型 .............................................................9 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题） . 10 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） .................................................................................................................................................. 15 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） . 18 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型 ............................................... 21 3 / 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等 积变形问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，直线m n∥ ，A、B为直线 n上的两点，CP为直线m 上的两点，如果A、B 、 C 三点固定不动，点 P在m 上移动，那么无论 P 点移动到何处，则图中面积相等 的三角形有：( )。 【答案】△PAB与△ABC、△PAC和△PBC 【分析】平行线间的距离处处相等，三角形面积＝底×高÷2，△PAB与△ABC的 面积相等，理由是：同底等高；△PAC的面积与△PBC的面积相等，根据是同 4 / 23 底等高，据此解答即可。 【详解】图中面积相等的三角形有：△PAB与△ABC、△PAC和△PBC。 【点睛】本题考查三角形的面积、平行，解答本题的关键是掌握三角形的面积计 算公式。 【对应练习 1】 本学期课本的第 92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形 ABE 和三角形CDE 面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。 【答案】相等，说明见详解 【分析】等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，因为三角形 ABD与三角形 ACD是等底等高的三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高 ÷2，确定三角形面积形 ABD与三角形 ACD的面积之间的关系，进而求出三角 形 ABE与三角形 CDE的关系（答案不唯一）。 【详解】根据分析可知，三角形 ABD与三角形 ACD是等底等高的三角形， 所以三角形 ABD面积＝三角形 ACD面积。 三角形 ABE的面积＝三角形 ABD的面积－三角形 ADE的面积； 三角形 CDE的面积＝三角形 ACD的面积－三角形 ADE的面积； 三角形 ABD的面积＝三角形 ACD的面积， 两个三角形都减去同一个三角形，所以三角形ABE的面积＝三角形CDE的面积。 【对应练习 2】 下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？( )（选填“相等”或“不相等”。） 5 / 23 （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【答案】（1）相等；（2）见详解 【分析】（1）三角形面积＝底×高÷2，这两个三角形的底均为 2，高均为 4，那 么这两个三角形等底等高、面积相等； （2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。 【详解】（1）这两个三角形的面积相等吗？相等。 （2）如图： （答案不唯一） 【对应练习 3】 （1）下图中，两条虚线互相平行，图中哪几对三角形的面积相等？（至少写两 对） （2）请你在图中画一个和三角形 ABC面积相等的三角形。 （3）在图中和三角形 ABC面积相等的三角形能画多少个？你有什么发现？请你 把你的发现写出一条来。 【答案】（1）三角形 ABC和三角形 BCD；三角形 ABD和三角形 ACD；（答 案不唯一） （2）图见详解； （3）无数；见详解 【分析】（1）等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，据此 在图中找出等底等高的两对三角形即可； （2）在上面的那条虚线上任选一点 F，分别把它和点 B、点 C连接起来，所形 6 / 23 成的三角形和三角形 ABC等底等高，则面积相等。 （3）因为上面那虚线上有无数个点，任意找一个点，只要把它与点 B、点 C连 接起来，那么画出的三角形就会和三角形 ABC的面积相等，所以通过画图发现， 只要在两条平行线之间，并且底相等的情况下，它们的面积就会相等。 【详解】（1）根据三角形的面积公式可知，只要满足等底等高，两个三角形的 面积就会相等。 答：三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，三角形 ABD和三角形 ACD面积相 等。 （2）如图： （3）答：在图中和三角形 ABC面积相等的三角形能画无数个，我发现：两条平 行线间的底相等的三角形，它们的面积也相等。 【点睛】本题需要熟练掌握等底等高的三角形面积相等的特点，根据平行线的特 点，明确图中这些三角形等高是解题的关键。 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 7 / 23 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，则阴影部分的面积是 ( )。（单位：厘米） 解析： 如图： [（8－3）＋8]×5÷2 ＝[5＋8]×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方厘米） 【对应练习 1】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是 ( )平方厘米。 解析： 8 / 23 阴影部分面积：（12－4＋12）×3÷2 ＝（8＋12）×3÷2 ＝20×3÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 【对应练习 2】 两个完全相同的直角三角形重叠在一起，如图所示，阴影部分的面积是 ( )（单位：cm） 【答案】27cm² 【分析】 阴影部分与红色部分面积相同，红色部分是个梯形，根 据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算即可。 【详解】（15－3＋15）×2÷2 ＝27×1 ＝27（平方厘米） 【点睛】关键是看懂图示，掌握梯形面积公式。 【对应练习 3】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是( ) 平方厘米。 【答案】75 【分析】这两个直角三角形完全一样，它们的面积相同，所以阴影面积等于下面 9 / 23 梯形的面积，只要求出梯形的面积即可。 【详解】（18－6＋18）×5÷2 ＝30×5÷2 ＝75（平方厘米） 【点睛】此题考查了梯形的面积公式的灵活应用，关键是把不能直接计算的图形 面积转化为容易计算的图形面积。 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如右图，在梯形 ABCD 中，AC与 BD 是对角线，其交点 O，求证：△AOD 与 △BOC面积相等。 解析： 10 / 23 由等积模型可知，三角形 ADC与三角形 BDC面积相等，它们都减去重叠部分， 剩下的部分面积仍相等。 【对应练习】 如右图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几 对？ 解析：根据同底等高三角形面积相等，梯形左右对角三角形面积相等可得。 答：共有 3对，分别为：S△AOD ＝S△ BOC； S△ABD ＝S△ABC； S△ADC ＝S△ BCD。 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正 方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 11 / 23 计算。 【典型例题】 已知图中大正方形和小正方形的边长分别是 4厘米和 6厘米，阴影部分的面积是 多少平方厘米？ 【答案】18平方厘米 【分析】如下图所示，连接 FD，三角形 AFD的面积是（6×4÷2）平方厘米，三 角形 FDC的面积是（6×4÷2）平方厘米，则三角形 AFD的面积等于三角形 FDC 的面积。假设 AD与 FC相交于点 O，则三角形 AFO的面积等于三角形 ODC的 面积。阴影部分三角形的面积就等于大正方形内三角形 ADC的面积。根据三角 形的面积＝底×高÷2，求出阴影部分三角形的面积。 【详解】6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 18平方厘米。 【对应练习 1】 两个正方形如图放置，其中 D、C、G在同一条直线上，小正方形 ECGF的边长 为 6，连 AE、EG、AG，求图中阴影部分的面积。 【答案】18 【详解】连接 AC， 12 / 23 则 S△AEC＝S△ACG， S△AEC﹣S△AHC＝S△ACG﹣S△AHC， 即 S△AEH＝S△HCG， 所以阴影部分的面积＝ ×6×6， ＝3×6， ＝18； 答：图中阴影部分的面积是 18。 【对应练习 2】 如图所示，正方形 ABCD边长为 10，正方 BEFG形边长为 6，正方形 JIHC面积 未知，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】20 【分析】连接 CI，CF，如下图所示：如果注意到 DF为正方形 ABCD的对角线 （或者说一个等腰直角三角形的斜边）的一部分，那么容易想到 DF与 CI是平 行的。所以可以连接 CI，CF。由于 DF与 CI互相平行，两条平行线之间的距离 相等，也就是三角形 DFI与三角形 DFC的高相等，所以三角形 DFI的面积等于 三角形 DFC的面积。三角形 DFC中，底边 DC长 10，高长（10－6），根据三 角形的面积＝底×高÷2，求得三角形 DFC的面积，即三角形 DFI 的面积。据此 解答即可。 13 / 23 【详解】10×（10－6）÷2 ＝10×4÷2 ＝20 答：阴影部分的面积是 20。 【点睛】连接 CI、CF，找到平行线间的两个面积相等的三角形是解决此题的关 键。 【对应练习 3】 如图，是长方形 ADEF和直角梯形 ABCD组成的组合图形，已知长方形 AFED 的面积是 90平方厘米，求阴影部分面积。 【答案】45平方厘米 【分析】利用等积变换思想，将所求阴影部分面积转化成一个规则的易求的几何 图形的面积。首先，△GCD的面积等于△GDB的面积，而△BDE的面积等于 △DEF的面积。 【详解】如图，连接 BD，FD。 因为 AD∥BC 所以 S△GCD＝S△GDB 因为 FE∥AD， 所以 S△BDE＝S△DEF＝ 1 2 ×90＝45（平方厘米） 答：阴影部分面积是 45平方厘米。 【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，难度不大，但却是一道经典好 题。巧妙地将所求阴影部分的面积转化成△EFD的面积是解决本题的关键。 14 / 23 【对应练习 4】 如图，大正方形的边长是 5厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】12.5 【详解】试题分析：如图所示，因为三角形 DHG和三角形 DHF等底等高，则 二者的面积相等，于是可知：阴影部分的面积就等于三角形 AGD的面积，利于 三角形的面积公式即可求解． 解：5×5÷2=12.5（平方厘米）， 答：阴影部分的面积是 12.5平方厘米． 故答案为 12.5． 点评：由题意得出：阴影部分的面积就等于三角形 AGD的面积，是解答本题的 关键． 【对应练习 5】 如图，已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那 么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18 【详解】试题分析：根据题意，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去三角 形 ABE的面积减去三角形 EFH的面积再减去三角形 ADG的面积，可根据正方 形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 15 / 23 解：（8×8+6×6）﹣（8+6）×8÷2﹣6×6÷2﹣（8﹣6）×8÷2， =（64+36）﹣14×8÷2﹣18﹣2×8÷2， =100﹣56﹣18﹣8， =44﹣18﹣8， =26﹣8， =18（平方厘米）； 答：阴影部分的面积为 18平方厘米． 故答案为 18． 点评：此题主要考查的是三角形的面积公式和长方形的面积公式的应用． 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多 个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为 2cm，求 S 阴影部分。 16 / 23 解析： 如图所示，分两次连接对角线，构建不同的等积模型，最终得到红色阴影部分与 所求阴影部分面积相等。 2×2=4（cm） S=4×4÷2=8（cm2） 【对应练习 1】 如图，大小三个正方形的边长分别是 6cm、4cm、2cm，求 S 阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 17 / 23 S=6×（6-4）÷2=6（cm2） 【对应练习 2】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 S=4×4÷2=8（cm2） 【对应练习 3】 18 / 23 如图，大小三个正方形如下排列，其边长分别是 3cm、4cm、2cm，求 S 阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 S=（3+3）×4÷2=12（cm2） 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正 方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 19 / 23 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为 2cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， 2×2=4（cm） S=4×4=16（cm2） 【对应练习 1】 如图，大小正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， 20 / 23 S=6×6÷2=18（cm2） 【对应练习 2】 如图，大小正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， S 蓝=4×6÷2=12（cm2） 根据等高模型 S 阴=12× 46 6  =7.2（cm2） 【对应练习 3】 如图，长方形的面积是 40cm2，BE=3cm，DF=2cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， 21 / 23 S=40-3×2=34（cm2） 34÷2=17（cm2） 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形 ABC 和三角形 BCD 夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距 离处处相等，且有公共底边 BC，那么三角形 ABC和三角形 BCD面积相等，即 等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线， 再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化 计算。 【典型例题】 如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F分别是线段 AB、BC上的点，DE⊥AC于 点 E，且 AE=5cm，BF=6cm，求 S 阴影部分。 22 / 23 解析：如图所示， S=5×6÷2=15（cm2） 【对应练习 1】 如图，在直角△ABC中，四边形 BDEF是长方形，且 AF=8cm，CD=5cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， S=5×8÷2=20（cm2） 【对应练习 2】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 23 / 23 解析：如图所示， S=（6+4+4）×6÷2=42（cm2） 【对应练习 3】 如图，大小两个正方形的边长分别是 6cm、4cm，求 S 阴影部分。 解析：如图所示， S=（6+6+4）×4÷2=32（cm2） 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型【七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型 专题内容 本专题以等积模型为主，其中共包括七种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题） 3 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理 5 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型 6 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题） 8 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） 10 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） 12 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，直线，、为直线上的两点，为直线上的两点，如果、、三点固定不动，点在上移动，那么无论点移动到何处，则图中面积相等的三角形有：( )。 【对应练习1】 本学期课本的第92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形和三角形面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。 【对应练习2】 下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？( )（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【对应练习3】 （1）下图中，两条虚线互相平行，图中哪几对三角形的面积相等？（至少写两对） （2）请你在图中画一个和三角形ABC面积相等的三角形。 （3）在图中和三角形ABC面积相等的三角形能画多少个？你有什么发现？请你把你的发现写出一条来。 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，则阴影部分的面积是( )。（单位：厘米） 【对应练习1】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 两个完全相同的直角三角形重叠在一起，如图所示，阴影部分的面积是( )（单位：cm） 【对应练习3】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOD与△BOC面积相等。 【对应练习】 如右图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 已知图中大正方形和小正方形的边长分别是4厘米和6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 两个正方形如图放置，其中D、C、G在同一条直线上，小正方形ECGF的边长为6，连AE、EG、AG，求图中阴影部分的面积。 【对应练习2】 如图所示，正方形ABCD边长为10，正方BEFG形边长为6，正方形JIHC面积未知，求阴影部分的面积是多少？ 【对应练习3】 如图，是长方形ADEF和直角梯形ABCD组成的组合图形，已知长方形AFED的面积是90平方厘米，求阴影部分面积。    【对应练习4】 如图，大正方形的边长是5厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习5】 如图，已知正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别是8 厘米和6 厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为2cm，求S阴影部分。 【对应练习1】 如图，大小三个正方形的边长分别是6cm、4cm、2cm，求S阴影部分。 【对应练习2】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 【对应练习3】 如图，大小三个正方形如下排列，其边长分别是3cm、4cm、2cm，求S阴影部分。 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为2cm，求S阴影部分。 【对应练习1】 如图，大小正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 【对应练习2】 如图，大小正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 【对应练习3】 如图，长方形的面积是40cm2，BE=3cm，DF=2cm，求S阴影部分。 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F分别是线段AB、BC上的点，DE⊥AC于点E，且AE=5cm，BF=6cm，求S阴影部分。 【对应练习1】 如图，在直角△ABC中，四边形BDEF是长方形，且AF=8cm，CD=5cm，求S阴影部分。 【对应练习2】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 【对应练习3】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型【七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等积模型 专题内容 本专题以等积模型为主，其中共包括七种常见问题。 总体评价 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题） 3 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理 6 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型 9 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题） 10 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） 15 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题） 18 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型 21 【第三篇】典型例题篇 【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，直线，、为直线上的两点，为直线上的两点，如果、、三点固定不动，点在上移动，那么无论点移动到何处，则图中面积相等的三角形有：( )。 【答案】△PAB与△ABC、△PAC和△PBC 【分析】平行线间的距离处处相等，三角形面积＝底×高÷2，△PAB与△ABC的面积相等，理由是：同底等高；△PAC的面积与△PBC的面积相等，根据是同底等高，据此解答即可。 【详解】图中面积相等的三角形有：△PAB与△ABC、△PAC和△PBC。 【点睛】本题考查三角形的面积、平行，解答本题的关键是掌握三角形的面积计算公式。 【对应练习1】 本学期课本的第92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形和三角形面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。 【答案】相等，说明见详解 【分析】等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，因为三角形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，确定三角形面积形ABD与三角形ACD的面积之间的关系，进而求出三角形ABE与三角形CDE的关系（答案不唯一）。 【详解】根据分析可知，三角形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形， 所以三角形ABD面积＝三角形ACD面积。 三角形ABE的面积＝三角形ABD的面积－三角形ADE的面积； 三角形CDE的面积＝三角形ACD的面积－三角形ADE的面积； 三角形ABD的面积＝三角形ACD的面积， 两个三角形都减去同一个三角形，所以三角形ABE的面积＝三角形CDE的面积。 【对应练习2】 下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？( )（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【答案】（1）相等；（2）见详解 【分析】（1）三角形面积＝底×高÷2，这两个三角形的底均为2，高均为4，那么这两个三角形等底等高、面积相等； （2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。 【详解】（1）这两个三角形的面积相等吗？相等。 （2）如图： （答案不唯一） 【对应练习3】 （1）下图中，两条虚线互相平行，图中哪几对三角形的面积相等？（至少写两对） （2）请你在图中画一个和三角形ABC面积相等的三角形。 （3）在图中和三角形ABC面积相等的三角形能画多少个？你有什么发现？请你把你的发现写出一条来。 【答案】（1）三角形ABC和三角形BCD；三角形ABD和三角形ACD；（答案不唯一） （2）图见详解； （3）无数；见详解 【分析】（1）等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，据此在图中找出等底等高的两对三角形即可； （2）在上面的那条虚线上任选一点F，分别把它和点B、点C连接起来，所形成的三角形和三角形ABC等底等高，则面积相等。 （3）因为上面那虚线上有无数个点，任意找一个点，只要把它与点B、点C连接起来，那么画出的三角形就会和三角形ABC的面积相等，所以通过画图发现，只要在两条平行线之间，并且底相等的情况下，它们的面积就会相等。 【详解】（1）根据三角形的面积公式可知，只要满足等底等高，两个三角形的面积就会相等。 答：三角形ABC和三角形BCD面积相等，三角形ABD和三角形ACD面积相等。 （2）如图： （3）答：在图中和三角形ABC面积相等的三角形能画无数个，我发现：两条平行线间的底相等的三角形，它们的面积也相等。 【点睛】本题需要熟练掌握等底等高的三角形面积相等的特点，根据平行线的特点，明确图中这些三角形等高是解题的关键。 【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，则阴影部分的面积是( )。（单位：厘米） 解析： 如图： [（8－3）＋8]×5÷2 ＝[5＋8]×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方厘米） 【对应练习1】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。 解析： 阴影部分面积：（12－4＋12）×3÷2 ＝（8＋12）×3÷2 ＝20×3÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 【对应练习2】 两个完全相同的直角三角形重叠在一起，如图所示，阴影部分的面积是( )（单位：cm） 【答案】27cm² 【分析】阴影部分与红色部分面积相同，红色部分是个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算即可。 【详解】（15－3＋15）×2÷2 ＝27×1 ＝27（平方厘米） 【点睛】关键是看懂图示，掌握梯形面积公式。 【对应练习3】 如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】75 【分析】这两个直角三角形完全一样，它们的面积相同，所以阴影面积等于下面梯形的面积，只要求出梯形的面积即可。 【详解】（18－6＋18）×5÷2 ＝30×5÷2 ＝75（平方厘米） 【点睛】此题考查了梯形的面积公式的灵活应用，关键是把不能直接计算的图形面积转化为容易计算的图形面积。 【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOD与△BOC面积相等。 解析： 由等积模型可知，三角形ADC与三角形BDC面积相等，它们都减去重叠部分，剩下的部分面积仍相等。 【对应练习】 如右图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解析：根据同底等高三角形面积相等，梯形左右对角三角形面积相等可得。 答：共有3对，分别为：S△ AOD ＝S△ BOC； S△ ABD ＝S△ ABC； S△ ADC ＝S△ BCD。 【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 已知图中大正方形和小正方形的边长分别是4厘米和6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】18平方厘米 【分析】如下图所示，连接FD，三角形AFD的面积是（6×4÷2）平方厘米，三角形FDC的面积是（6×4÷2）平方厘米，则三角形AFD的面积等于三角形FDC的面积。假设AD与FC相交于点O，则三角形AFO的面积等于三角形ODC的面积。阴影部分三角形的面积就等于大正方形内三角形ADC的面积。根据三角形的面积＝底×高÷2，求出阴影部分三角形的面积。 【详解】6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 【对应练习1】 两个正方形如图放置，其中D、C、G在同一条直线上，小正方形ECGF的边长为6，连AE、EG、AG，求图中阴影部分的面积。 【答案】18 【详解】连接AC， 则S△AEC＝S△ACG， S△AEC﹣S△AHC＝S△ACG﹣S△AHC， 即S△AEH＝S△HCG， 所以阴影部分的面积＝×6×6， ＝3×6， ＝18； 答：图中阴影部分的面积是18。 【对应练习2】 如图所示，正方形ABCD边长为10，正方BEFG形边长为6，正方形JIHC面积未知，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】20 【分析】连接CI，CF，如下图所示：如果注意到DF为正方形ABCD的对角线（或者说一个等腰直角三角形的斜边）的一部分，那么容易想到DF与CI是平行的。所以可以连接CI，CF。由于DF与CI互相平行，两条平行线之间的距离相等，也就是三角形DFI与三角形DFC的高相等，所以三角形DFI的面积等于三角形DFC的面积。三角形DFC中，底边DC长10，高长（10－6），根据三角形的面积＝底×高÷2，求得三角形DFC的面积，即三角形DFI的面积。据此解答即可。 【详解】10×（10－6）÷2 ＝10×4÷2 ＝20 答：阴影部分的面积是20。 【点睛】连接CI、CF，找到平行线间的两个面积相等的三角形是解决此题的关键。 【对应练习3】 如图，是长方形ADEF和直角梯形ABCD组成的组合图形，已知长方形AFED的面积是90平方厘米，求阴影部分面积。    【答案】45平方厘米 【分析】利用等积变换思想，将所求阴影部分面积转化成一个规则的易求的几何图形的面积。首先，△GCD的面积等于△GDB的面积，而△BDE的面积等于△DEF的面积。 【详解】如图，连接BD，FD。    因为AD∥BC 所以S△GCD＝S△GDB 因为FE∥AD， 所以S△BDE＝S△DEF＝×90＝45（平方厘米） 答：阴影部分面积是45平方厘米。 【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，难度不大，但却是一道经典好题。巧妙地将所求阴影部分的面积转化成△EFD的面积是解决本题的关键。 【对应练习4】 如图，大正方形的边长是5厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】12.5 【详解】试题分析：如图所示，因为三角形DHG和三角形DHF等底等高，则二者的面积相等，于是可知：阴影部分的面积就等于三角形AGD的面积，利于三角形的面积公式即可求解． 解：5×5÷2=12.5（平方厘米）， 答：阴影部分的面积是12.5平方厘米． 故答案为12.5． 点评：由题意得出：阴影部分的面积就等于三角形AGD的面积，是解答本题的关键． 【对应练习5】 如图，已知正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别是8 厘米和6 厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18 【详解】试题分析：根据题意，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去三角形ABE的面积减去三角形EFH的面积再减去三角形ADG的面积，可根据正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 解：（8×8+6×6）﹣（8+6）×8÷2﹣6×6÷2﹣（8﹣6）×8÷2， =（64+36）﹣14×8÷2﹣18﹣2×8÷2， =100﹣56﹣18﹣8， =44﹣18﹣8， =26﹣8， =18（平方厘米）； 答：阴影部分的面积为18平方厘米． 故答案为18． 点评：此题主要考查的是三角形的面积公式和长方形的面积公式的应用． 【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为2cm，求S阴影部分。 解析： 如图所示，分两次连接对角线，构建不同的等积模型，最终得到红色阴影部分与所求阴影部分面积相等。 2×2=4（cm） S=4×4÷2=8（cm2） 【对应练习1】 如图，大小三个正方形的边长分别是6cm、4cm、2cm，求S阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 S=6×（6-4）÷2=6（cm2） 【对应练习2】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 S=4×4÷2=8（cm2） 【对应练习3】 如图，大小三个正方形如下排列，其边长分别是3cm、4cm、2cm，求S阴影部分。 解析： 如图所示，连接对角线，构建等积模型。 S=（3+3）×4÷2=12（cm2） 【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，大小四个正方形如下排列，最小正方形的边长为2cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， 2×2=4（cm） S=4×4=16（cm2） 【对应练习1】 如图，大小正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=6×6÷2=18（cm2） 【对应练习2】 如图，大小正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S蓝=4×6÷2=12（cm2） 根据等高模型S阴=12×=7.2（cm2） 【对应练习3】 如图，长方形的面积是40cm2，BE=3cm，DF=2cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=40-3×2=34（cm2） 34÷2=17（cm2） 【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型。 【方法点拨】 1. 等积模型。 如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距离处处相等，且有公共底边BC，那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即等底等高的三角形的面积相等。 2. 解题方法。 （1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线，再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。 （2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化计算。 【典型例题】 如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F分别是线段AB、BC上的点，DE⊥AC于点E，且AE=5cm，BF=6cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=5×6÷2=15（cm2） 【对应练习1】 如图，在直角△ABC中，四边形BDEF是长方形，且AF=8cm，CD=5cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=5×8÷2=20（cm2） 【对应练习2】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=（6+4+4）×6÷2=42（cm2） 【对应练习3】 如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm，求S阴影部分。 解析：如图所示， S=（6+6+4）×4÷2=32（cm2） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$